1、上海外国语大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（每题3分，共18分）1（3分）an是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于（）A667B668C669D6702（3分）在等比数列an（nN*）中，若，则该数列的前10项和为（）ABCD3（3分）用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1）的过程中，由n=k（kN*）推出n=k+1（kN*）成立时，左边应增加的因式是（）A2k+1B2（2k+1）CD4（3分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差为（）A5B4C3D25（3分）设2
2、010a=3，2010b=6，2010c=12，则数列a，b，c（）A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等比数列又是等差数列D既非等差数列又非等比数列6（3分）数列an中，则数列an的极限值（）A等于0B等于1C等于0或1D不存在二、填空题（每题3分，共36分）7（3分）在等差数列an中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列an的前9项之和S9等于8（3分）等比数列an为递增数列，且a10，那么公比q的取值范围是9（3分）若存在，则实数a的取值范围是10（3分）在等差数列an中，a1+a2+a3=15，an+an1+an2=78，Sn=155，则n=11
3、（3分）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为12（3分）在等差数列an中，a1=1，公差d0且a3，a4，a6依次是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是13（3分）已知a1，a为常数，求极限：=14（3分）等差数列an中，Sn是其前n项和，已知a4a2=4，S2n=100，则a12a22+a32a42+a2n12a2n2=15（3分）已知数列an的通项公式为an=n+，若an为递增数列，则实数的取值范围是16（3分）首项为正数的数列an满足an+1=，若数列an是递增数列，则a1的取值范围是17（3分）对于数列un，若存在常数M0，对任意的nN*，恒有|u
4、n+1un|+|unun1|+|u2u1|M，则称数列un为M数列有下列命题：（1）若数列xn是M数列，则数列xn的前n项和Sn是M数列；（2）若数列xn的前n项和Sn是M数列，则数列xn不是M数列；（3）若数列an是M数列，则数列an2也是M数列，其中真命题的序号是18（3分）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=，已知数列bn的前n项和为Rn，正实数满足：Rnn对任意正整数n恒成立，则的最小值为三、解答题（共46分）.19（5分）求数列极限：20（6分）已知数列an的前n项和为Sn=n2+2n1，求数列an的通项公式21（8分）已知等差数列an中，
5、a12+a15=15，a7=1，（1）求数列an的通项公式；（2）求数列|an|的前n项和Sn22（8分）在数列an中，a1=2，an+1=3an+2，（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn23（8分）一计算机装置有一个数据入口A和一个运算结果出口B，将正整数列n中的各数依次输入入口A，从出口B得到输出的数列an，结果表明：A口输入n=1时，从B口得到a1=；当n2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an1先乘以正整数列n中的第n1个奇数，再除以正整数列n中的第n+1n+1个奇数（1）从A口输入2和3时，求从B口得到的数a2，a3分别是多少？（2）当A口输入正
6、整数列n时，求从B口得到的数列an的通项公式24（11分）64个正数排成8行8列，如下所示：，其中aij表示第i行第j列的数已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，a24=1，（）求a12和a13的值；（）记第n行各项之和为An（1n8），数列an，bn，cn满足，mbn+1=2（an+mbn）（m为非零常数），且，求c1+c2+c7的取值范围；（）对（）中的an，记，设，求数列Bn中最大项的项数上海外国语大学附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共18分）1（3分）an是首项a1=1，公差为d=3的等差数
