1、第九章 解析几何第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1.直观想象2.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1直线与圆的位置关系设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0
2、，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0，消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.方法位置关系几何法代数法相交_ 0 相切_0相离_ 0dr2圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为 R，r，Rr，圆心距为 d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征_代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210dRrdRrRrdRrdRrd0)，则a（a4）2（a1）2，解得a52 2或a52 2，可取 C1(52 2，52 2)，C2(52 2，52 2)，故|C1C2|（4
3、2）2（4 2）28.答案：87过点 A(3，5)作圆 O：x2y22x4y10 的切线，则切线的方程为_解析：将圆 x2y22x4y10 化为标准方程得(x1)2(y2)24，其圆心为(1，2)，|OA|（31）2（52）2 132，点 A(3，5)在圆外显然，当斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为 x30；当斜率存在时，可设所求切线方程为 y5k(x3)，即 kxy53k0.又圆心为(1，2)，半径 r2，而圆心到切线的距离 d|32k|k212，即|32k|2 k21，k 512，故所求切线方程为 5x12y450 或 x30.答案：5x12y450 或 x30课 堂 考 点 突 破
4、2考点 直线与圆的位置关系|题组突破|1直线 xsin ycos 1cos 与圆 x2(y1)212的位置关系是()A相离B相切C相交D以上都有可能解析：选 A 因为圆心(0，1)到直线的距离 d|cos 1cos|sin2cos2 1 22，所以直线与圆相离2(2019 届四川教育联盟考试)若无论实数 a 取何值时，直线 axya10 与圆x2y22x2yb0 都相交，则实数 b 的取值范围为()A(，2)B(2，)C(，6)D(6，)解析：选 C 因为 x2y22x2yb0 表示圆，化为标准方程得(x1)2(y1)22b，所以 2b0，即 b2.因为直线 axya10 过定点(1，1)，所
5、以点(1，1)在圆 x2y22x2yb0 的内部，所以 6b0，解得 b6.综上，实数 b 的取值范围是(，6)故选 C.3(一题多解)圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点的充要条件是_解析：解法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)1，即2k21 1，解得 k(3，3)答案：k(3，3)4已知O：x2y21，点 A(0，2)，B(a，2)，从点 A 观察点 B，要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是_解析：易知点 B 在直线 y2 上，过点 A(0，2)作圆的切线设切线的斜率为 k，则切线方程为 ykx2，
6、即 kxy20.由圆心到切线的距离 d|002|1k2 1，得 k 3.切线方程为 y 3x2，和直线 y2 的交点坐标分别为4 33，2，4 33，2.故要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是，4 334 33，.答案：，4 334 33，名师点津 判断直线与圆的位置关系常用的方法提醒 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题考点一 圆的弦长问题【例 1】(1)(2019 届太原模拟)若 3a23b24c20，则直线 axbyc0 被圆 O：x2y21 所截得的弦长为 ()A.23B1C.12D.34(2)(2019 届成都模拟)已知直线 axbyc0 与圆 O
7、：x2y21 相交于 A，B 两点，且|AB|3，则OA OB 的值是()A12B.12C43D0解析(1)由题意可知，a2b243c2，所以圆心 O(0，0)到直线 axbyc0 的距离 d|c|a2b2 32，所以直线 axbyc0 被圆 x2y21 所截得的弦长为2123222121，故选 B.(2)在OAB 中，|OA|OB|1，|AB|3，可得AOB120，所以OA OB 11cos 12012.答案(1)B(2)A名师点津 有关弦长问题的 2 种求法几何法直线被圆截得的半弦长l2，弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形，即 r2l22d2 代数法联立直线方程和圆的方程，消元转化
8、为关于 x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2或|AB|11k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2|跟踪训练|1已知圆 C：(x1)2(y2)22 截 y 轴所得线段与截直线 y2xb 所得线段的长度相等，则 b()A 6B 6C 5D 5解析：选 D 由圆心 C(1，2)到 y 轴的距离为 1 可知，圆心 C(1，2)到直线 2xyb0 的距离等于 1，于是|212b|51，解得 b 5.2在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1)当 m 变化时，解答下列问
9、题：(1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由；(2)证明：过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 是方程 x2mx20 的两根，所以 x1x22，又点 C 的坐标为(0，1)，则ACBC(x1，1)(x2，1)x1x212110，所以不能出现 ACBC 的情况(2)证明：设过 A，B，C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D，由 x1x22 可知，原点 O 在圆内，则由相交弦定理可得|OC|OD|OA|OB|x1|x2|2.又|OC|1，所以|OD|2，所以过 A，B，C 三点的圆
10、在 y 轴上截得的弦长为|OC|OD|3，为定值考点二 圆的切线问题【例 2】已知点 P(21，2 2)，点 M(3，1)，圆 C：(x1)2(y2)24.(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程；(2)求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长解 由题意得，圆心 C 为(1，2)，半径 r2.(1)(211)2(2 22)24，点 P 在圆 C 上又 kPC2 222111，切线的斜率 k 1kPC1，过点 P 的圆 C 的切线方程是y(2 2)x(21)，即 xy12 20.(2)(31)2(12)254，点 M 在圆 C 外部，当过点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，即 x3
11、0.又点 C(1，2)到直线 x30 的距离 d312r，即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即 kxy13k0，则圆心 C 到切线的距离 d|k213k|k21r2，解得 k34，切线方程为 y134(x3)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x30 或3x4y50.|MC|（31）2（12）2 5，过点 M 的圆 C 的切线长为|MC|2r2 541.名师点津 1求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为 yy0；若 k0，则结合
