1、保密启用前兰州市五十中 2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟；总分150分 题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、 单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A=x|x2-x-2=0,B=xZ|x|2,则AB=()A.1,2B.1,-2 C.-1,2D.-1,-22复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A1i B1i C1i D1i3某班有34位同学，座位号记为01，02，34，用下面的随机数表选取5组数作为
2、参加青年志愿者活动的五位同学的座号选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是()495443548217379323788735209643842634916457245506887704744767217633502583921206A23 B09 C02 D164.()A. B. C. D15九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42 C44 D466. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1a510，S416，则数列a
3、n的公差为()A1 B2 C3 D47. 已知向量a(1，m)，b(0，2)，且(ab)b，则实数m等于()A2 B1 C1 D28.函数f(x)=xln|x|的大致图象是()9.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是()A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若ab,则a,b与c所成的角相等 D.若ab,bc,则ac10.椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若ABF2的内切圆面积为,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=()A.53B.103
4、C.203D.5311.设f(x)是定义在R上的奇函数且当x0时,f(x)单调递减,若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零 C.恒为正值D.无法确定正负12. 已知关于x的不等式ax2e1-x-xln x-10恒成立,则实数a的取值范围是()A.0,1B.(-,0C.(-,1 D.-,12第II卷（非选择题）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13.已知函数f(x)=log2x,01,则f20192=.14. 已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=.15.已知双曲线C:x2a2y2
5、b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.16. 已知在正项等比数列an中,存在两项am,an,满足aman=2a1且a6=a5+2a4,则1m+4n的最小值是.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17.（12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区
6、域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.18.(12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,ABC=90,且PB=PC.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)求点D到平面PBC的距离.19.(12分) 已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=cs
7、in(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且ABC的面积为3,求ABC的周长.20.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P在椭圆C上且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线交椭圆于点B,C两点,A为椭圆的左顶点,若F1CAB=0,求直线AB的斜率k的值.21.(12分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取
8、值范围.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程 22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点P(3,2),且倾斜角=6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为=4sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.选修4-5：不等式23.（10分）已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,aR.(1)当a=1时,解不等式f(x)5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|3,求a的取值范围.答案及解析1.已知集合A=x|x2
9、-x-2=0,B=xZ|x|2,则AB=()A.1,2B.1,-2 C.-1,2D.-1,-2解析：C由题知x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,A=-1,2.又集合B=-2,-1,0,1,2,AB=-1,2.故选C.2复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A1i B1i C1i D1i解析：选B1i，的共轭复数为1i.3某班有34位同学，座位号记为01，02，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是()4954435482173793237887352096438
10、42634916457245506887704744767217633502583921206A23 B09 C02 D16解析：选D从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，故第4个志愿者的座号为16.4.()A. B. C. D1解析：选A.5九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42 C44 D46解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABCA1B1C1，其中ABAA12，BCAC，ACB90，其直观图如图所示，侧
11、面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S(22)244，故选C.6已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1a510，S416，则数列an的公差为()A1 B2C3 D4解析：选B解法一：设等差数列an的公差为d，则由题意，得解得故选B.解法二：设等差数列an的公差为d，因为S42(a1a5d)2(10d)16，所以d2，故选B.8. 已知向量a(1，m)，b(0，2)，且(ab)b，则实数m等于()A2 B1 C1 D2解析：选A依题意得ab(1，m2)，所以(ab)b102(m2)0，解得m2，故选A.8.函数f(x)=xln|x|的大致图象是().解析：选C由f(x)=xln|x|,所以当0x
12、1时,f(x)0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零 C.恒为正值D.无法确定正负解析：选.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x20,可知x1-x2,f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0),当a0时,令g(x)=lnx+1x,则g(x)=1x1x2=x-1x2,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,g(x)min=g(1)=1,所以lnx+1x1,显然有axe1-xlnx+1x;当a0时,令f(x)=axe1-x-lnx-1x,则f(x)=1-xex-1a