7、列，如果an=2005，则序号n等于（）A667B668C669D670考点：等差数列；等差数列的通项公式 专题：计算题；方程思想分析：首先由a1和d求出an，然后令an=2005，解方程即可解答：解：an是首项a1=1，公差d=3的等差数列，an=1+（n1）3=3n2，an=2005，3n2=2005，解得n=669故选C点评：本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n1）d，注意方程思想的应用2（3分）在等比数列an（nN*）中，若，则该数列的前10项和为（）ABCD考点：等比数列的前n项和 分析：先由等比数列的通项公式求出公比q，再根据等比数列前n项和公式求前10项和即可解答：解
8、：由，所以故选B点评：本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式3（3分）用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1）的过程中，由n=k（kN*）推出n=k+1（kN*）成立时，左边应增加的因式是（）A2k+1B2（2k+1）CD考点：数学归纳法 专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：根据条件分别求出n=k、n=k+1时左边的式子，从而可求出n=k到n=k+1时，等式左边应增加的项解答：解：n=k时，左边=（k+1）（k+2）（k+k），n=k+1时，左边=（k+1+1）（k+1+2）（k+1+k1）（k+1+k）（k+1+k+1），由n=k到n=k+1时，等式
9、左边应增加的项是2（2k+1）故选：B点评：本题以等式为载体，考查用数学归纳法证明等式，分别写出n=k+1，n=k时，左边的式子是解题的关键4（3分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差为（）A5B4C3D2考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列有10项，得到奇数项有5个，偶次项有5个，然后利用偶数项减去奇数项，即第2项减第1项，第4项减去第三项，依此类推，因为第2项减第1项等于公差d，所以偶数项减去奇数项等于5d，由奇数项之和为15，偶数项之和为30，列出关于d的方程，求出方程的解即可得到d的值解答：解：因为3015=（a2a
10、1）+（a4a3）+（a10a9）=5d，所以d=3故选：C点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题学生做题时注意到奇数项、偶数项的重新组合5（3分）设2010a=3，2010b=6，2010c=12，则数列a，b，c（）A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等比数列又是等差数列D既非等差数列又非等比数列考点：等比数列的性质 专题：探究型分析：根据对数的定义，可求得a=log20103，b=log20106，c=log201012，根据等差数列的定义即可判断解答：解：2010a=3，2010b=6，2010c=12，a=log20103，b=log20
11、106，c=log201012，2b=log201036=log20103+log201012=a+c，a，b，c成等差数列，不成等比数列故选A点评：本题考查等差数列的性质，关键在于正确理解对数的概念，求得a，b，c再根据等差数列的定义定义判断，属于中档题6（3分）数列an中，则数列an的极限值（）A等于0B等于1C等于0或1D不存在考点：极限及其运算 专题：计算题；压轴题分析：因为n，所以，所以，由此可求出数列an的极限值解答：解：，故选B点评：本题考查数列的极限，解题时要注意公式的选取和运用二、填空题（每题3分，共36分）7（3分）在等差数列an中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9
12、=27，则数列an的前9项之和S9等于99考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案解答：解：在等差数列an中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，a4=13，a6=9，a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，数列an的前9项之和S9=99故答案为：99点评：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题8（3分）等比数列an为递增数列，且a10，那么公比q的取值范围是（0，1）考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：
13、由题意可得，解得公比q的取值范围解答：解：由题意可得，解得 0q1，故答案为：（0，1）点评：本题主要考查等比数列的通项公式及性质的应用，属于中档题9（3分）若存在，则实数a的取值范围是考点：极限及其运算 专题：导数的概念及应用分析：由于存在，可得|3a1|1，3a11，解出即可解答：解：存在，|3a1|1，3a11，解得故答案为：点评：本题考查了数列极限的运算性质，属于基础题10（3分）在等差数列an中，a1+a2+a3=15，an+an1+an2=78，Sn=155，则n=10考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和 专题：计算题分析：由等差数列的定义和性质可得 a1+an=a2+an1
