1、第七章 不等式第二节 一元二次不等式及其解法栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以考查一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1.数学运算2.直观想象 课 前 基 础
2、巩 固 1知识梳理1一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数 1 _ 0.不等于2三个“二次”间的关系判别式 b24ac000)的图象一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根有两相异实根 x1，x2(x1000(a0)的解集2 x|xx2 或 xx13 _4 _ax2bxc0(a0)的解集5 _6 _7 _ xx b2aRx|x1x0 或(xa)(xb)0 型不等式解法 不等式解集ab(xa)(xb)0 x|xb8 _9 _(xa)(xb)010 _11 _x|bxax|xax|xax|ax0(0(0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.(2)不等式 ax2bxc0
3、 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式 ax2bxc0.()(2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0的两个根是 x1 和 x2.()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为R.()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0.()(5)若二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，则不等式 ax2bxc0 的解集一定不是空集()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修
4、5P80A 组 T4改编)已知全集 UR，集合 Ax|x2x60，Bx4xx10，那么集合 A(UB)等于()A2，4)B(1，3C2，1 D1，3解析：选 D 因为 Ax|2x3，Bx|x0，解得 x1 73.答案：，1 731 73，三、易错自纠4不等式x23x40 的解集为_(用区间表示)解析：由x23x40 可知，(x4)(x1)0，解得4x0 的解集为x1x0 的解集为x1x13，知 a0 且 ax2bx10 的两根为 x11，x213，由根与系数的关系知113ba，131a，所以 a3，b2，所以 ab6.答案：66已知关于 x 的不等式(a24)x2(a2)x10 的解集为空集，
5、则实数 a 的取值范围为_解析：当 a240 时，a2.若 a2，不等式可化为10，显然无解，满足题意；若 a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a2 时，要使不等式的解集为空集，则a240，（a2）24（a24）0，解得2a0 的解集为()A.x1x32或x1C.x32x1或x0，得(x1)(2x3)0，解得 x32或 x0 的解集为 xx32或 x1.2不等式 00，x2x24，即x2x20，x2x60，即（x2）（x1）0，（x3）（x2）0，解得x2或x1，2x3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1 或 2x3 答案：2，1)(2，33不等式x22x30 的解集
6、为_解析：由x22x30，即 x22x30 得3x1，原不等式的解集是x|3x1 答案：x|3x14已知函数 f(x)x22x，x0，x22x，x3.解：由题意x0，x22x3或x3，解得 x1.故原不等式的解集为x|x1名师点津 解一元二次不等式的方法和步骤考点一 含有参数的一元二次不等式的解法【例 1】解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10.解 若 a0，原不等式等价于x11.若 a0，解得 x1.若 a0，原不等式等价于x1a(x1)0.当 a1 时，1a1，x1a(x1)1 时，1a1，解x1a(x1)0，得1ax1；当 0a1，解x1a(x1)0，得 1x1a.综上所述，当 a0
7、 时，解集为xx1；当 a0 时，解集为x|x1；当 0a1时，解集为x1x1 时，解集为x1ax0 的解集是x12x13，则不等式 x2bxa0 的解集是_解析：由题意，知12，13是方程 ax2bx10 的两个根，且 aa2(aR)解：因为 12x2axa2，所以 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得 x1a4，x2a3.当 a0 时，a4a3，解集为xxa3；当 a0 时，x20，解集为x|xR，且 x0；当 aa3，解集为xxa4.综上所述，当 a0 时，不等式的解集为xxa3；当 a0 时，不等式的解集为x|xR，且 x0；当 a0 时，不等式
8、的解集为xxa4.考点二 不等式恒成立问题 命题角度一 在 R 上恒成立问题【例 2】对于任意实数 x，不等式(a2)x22(a2)x40 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B(，2C(2，2)D(2，2解析 当 a20，即 a2 时，40 恒成立；当 a20，即 a2 时，则有a20，2（a2）24（a2）（4）0，解得2a2.综上，实数 a 的取值范围是(2，2故选 D.答案 D命题角度二 在给定区间上恒成立【例 3】已知 0 x2 时，不等式1tx22x1 恒成立，则 t 的取值范围是_解析 当 x0 时，101，不等式恒成立；当 00，|a|1 恒成立的 x 的取值范围解
9、将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x3)ax26x90.令 f(a)(x3)ax26x9，其中1a1.因为 f(a)0 在|a|1 时恒成立，所以若 x3，则 f(a)0，不符合题意，舍去；若 x3，则由一次函数的单调性，可得f（1）0，f（1）0，即x27x120，x25x60，解得 x4，则实数 x 的取值范围为(，2)(4，)名师点津 不等式恒成立问题的求解方法(1)一元二次不等式在 R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解(2)一元二次不等式 f(x)0 在 xa，b上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于或等于 0，从而求
10、参数的范围(3)一元二次不等式对于参数 ma，b恒成立确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数|跟踪训练|3若函数y mx2（1m）xm的定义域为R，则实数m的取值范围是_解析：要使 y mx2（1m）xm有意义，即 mx2(1m)xm0 对xR 恒成立，则m0，（1m）24m20，解得 m13.答案：13，4(一题多解)设函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1，3，f(x)m5 恒成立，求实数 m 的取值范围解：要使 f(x)m5 在 x1，3上恒成立，即 m(x2x1)60 在 x1，3上恒成立，即 mx12234m60 时，g(x)在
11、1，3上是增函数，所以 g(x)maxg(3)7m60，所以 m67，所以 0m67；当 m0 时，60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1，3上是减函数，所以 g(x)maxg(1)m60，所以 m6，所以 m0.综上所述，m 的取值范围是mm0，又因为 m(x2x1)60，所以 m6x2x1.因为函数 y6x2x16x12234在1，3上的最小值为67.所以只需 m67即可所以 m 的取值范围是mm67.考点 一元二次不等式的实际应用【例】甲厂以 x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时可获得的利润是 1005x13x 元(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润
12、不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解(1)根据题意，得 2005x13x 3 000，整理得 5x143x0，即 5x214x30.又 1x10，解得 3x10.即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3，10(2)设利润为 y 元，则y900 x 1005x13x910451x3x2910431x1626112，故当 x6 时，ymax457 500.即甲厂以 6 千克/时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500 元名师
13、点津 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的效果|跟踪训练|某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成(1成10%)，售出商品数量就增加85x 成要求售价不能低于成本价(1)设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围.解：(1)由题意，得 y1001 x10 1001 850 x.因为售价不能低于成本价，所以 1001 x10 800.所以 yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为 x0，2(2)由题意得 40(10 x)(254x)10 260，化简得 8x230 x130，解得12x134，所以 x 的取值范围是12，2.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
