1、第2课时分段函数及映射学习目标1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念知识点一分段函数思考集合AR，B，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元素1，这一对应是函数吗？答案是，因为符合函数定义梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象知识点二映射思考设A三角形，BR，对应关系f：每个三角形对应它的周长这个对应是不是函数？它与函数有何
2、共同点？答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数但仍满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”梳理映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数一定是映射，映射不一定是函数1分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.()2分段函数各段上的函数值集合的交集为.()3分段函数的图象一定是不连续的()4如果把“函数”和“映射”当成两个集合A，B，则AB.()类型一建立分段函数模型例1如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长
3、为2，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象考点分段函数题点求分段函数解析式解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2，所以BGAGDHHC2，又BC7，所以ADGH3.(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，
4、得函数的解析式为y图象如图所示：反思与感悟当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画跟踪训练1某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象考点分段函数题点分段函数应用问题解设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20由题意得函数的解析式为y函数图象如图所示：类型二研究分段函数的性质命题角度1给x求y例2已知函数f(x)
5、试求f(5)，f()，f的值考点分段函数题点分段函数求值解5(，2，f(5)514.(2,2)，f()()22()32.(，2，f1(2,2)，ff22.引申探究本例中f(x)的解析式不变，若x5，求f(x)的取值范围解当5x2时，f(x)x14，1；当2x4，所以f(5)523.因为30，所以f(f(5)f(3)341.因为08.考点分段函数题点分段函数与不等式结合解(1)当x02时，由2x08，得x04，不符合题意；当x02时，由x28，得x0或x0(舍去)，故x0.(2)f(x)8等价于或解得x，解得x，综合知f(x)8的解集为x|x反思与感悟已知函数值求变量x取值的步骤(1)先对x的取
6、值范围分类讨论；(2)然后代入到不同的解析式中；(3)通过解方程求出x的解；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来跟踪训练3已知f(x)(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)，求x的值；(3)若f(x)，求x的取值范围考点分段函数题点分段函数与不等式结合解(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)f(x)等价于或解得x，解集为.当f(x)时，x.(3)由于f，结合此函数图象可知，使f(x)的x的取值范围是.类型三映射的概念例4以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合AP|P是
7、数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生考点映射的概念题点判断对应是否为映射解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意
8、一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：AB不是从集合A到集合B的一个映射反思与感悟映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多跟踪训练4设集合Ax|1x2，By|1y4，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射
9、的是()Af：xyx2 Bf：xy3x2Cf：xyx4 Df：xy4x2考点映射的概念题点判断对应是否为映射答案D解析对于D，当x2时，由对应关系y4x2得y0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射1如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A3 B4 C5 D6考点映射的概念题点判断对应是否为映射答案A2设f(x)则f(f(0)等于()A1 B0 C2 D1考点分段函数题点分段函数求值答案C3已知函数y则使函数值为5的x的值是()A2或2 B2或C2 D2或2或考点分段函数题点分段函数求值答案C4已知函数f(n)则f(5)的值是()A4 B48 C240 D1 440
10、考点分段函数题点分段函数求值答案C解析因为f(n)所以f(5)5f(4)54f(3)543f(2)5432f(1)54321f(0)543212240.故选C.5设f(x)g(x)则f(g()的值为_考点分段函数题点分段函数求值答案01对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况2函数与映射的关系映射f：AB，其中A，B是两个非空的集合；而函数yf(x)，xA，A为非空的数集，其值域也是数集于是，函数是数集到数集的
11、映射由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射一、选择题1已知f(x)则f(f(f(2)等于()A B0 C2 D1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(2)0，f(0)，f()12设函数f(x)若f()4，则实数等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2考点分段函数题点分段函数求值答案B解析当0时，f()4，得4；当0时，f()24，得2或2(舍)4或2.3设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a等于()A3 B3 C1 D1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析f(1)1.f(a)f(1)f(a)12.f(a)1，即或解得a1，解得a1.a1.4函数f(x)的值域是()AR B
12、0，)C0,3 Dx|0x2或x3考点分段函数题点分段函数的定义域、值域答案D解析值域为0,23,2x|0x2或x35已知函数f(x)若f(f(x)2，则x的取值范围是()A B1,1C(，1)(1，) D21,1考点分段函数题点分段函数求值答案D解析若x1,1，则f(x)2，f(f(x)f(2)2，符合题意；若x1，则f(x)x，f(f(x)f(x)x2，此时只有x2符合题意；若x1，则f(x)x，f(f(x)f(x)x2，但因为x10.令2mx10m16m，解得x13(立方米)7著名的Dirichlet函数D(x) 则D等于()A0 B1C. D.考点分段函数题点分段函数求值答案B解析D(
13、x)0,1，D(x)为有理数，D1.8若集合Aa，b，c，Bd，e，则从A到B可以建立不同的映射个数为()A5 B6 C8 D9考点映射的概念题点映射个数问题答案C解析用树状图写出所有的映射为：adae共8个二、填空题9函数f(x)的定义域是_考点分段函数题点分段函数的定义域、值域答案0，)解析定义域为0,1(1,2)2，)0，)10分段函数f(x)可以表示为f(x)|x|，分段函数f(x)可表示为f(x)(x3|x3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)可表示为f(x)_.考点题点答案(x6|x6|)解析因为f(x)可表示为f(x)(x3|x3|)，其分界点为3，从而式子中含有x3与x3，并通
14、过|x3|前面的“”构造出需要的结果的形式所以，对于分段函数f(x)其分界点为6，故式子中应含有x6与x6.又x6时f(x)6，故|x6|的前面应取“”因此f(x)(x6|x6|)11已知f(x)则不等式xf(x)x2的解集是_考点分段函数题点分段函数与不等式结合答案x|x1解析当x0时，f(x)1，代入xf(x)x2，解得x1，0x1；当x0时，f(x)0，代入xf(x)x2，解得x2，x0.综上可知x1.三、解答题12已知函数f(x)(1)求f，f，f，f；(2)若f(a)6，求a的值考点分段函数题点分段函数求值解(1)(，1)，f23.1,1，f2.又2(1，)，ff(2)224.(1，
15、)，f29.(2)经观察可知a1,1，否则f(a)2.若a(，1)，令2a6，得a3，符合题意；若a(1，)，令2a6，得a3，符合题意a的值为3或3.13如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示APB的面积，求函数yf(x)的解析式考点分段函数题点分段函数应用问题解当点P在BC上运动，即0x4时，y4x2x；当点P在CD上运动，即4x8时，y448；当点P在DA上运动，即80；(3)若直线ya与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围考点分段函数题点分段函数的综合应用解若x1，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4；若10，f(x)(x3)(x1)2x2；若x3，则x30，x10，f(x)(x3)(x1)4.f(x)(1)当1x3时，42x20，即或或解得x1，解得1x0的解集为(，1(1,1)(，1)(3)f(x)的图象如下：由图可知，当a(，4)(4，)时，直线ya与f(x)的图象无交点