14、=a3 +an2 ，代入条件求得a1+an=31，再由 Sn=155，解方程求得 n的值解答：解：由等差数列的定义和性质可得 a1+an=a2+an1 =a3 +an2 ，再由a1+a2+a3=15，an+an1+an2=78，可得3（ a1+an）=15+78=93，a1+an=31Sn=155，解得 n=10，故答案为10点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题11（3分）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为216考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：插入三个数后成等比数列的五个数的首项，由等比数列的通项公式先求出公比q
15、，然后分别求出插入的三个数，再求这三个数的乘积解答：解：设插入的三个数分别为a，b，c，由题设条件知，设公比为q，abc=216，或，abc=216故答案为：216点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的合理运用12（3分）在等差数列an中，a1=1，公差d0且a3，a4，a6依次是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是8考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设出等差数列的公差，由a3、a4、a6是一个等比数列的前三项列式求出公差，得到等比数列的前三项，则第四项可求解答：解：设等差数列an的公差为d（d0），由a3、a4、a6是
16、一个等比数列的前三项，得：a42=a3a6，又a1=1，得（1+3d）2=（1+2d）（1+5d），解得：d=1等比数列的前三项分别为：1，2，4则该等比数列的第四项为8故答案为：8点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题13（3分）已知a1，a为常数，求极限：=2考点：极限及其运算 专题：导数的概念及应用分析：a1，a为常数，可得=，即可得出解答：解：a1，a为常数，=2，故答案为：2点评：本题考查了数列极限的运算性质，属于基础题14（3分）等差数列an中，Sn是其前n项和，已知a4a2=4，S2n=100，则a12a22+a32a42+a2n12a2n2=200考
17、点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用a4a2=4，可得d=2，再结合平方差公式，即可得出结论解答：解：设公差为d，则a4a2=4，d=2，S2n=100，a12a22+a32a42+a2n12a2n2=2S2n=200，故答案为：200点评：本题考查等差数列的性质，考查学生的计算能力，比较基础15（3分）已知数列an的通项公式为an=n+，若an为递增数列，则实数的取值范围是（，2）考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：由于an为递增数列，可得an+1an，化为n2+n，利用数列n2+n单调递增，即可得出最小值解答：解：an为递增数列，an+1an，化为
18、n2+n，数列n2+n单调递增，当n=1时，取得最小值22实数的取值范围是（，2）故答案为：（，2）点评：本题考查了数列的单调性，考查了计算能力，属于基础题16（3分）首项为正数的数列an满足an+1=，若数列an是递增数列，则a1的取值范围是（0，1）（3，+）考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知得an+1an=（an1）（an3），从而an+1an当且仅当an1或an3若0ak1，则0ak+1=1，若ak3，则ak+13由此能求出对一切nN+都有an+1an的充要条件是0a11或a13解答：解：an+1=，an+1an=（an1）（an3），an+1an当且仅当an1或a
19、n3另一方面，若0ak1，则0ak+1=1，若ak3，则ak+1=3根据数学归纳法得，0a11，0an1，nN+由a13，得an3，nN+综上所述，对一切nN+都有an+1an的充要条件是0a11或a13a1的取值范围是（0，1）（3，+）故答案为：（0，1）（3，+）点评：本题考查数列的首项的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用17（3分）对于数列un，若存在常数M0，对任意的nN*，恒有|un+1un|+|unun1|+|u2u1|M，则称数列un为M数列有下列命题：（1）若数列xn是M数列，则数列xn的前n项和Sn是M数列；（2）若数列xn的前n项和Sn是
