1、选修45 不等式选讲第一节 绝对值不等式栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解，在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.数学运算 课 前 基
2、 础 巩 固 1知识梳理1绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集不等式a0a0a0|x|a1 _|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(a，a)(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|c 2 _；|axb|c 3 _(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想caxbcaxbc 或 axbc2含有绝对值的不等式的性质(1)如果 a，b 是实数，则|a
3、b|4 _，当且仅当 5 _时，等号成立(2)如 果 a，b，c 是 实 数，那 么 6 _，当 且 仅 当 7_时，等号成立|a|b|ab0|ac|ab|bc|(ab)(bc)0常用结论1在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏2绝对值三角不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件基础自测一、疑误辨析1判断下
4、列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.()(2)不等式|x1|x2|2 的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立 ()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立 ()(5)对|ab|a|b|当且仅当 ab0 时等号成立 ()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(选修 45P20T7 改编)不等式 3|2x5|9 的解集为 ()A2，1)4，7)B(2，1(4，7C(2，1)4，7)D(2，14，7)解析：选 D 由题意得|2x5|9，|2x5|3，即92x59，2x53或2x53，解得2x7，x4或
5、x1，所以不等式的解集为(2，14，7)故选 D.3(选修 45P20T8 改编)不等式|x1|x5|2 的解集是_解析：当 x1 时，原不等式可化为 1x(5x)2，所以42，不等式恒成立，所以 x1；当 1x5 时，原不等式可化为 x1(5x)2，所以 x4，所以 1x4；当 x5 时，原不等式可化为 x1(x5)2，所以 42，所以该不等式不成立 综上，原不等式的解集为x|x4 答案：x|x4三、易错自纠4若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k_解析：|kx4|2，2kx42，2kx6，不等式的解集为x|1x3，k2.答案：25若关于 x 的不等式|a|x1|x2|存在实数
6、解，则实数 a 的取值范围是_解析：由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，|x1|x2|的最小值为 3.要使原不等式有解，只需|a|3，即 a3 或 a3.答案：(，33，)6函数 y|x3|x1|的最大值为_解析：因为 y|x3|x1|(x3)(x1)|4，所以函数 y|x3|x1|的最大值为 4.答案：4课 堂 考 点 突 破2考点一 绝对值不等式的解法【例 1】(2019 届沈阳质量检测)已知函数 f(x)|xa|3x，其中 aR.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x|2x1|的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，求 a 的值解(1)当 a1 时，f(x)|x1|
7、3x，由 f(x)3x|2x1|，得|x1|2x1|0，当 x1 时，x1(2x1)0，得 x2，无解；当12x1 时，1x(2x1)0，得12x0；当 x12时，1x(2x1)0，得2x12.所以不等式的解集为x|2x0(2)由|xa|3x0，可得xa，4xa0或xa，2xa0，即xa，xa4或xa，xa2.当 a0 时，不等式的解集为xxa2.所以a21，得 a2.当 a0 时，不等式的解集为x|x0，不合题意当 a0 时，不等式的解集为xxa4.所以a41，得 a4.综上，a2 或 a4.名师点津 含绝对值不等式解法的常用方法|跟踪训练|1(2018 年全国卷)设函数 f(x)5|xa|
8、x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)2x4，x1，2，1x2，2x6，x2.可得 f(x)0 的解集为x|2x3(2)f(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，当且仅当 x2 时等号成立，故 f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，)2已知函数 f(x)|x1|2x3|.(1)画出 yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1 的解集解：(1)f(x)x4，x1，3x2，1x32，x4，x32，yf(x)的图象如图所示(2)
9、由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x13或 x5.故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为xx13或x5.所以|f(x)|1 的解集为 xx13或 1x3 或 x5.考点二 绝对值不等式性质的应用【例 2】(2019 年全国卷)已知 f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 x(，1)时，f(x)0，求 a 的取值范围解(1)当 a1 时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当 x1 时，f(x)2(x1)20；当 1x2 时，f(x)2(x1)0；当 x2 时，f
10、(x)2x24x20.所以，不等式 f(x)0 的解集为(，1)(2)因为 f(a)0，所以 a1.当 a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0；当 a1，x(，1)时，存在 f(x)2(xa)0，不满足题意所以，a 的取值范围是1，)名师点津 两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式|跟踪训练|3对于任意实数 a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数 m 的取
11、值范围解：因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，a12 12，所以|4a3b2|（3a3b）a12 52|3a3b|a12 52312526，则|4a3b2|的最大值为 6，所以 m|4a3b2|max6，m 的取值范围是6，)4(2019 届湖北省五校联考)已知函数 f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式 f(x)|x|1；(2)若对 x，yR，有|xy1|13，|2y1|16，求证：f(x)1.解：(1)因为 f(x)|x|1，所以|2x1|x|1，即x12，2x1x1或0 x12，12xx1或x0，12xx1，解得12x2 或 0 x12或无解故不等式 f(x)|x|1 的
12、解集为x|0 x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|21316561.考点 绝对值不等式的综合应用【例】(2019 届福州模拟)设函数 f(x)|x1|，xR.(1)求不等式 f(x)3f(x1)的解集；(2)已知关于 x 的不等式 f(x)f(x1)|xa|的解集为 M，若1，32 M，求实数 a的取值范围解(1)因为 f(x)3f(x1)，所以|x1|3|x2|x1|x2|3x1，32x3或1x2，13或x2，2x33，解得 0 x1 或 1x2 或 2x3，所以 0 x3，故不等式 f(x)3f(x1)的解集为0，3(2)因为
13、1，32 M，所以当 x1，32 时，f(x)f(x1)|xa|恒成立，而 f(x)f(x1)|xa|x1|x|xa|0|xa|x|x1|，因为 x1，32，所以|xa|1，即 x1ax1，由题意，知 x1ax1 对于任意的 x1，32 恒成立，所以12a2，故实数 a的取值范围为12，2.名师点津(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合求解是常用的思维方法(2)对于求 y|xa|xb|或 y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便，形如 y|xa|xb|的函数只有最小值，形如 y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小
14、值|跟踪训练|1已知函数 f(x)|xa|x3a|.(1)若 f(x)的最小值为 2，求实数 a 的值；(2)若对xR，a1，1，使得不等式 m2|m|f(x)0 成立，求实数 m 的取值范围解：(1)|xa|x3a|(xa)(x3a)|2a|，当且仅当 x 取介于 a 和 3a 之间的数时，等号成立，故 f(x)的最小值为 2|a|，所以 a1.(2)由(1)知 f(x)的最小值为 2|a|，故a1，1，使 m2|m|2|a|成立，即 m2|m|2，所以(|m|1)(|m|2)0.所以2m2.故实数 m 的取值范围为(2，2)2(2018 年全国卷)已知 f(x)|x1|ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0，1)时，不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，即 f(x)2，x1，2x，1x1，2，x1.故不等式 f(x)1的解集为xx12.(2)当 x(0，1)时，|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0，1)时，|ax1|1 成立若 a0，则当 x(0，1)时，|ax1|1；若 a0，|ax1|1 的解集为 0 x2a，所以2a1，故 0a2.综上，a 的取值范围为(0，2点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
