1、课时作业(十三)1若f(n)1(nN)，则当n1时，f(n)为()A1B1C1 D1答案C解析当n1时，2n12113，故f(1)1.故选C.2用数学归纳法证明(nN)时，从“nk到nk1”时，等式左边需增添的项是()A. B.C. D.答案D解析当nk(kN)时，等号左边，当nk1时，等式左边，所以当nk到nk1时，等式左边需增添的项为.故选D.3设数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN)试归纳猜想出Sn的表达式为()A. B.C. D.答案A解析因为a11，所以S11；又S24a2a1a2，所以3a21，所以a2，S2；又S39a3S2a3，8a3，所以a3，所以S3，由此
2、可猜想Sn(nN)4设f(n)(nN)，在利用数学归纳法证明时，从nk到nk1需添的项为()A. B.C. D.答案D5设平面内有k条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)k1 Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)k Df(k1)f(k)k2答案C解析当nk1时，任取其中1条直线，记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k
3、)个交点也两两不相同，从而平面内交点的个数是f(k)kf(k1)6用数学归纳法证明“1aa2an1(a1，nN*)”时，在验证当n1成立时，左边计算所得的结果是()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3答案C解析左边n1时，幂指数最大值为112，左边结果为1aa2.7用数学归纳法证明n(n1)(2n1)能被6整除时，由归纳假设推证nk1时命题成立，需将nk1时的原式表示成()Ak(k1)(2k1)6(k1)B6k(k1)(2k1)Ck(k1)(2k1)6(k1)2D以上都不对答案C8记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A. BC. D2答案B解析由凸k边形变
4、为凸k1边形时，增加了一个三角形图形故f(k1)f(k).故选B.9用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”时，第二步正确的证明方法是()A假设nk(kN*)时成立，证明nk1时命题成立B假设nk(k是正奇数)时成立，证明nk1时命题也成立C假设n2k1(kN*)时成立，证明n2k3时命题也成立D假设n2k1(kN*)时成立，证明n2k1时命题也成立答案D解析由完全归纳法知，只有当n的初始值取值成立，且nk成立，能推出nk1时也成立，才可证明结论成立，两者缺一不可A，B选项都是错误的，因为n是正奇数C选项当k1时的起始值为3，所以也不正确，故选D.10某学生在证明等差数列前
5、n项和公式时，证法如下：(1)当n1时，S1a1显然成立(2)假设当nk(k1，kN*)时，公式成立，即Skka1.当nk1时，Sk1a1a2akak1a1(a1d)(a12d)a1(k1)da1kd(k1)a1d(k1)a1d.当nk1时公式成立由(1)(2)可知对nN*，公式成立以上证明错误的是()A当n取第一个值1时，证明才对B归纳假设写法不对C从nk到nk1的推理中未用归纳假设D从nk到nk1的推理有错误答案C解析因为没有用上归纳假设，所以是错误的11若凸k边形对角线条数为f(k)，则凸k1边形对角线条数f(k1)f(k)_答案k1解析凸k1边形A1A2A3Ak1的对角线条数由下列三部
6、分相加而得凸k边形A1A2A3Ak的对角线条数f(k)A1Ak由原凸k边形的边变为凸k1边形的对角线顶点Ak1与另外k2个顶点A2、A3、Ak1生成k2条对角线所以，f(k1)f(k)1(k2)f(k)k1.12用数学归纳法证明：设f(n)1，则nf(1)f(2)f(n1)nf(n)(nN*，且n2)第一步要证明的式子是_答案2f(1)2f(2)解析n2时，等式左边2f(1)，右边2f(2)13用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，从k到k1左端需增乘的代数式为_答案2(2k1)解析当nk时，(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，当nk1时，(k2)(k3)2k(
7、2k1)(2k2)2k1132k(2k1)左端需增乘2(2k1)14用数学归纳法证明：1(nN*)证明(1)当n1时，左边1，右边，命题成立(2)假设当nk(k1，且kN*)时命题成立，即有1.当nk1时，左边1.从而可知，当nk1时，命题亦成立由(1)(2)可知，命题对一切正整数n均成立15用数学归纳法证明对于整数n0，An11n2122n1能被133整除证明(1)当n0时，A011212133能被133整除(2)假设nk时，Ak11k2122k1能被133整除当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k212
8、2k1)133122k1.nk1时，命题也成立根据(1)(2)，对于任意整数n0，命题都成立1对于不等式n1(nN)，某学生用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时命题显然成立(2)假设nk(kN，k1)时原不等式成立，即k1，则nk1时，左边(k1)1.即nk1时原不等式也成立由(1)(2)可知，原不等式一切nN都成立对上述证明过程，下列说法正确的是()A过程全部分正确Bn1时验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案D解析上述过程中，n1的验证及假设均正确，只是在(2)中的证明没有使用归纳假设，因此证明过程错误，故选D.2证明：凸n(nN*，n4)边形的对角线的条数f(n
9、)n(n3)证明(1)当n4时，f(4)4(43)2，四边形有两条对角线，命题成立(2)假设当nk(kN*，k4)时命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k)k(k3)(k4)当nk1时，凸(k1)边形是在k边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点Ak1，增加的对角线条数是顶点Ak1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为k1.f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3故当nk1时，命题也成立由(1)(2)可知，对于n4，nN*命题成立点评用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少3已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解析231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设当nk(nN*)时结论成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由，知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，所以.所以1()n1.