20、M数列，则数列xn不是M数列；（3）若数列an是M数列，则数列an2也是M数列，其中真命题的序号是（2），（3）考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：（1）只需举一反例即可；事实上设xn=1（nN*），易知数列xn是M数列，但Sn=n，|Sn+1Sn|+|SnSn1|+|S2S1|=n由n的任意性知，数列Sn不是M数列（2）根据M数列的定义加以证明（3）数列an都是M数列，则有|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M1下面只需验证|an+12an2|+|an2an12|+|a22a12|M解答：解：（1）：若数列xn是M数列，则数列xn的前n项和Sn是M数列，此命题为假命
21、题事实上设xn=1（nN*），易知数列xn是M数列，但Sn=n，|Sn+1Sn|+|SnSn1|+|S2S1|=n由n的任意性知，数列Sn不是M数列（2）：若数列xn的前n项和Sn是M数列，则数列xn不是M数列此命题为真命题事实上，因为数列Sn是M数列，所以存在正数M，对任意的nN*，有|Sn+1Sn|+|SnSn1|+|S2S1|M，即|xn+1|+|xn|+|x2|M于是|xn+1xn|+|xnxn1|+|x2x1|xn+1|+2|xn|+2|xn1|+2|x2|+|x1|2M+|x1|，所以数列xn是M数列（3）若数列an是M数列，则数列an2也是M数列，此命题为真命题若数列是anM数列
22、，则存在正数M，对任意的nN*有|an+1an|+|anan1|+|a2a1|M因为|an|=|anan1+an1+an2+a2a1+a1|anan1|+|an1an2|+|a2a1|+|a1|M+|a1|记K=M+|a1|，则有|an+12an2|=|（an+1+an）（an+1an）（|an+1|+|an|）|an+1an|2K|an+1an|因此|an+12an2|+|an2an12|+|a22a12|2KM故数列an2是M数列故答案为：（2），（3）点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同
23、时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题18（3分）设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn=，已知数列bn的前n项和为Rn，正实数满足：Rnn对任意正整数n恒成立，则的最小值为4考点：数列与不等式的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：当n=1时，a1=5a1+1，求得a1=，又由an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，两式相减，再由等比数列的通项公式，求得an，进而得到bn，设n=2k+1（kN+）推出Rn=b1+b2+b2k+14n1，由此入手能推导出正实数的最小值为4解答：解：当n=1时，a1=5a1+1，a1
24、=，又an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，an+1an=5an+1，即an+1=an，数列an成等比数列，其首项，公比是，an=（）（）n1=（）nbn=4+，一方面，已知Rnn恒成立，取n为大于1的奇数时，设n=2k+1（kN+）则Rn=b1+b2+b2k+1=4n+5（+）=4n+5+（）+（）4n1nRn4n1，即（4）n1对一切大于1的奇数n恒成立4否则，（4）n1只对满足n的正奇数n成立，矛盾另一方面，当=4时，对一切的正整数n都有Rn4n事实上，对任意的正整数k，有b2n1+b2n=8+=8+=8，当n为偶数时，设n=2m（mN+）则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+（
25、b2n1+b2n）8m，当n为奇数时，设n=2m1（mN+）则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+（b2n3+b2n2）+b2n18（m1）+4=8m4=4n对一切的正整数n，都有Rn4n综上所述，正实数的最小值为4故答案为：4点评：本题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力三、解答题（共46分）.19（5分）求数列极限：考点：极限及其运算 专题：导数的综合应用分析：利用等差数列的前n项和公式、数列极限的运算性质即可得出解答：解：=点评：本题考查了等差数列的前n项和公式、数列极限的运算性质，属于基础题20（6分）已知数列an的前n项和为
26、Sn=n2+2n1，求数列an的通项公式考点：数列的函数特性 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据Sn=n2+2n1求出a1的值，利用an=SnSn1求出当n1时an的表达式，然后验证a1的值，表示出an解答：解：由题意得，Sn=n2+2n1，当n=1时，a1=S1=2，当n2时，an=SnSn1=n2+2n1（n1）2+2（n1）1=2n+1此时当n=1时不成立数列的通项公式为点评：本题考查数列an与Sn的关系式：当n=1时a1=S1，an=SnSn1（n2），注意验证n=1时是否成立21（8分）已知等差数列an中，a12+a15=15，a7=1，（1）求数列an的通项公式；（2）求数