13、+ex-1x2,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以f(x)max=f(1)0即可,因为f(1)=a-1,所以0a1.综上,a1.故选C.13. 已知函数f(x)=log2x,01,则f20192=.-1由函数f(x)=log2x,01,可得当x1时,满足f(x)=f(x-1),所以函数f(x)是周期为1的函数,所以f20192=f1009+12=f12=log212=-1.14. 已知向量a=(2,-1),b=(1,t),且|a+b|=|a-b|,则t=.2由|a+b|=|a-b|,得32+(t-1)2=1+(-1-t)2,解得t=2.15.已知双曲线C:x2a2y2
14、b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线的渐近线上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围是.1,53设P(x,y),则(x+c)2+y2=4(x-c)2+y2,化简得x-53c2+y2=169c2,所以点P在以M5c3,0为圆心,43c为半径的圆上.又因为点P在双曲线的渐近线bxay=0上,所以渐近线与圆M有公共点,所以53bcb2+a243c,解得5b4c,即ca53,所以双曲线离心率的取值范围是1,53.16已知在正项等比数列an中,存在两项am,an,满足aman=2a1且a6=a5+2a4,则1m+4n的最小值是.94在正项等比数列an
15、中,设公比为q,因为a6=a5+2a4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因为存在两项am,an满足aman=2a1,所以2m+n-2=4,所以m+n=4,所以1m+4n=141m+4n(m+n)=145+nm+4mn145+2nm4mn=94,当且仅当m+n=4,nm=4mn,即m=43,n=83时取等号.所以1m+4n的最小值是94,故答案为94.17.（12分）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录
16、的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件构成的集合是S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数n=16.记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2
17、)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.18.(12分) 如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB=3CD=3,PA=PD=BC=2,ABC=90,且PB=PC.(1)求证:平面PAD平面ABCD;(2)求点D到平面PBC的距离.解.(1)证明取AD,BC的中点分别为M,E,连接PM,PE,ME,因为ABCD,AB=3CD=3,所以四边形ABCD为梯形,又M,E为AD,BC的中点,所以ME为梯形的中位线,所以MEAB,又ABC=90,所以MEBC,因为PB=PC,E为BC的中点,所以PEBC,又PEME=E,PE平面PME,ME平面PME,所以BC平
18、面PME,又PM平面PME,故PMBC,因为PA=PD,M为AD中点,所以PMAD,又AD,BC不平行,必相交于某一点,且AD,BC都在平面ABCD上,所以PM平面ABCD,又PM平面PAD,则平面PAD平面ABCD.(2)解由题知,PM为三棱锥P-BCD的高,AD=22,ME=2,PM=2,故PE=6,SPBC=12BCPE=1226=6,而SBCD=12BCCD=1221=1,设点D到平面PBC的距离为h,则VP-BCD=VD-BCP,则13SBCDPM=13SPBCh,即1312=136h,解得h=33,所以点D到平面PBC的距离为33.19.(12分) 已知ABC中,内角A,B,C所对
19、的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且ABC的面积为3,求ABC的周长.解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(-2C)=sinCsin(-A)=sinCsinA,因为sinA0,所以sin(-2C)=sinC,即sin2C=2sinCcosC=sinC.因为sinC0,所以cosC=12.因为0Cb0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且|F1F2|=2,P在椭圆C上且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线交椭圆于点B,C两点,A为椭圆的左
20、顶点,若F1CAB=0,求直线AB的斜率k的值.解(1)因为|F1F2|=2,所以2c=2,c=1.根据椭圆的定义及|PF1|+|PF2|=4,可得2a=4,a=2.所以b=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设直线AB的方程lAB:y=k(x+2),B(xB,yB).由(1)知,A(-2,0).由y=k(x+2),x24+y23=1,消去y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,-2xB=16k2-123+4k2,xB=-8k2+63+4k2,yB=k(xB+2)=12k3+4k2,B-8k2+63+4k2,12k3+4k2.若k=12,则B1,32,
21、C1,-32,AB=3,32.F1(-1,0),F1C=2,-32.F1CAB=0不成立.同理,k=-12也不成立.k12.F2(1,0),kBF2=4k1-4k2,kCF1=-1k,直线BF2的方程lBF2:y=4k1-4k2(x-1),直线CF1的方程lCF1:y=-1k(x+1).由y=4k1-4k2(x-1),y=-1k(x+1),得x=8k2-1,y=-8k.C(8k2-1,-8k).又点C在椭圆上,得(8k2-1)24+(-8k)23=1,即(24k2-1)(8k2+9)=0,即k2=124,k=612.21.(12分)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a
22、,bR).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.解(1)f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).由题意得f(0)=b=0,f(0)=-a(a+2)=-3,解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-12.所以a的取值范围为-,-12-12,+.22.(10分)在平面直角坐标系中,直线l过点
23、P(3,2),且倾斜角=6,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为=4sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.解(1)由=4sin得2=4sin,从而有x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4.(2)由题意设直线l的参数方程为x=3+tcos6,y=2+tsin6,即x=3+32t,y=2+12t(t为参数),代入圆的方程得3+32t2+12t2=4,整理得t2+33t+5=0,t1+t2=-33,t1t2=5,由t1+t20,可知|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=33.2
24、3.（10分）已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,aR.(1)当a=1时,解不等式f(x)5;(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|3,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|,由f(x)5得|x-2|+|2x+1|5.当x2时,不等式等价于x-2+2x+15,解得x2;当-12x2时,不等式等价于2-x+2x+15,即x2,不等式无解;当x-12时,不等式等价于2-x-2x-15,解得x-43.所以原不等式的解集为-,-432,+).(2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|2x+a-(2x-4)|=|a+4|.因为f(x)+|x-2|3等价于(f(x)+|x-2|)min3,所以|a+4|3,所以-7a-1.故所求实数a的取值范围为(-7,-1).