12、图形可直接写出切线方程为 xx0；若 k 存在且 k0，则由垂直关系知切线的斜率为1k，由点斜式可写出切线方程2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的 2 种方法几何法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k 的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由 0，求得 k，切线方程即可求出提醒 当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况|跟踪训练|3(2019 届杭州模拟)由直线 yx1
13、上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为()A1 B2C.7D3解析：选 C 切线长的最小值是当直线 yx1 上的点与圆心距离最小时取得的，圆心(3，0)到直线的距离为 d|301|22 2，故切线长的最小值为 d2r2 7.4若圆 O1：x2y25 与圆 O2：(xm)2y220 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是()A3 B4C2 3D8解析：选 B 连接 O1A，O2A，由于O1 与O2 在点 A处的切线互相垂直，因此 O1AO2A，所以|O1O2|2|O1A|2|O2A2|，即 m252025，设 AB 交 x 轴于点 C.在
14、RtO1AO2中，sin AO2O1 55，在 RtACO2 中，|AC|AO2|sin AO2O12 5 55 2，|AB|2|AC|4.故选 B.考点三 圆与圆的位置关系及应用【例 3】(1)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大值为()A.62B.32C.94D2 3(2)两圆 C1：x2y24xy10，C2：x2y22x2y10 相交于 A，B 两点，则|AB|_解析(1)由圆 C1 与圆 C2 相外切，可得（ab）2（22）2213，即(ab)2a22abb29，根据基本不等式可知 9a22abb22ab2ab4ab，即 a
15、b94，当且仅当 ab 时等号成立故选 C.(2)由(x2y24xy1)(x2y22x2y1)0 得弦 AB 所在直线方程为 2xy0.由题意得圆 C2 的方程为(x1)2(y1)21，则圆心 C2(1，1)，半径 r21.则圆心 C2 到直线 AB 的距离 d|2（1）（1）|5 15.所以|AB|2 r22d221154 55.答案(1)C(2)4 55|母题探究|(变条件)若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求 ab 的最大值解：由 C1 与 C2 内切，得（ab）2（22）21.即(ab)21，又 abab2214，当且仅当 ab 时等号成立，故 ab 的最大值为14.名师点津 1
16、几何法判断圆与圆的位置关系的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，并求 r1r2，|r1r2|；(3)比较 d，r1r2，|r1r2|的大小，然后写出结论2两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d，半径长l2，半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解|跟踪训练|5圆 C1：(xm)2(y2)29 与圆 C2：(x1)2(ym)24 外切，则 m 的值为()A2 B5C2 或5 D不确定解析：选 C 由题意得 C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，则两圆心之间的距离为|C1C2|（m1
17、）2（2m）2235，解得 m2 或5.故选 C.6圆 C1：x2y24x10 与圆 C2：x2y22x2y10 的公共弦长为()A2 B.3C3 D4解析：选 A 两圆联立x2y24x10，x2y22x2y10，解得 xy0，圆 C1 可写成(x2)2y23，故 C1(2，0)，半径为 3，圆心(2，0)到直线 xy0 的距离为 d|2|1212 2，故公共弦长为 2（3）2（2）22.考点 直线与圆的综合问题【例】已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实
18、数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由解(1)因为圆 C1 的方程 x2y26x50 可化为(x3)2y24，所以圆心坐标为(3，0)(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)，M(x0，y0)，则 x0 x1x22，y0y1y22.由题意可知，直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为 ytx.将上述方程代入圆 C1 的方程，化简得(1t2)x26x50.则 x1x2 61t2，3620(1t2)0，即 t245.把 x0 31t2代入直线 l 的方程，得 y0 3t1t2.因为 x20y209（1t2）29
19、t2（1t2）29（1t2）（1t2）291t23x0，所以x0322y2094.又由 0t245得，53x03.所以线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程为x322y29453x3.(3)存在实数 k 满足条件由(2)知，曲线 C 是在53，3 上的一段圆弧如图，D53，2 53，E53，2 53，F(3，0)，直线 L 过定点 G(4，0)若直线 L 与曲线 C 相切，联立直线 L 的方程与曲线 C 的方程，消去 y 整理得(1k2)x2(38k2)x16k20.由(38k2)24(1k2)16k20，解得 k34，由求根公式解得交点的横坐标为 x125 53，3，所以 k34时，直线
20、 L 与曲线 C 只有一个交点若直线 L 与曲线 C 相交，直线 L 应被夹在直线 DG 与直线 EG 之间因为 kDG2 535342 57，kEG2 57.故 kL2 57，2 57.综上，k 的取值范围为2 57，2 5734，34.名师点津 直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑|跟踪训练|已知 A(2，0)，直线 4x
21、3y10 被圆 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为 4 3，且 P 为圆 C 上任意一点(1)求|PA|的最大值与最小值；(2)圆 C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径解：(1)直线 4x3y10 被圆 C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为 4 3，圆心到直线的距离d|123m1|5（13）2（2 3）21.m3，m2，|AC|（32）2（20）2 29，|PA|的最大值与最小值分别为 29 13，29 13.(2)由(1)可得圆 C 的方程为(x3)2(y2)213，令 x0，得 y0 或 4；令 y0，得 x0 或6，圆 C 与坐标轴相交于三点 M(0，4)，O(0，0)，N(6，0)，MON 为直角三角形，斜边|MN|2 13，MON 内切圆的半径为462 1325 13.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