27、列|an|的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等差数列的通项公式和题意，列出关于数列的首项和公差的方程组，解得到公差和首项，代入通项公式化简；（2）根据（1）先求出数列an的前n项和，再由an的正负项对n进行分类，利用等差数列的前n项和公式，分别化简数列|an|的前n项和Sn解答：解：（1）设等差数列an的公差是d，因为a12+a15=15，a7=1，所以，解得，所以an=5+（n1）=n6；（2）由（1）知an=n6，令an=0得n=6，设Tn=a1+a2+an=5+（4）+（n6）=，当n6时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=（a1+
28、a2+an）=，当n6时，Sn=|a1|+|a2|+|a6|+|a7|+|an|=（a1+a2+a6）+（a7+a8+an）=Tn2T6=2=，综上得，Sn=点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，以及利用分类讨论思想求数列的前n项和，这是常考的题型22（8分）在数列an中，a1=2，an+1=3an+2，（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn考点：数列递推式；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用待定系数法和题意，构造等比数列an+1，由等比数列的通项公式求出an；（2）根据分组求和法、等比数列的前n项和公式，求出数列an的前n项和Sn解答：解：（
29、1）设an+1+k=3（an+k）（k是常数），则an+1=3an+2k，因为an+1=3an+2，所以2k=2，解得k=1，则an+1+1=3（an+1），即=3，又a1=2，则a1+1=3，所以数列an+1是以3为首项、公比的等比数列，则an+1=33n1=3n，所以an=3n1；（2）由（1）得，数列an的前n项和Sn=3+32+33+3nn=n=点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，待定系数法构造等比数列，以及分组求和法求数列的前n项和，这是常考的题型23（8分）一计算机装置有一个数据入口A和一个运算结果出口B，将正整数列n中的各数依次输入入口A，从出口B得到输出的数列an
30、，结果表明：A口输入n=1时，从B口得到a1=；当n2时，从A口输入n，从B口得到的结果an是将前一结果an1先乘以正整数列n中的第n1个奇数，再除以正整数列n中的第n+1n+1个奇数（1）从A口输入2和3时，求从B口得到的数a2，a3分别是多少？（2）当A口输入正整数列n时，求从B口得到的数列an的通项公式考点：数列的应用 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据题意，由n=1时，a1求出a2、a3的值；（2）由a1、a2、a3，归纳猜想得出an解答：解：（1）n=1时，a1=；n=2时，a2=a11=1=；n=3时，a3=a23=3=；（2）a1=，a2=，a3=，an=，nN*；
31、数列an的通项公式为an=，nN*点评：本题考查了数列的递推公式的应用问题，也考查了归纳与猜想的应用问题，是中档题24（11分）64个正数排成8行8列，如下所示：，其中aij表示第i行第j列的数已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q，a24=1，（）求a12和a13的值；（）记第n行各项之和为An（1n8），数列an，bn，cn满足，mbn+1=2（an+mbn）（m为非零常数），且，求c1+c2+c7的取值范围；（）对（）中的an，记，设，求数列Bn中最大项的项数考点：等差数列与等比数列的综合 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（）轻车熟路的公比，通
32、过a11，a12，a13，a14成等差数列，求a12和a13的值；（）设第一行公差为d，求出d，求出（1n8，nN*，推出说明cn是等差数列，推出即可；（）对（）中的an，记，设，利用数列的单调性推出，求出n即可求数列Bn中最大项的项数解答：（共14分）解：（）因为，所以又a11，a12，a13，a14成等差数列，所以（4分）（）设第一行公差为d，由已知得，解得所以因为，所以，所以（1n8，nN*）（6分）因为mbn+1=2（an+mbn），所以整理得而，所以，所以cn是等差数列（8分）故因为，所以c1c7所以所以，所以所以c1+c2+c7的取值范围是（10分）（）因为是一个正项递减数列，所以当dn1时，BnBn1，当dn1时，BnBn1（nN*，n1）所以Bn中最大项满足即（12分）解得又，且nN*，所以n=7，即Bn中最大项的项数为7（14分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，函数的函数特征，考查分析问题解决问题的能力，数列的单调性的应用
