1、第四章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1正、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asin A 1b_2Ra2 3 _；b2 4 _
2、；c2 5 _sin Bcsin Cb2c22bccosAc2a22cacosBa2b22abcosC定理正弦定理常见变形(1)a2Rsin A，b 6 _，c 7 _；(2)sin A a2R，sin B 8 _，sin C c2R；(3)abc 9 _；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A2RsinB2RsinCb2RsinAsinBsinC定理正弦定理常见变形cos A 10 _；cos B 11 _；cos C 12 _b2c2a22bcc2a2b22aca2b2c22ab2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Ba
3、bc4R 12(abc)r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.3在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式absin Absin A abab 解的个数13 _14 _15 _16 _17 _一解两解一解一解无解常用结论1三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sinAB2cosC2；(4)cosAB2sinC2.2三角形中的射影定理在ABC 中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3在ABC 中，ABabsin Asin Bcos
4、 Asin B，则 AB.()(3)在ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当 b2c2a20 时，ABC 为锐角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 为直角三角形；当 b2c2a20 时，ABC 不一定为锐角三角形 答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 5P10B 组 T2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析：由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形 答案：等腰三角形或直角三角形3
5、(必修 5P18T1 改编)在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_解析：由正弦定理得 BCsin A ACsin B，即2 3sin 60 4sin B，sin B1，又 0B180，B90，AB2，SABC1222 32 3.答案：2 3三、易错自纠4在ABC 中，已知 b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A有一解B有两解C无解D有解但解的个数不确定解析：选 C 由正弦定理得，bsin Bcsin C，sin Bbsin Cc40 3220 31.角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在5在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c
6、bcos A，则ABC 为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形解析：选 A 由已知及正弦定理得 sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B0，B 为钝角，故ABC 为钝角三角形6(2020 届广东省七校联合体高三联考)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 c 31，b2，A3，则 B()A.34B.6C.4D.4或34解析：选 C c 31，b2，A3，由余弦定理可得 a b2c22bccos A 4（31）222（31）12 6，由正弦定理可得 sin Bbsin Aa2
7、326 22，ba，B 为锐角，B4.故选 C.7设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a，3sin A5sin B，则角 C_解析：由 3sin A5sin B 及正弦定理，得 3a5b.又因为 bc2a，所以 a53b，c73b，所以 cos Ca2b2c22ab53b 2b273b 2253bb12.因为 C(0，)，所以 C23.答案：23课 堂 考 点 突 破2考点一 利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)(2019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A14，则bc()
8、A6 B5C4 D3(2)(2019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin Aacos B0，则 B_解析(1)由正弦定理及 asin Absin B4csin C，得 a2b24c2，由余弦定理可得，cos Ab2c2a22bc3c22bc 14.所以bc6.故选 A.(2)在ABC 中，由已知及正弦定理，得 sin Bsin Asin Acos B0，sin A0，sin Bcos B0，即 tan B1.又 B(0，)，B34.答案(1)A(2)34名师点津 1正、余弦定理的选用(1)利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求
9、其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；(2)利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的2三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断|跟踪训练|1在ABC 中，cos C2 55，BC1，AC5，则 AB()A4 2B.30C.29D2 5解析：选 A 因为 cos C2 55，所以 cos C2cos2 C212552135.于是，在 ABC 中，由 余 弦
10、定 理 得，AB2 AC2 BC2 2ACBCcos C 52 12 25135 32，所以 AB4 2.故选 A.2ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若2ab2c，求 sin C.解：(1)由已知，得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理，得 b2c2a2bc.由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120C，由题设及正弦定理得 2sin Asin(120C)2sin C，即 62 32 cos C12
11、sin C2sin C，即 cos(C60)22.由于 0C120，所以 sin(C60)22，故 sin Csin(C60)60sin(C60)cos 60cos(C60)sin 606 24.考点二 利用正、余弦定理求解三角形的面积问题【例 2】(2019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 asin AC2bsin A.(1)求 B；(2)若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围解(1)由已知及正弦定理得，sin Asin AC2sin Bsin A 因为 sin A0，所以 sin AC2sin B.由 ABC180，可得 sin A
12、C2cos B2，故 cos B22sin B2cos B2.因为 cos B20，故 sin B212，因此 B60.(2)由已知及(1)知，ABC 的面积 SABC12acsin B 34 a.由正弦定理得 acsin Asin C sin（120C）sin C32tan C12.由于ABC 为锐角三角形，故 0A90，0C90.由(1)知，AC120，所以 30C90，故12a2，从而38 SABC 32.因此，ABC 面积的取值范围是38，32.名师点津 1求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面
13、积；(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解提醒 正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用|跟踪训练|3(2019 年全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为_解析：由余弦定理 b2a2c22accos B 及已知，得 62(2c)2c22c2，c2
14、3(c2 3舍去)，a2c4 3，ABC 的面积 S12acsin B124 32 3 32 6 3.答案：6 34(2019 届贵阳模拟)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 bc2acosB.(1)证明：A2B；(2)若ABC 的面积 Sa24，求角 A 的大小解：(1)证明：由正弦定理，得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin(AB)又 A，B(0，)，故 0AB，所以 B(AB)或 BAB，因此 A(舍去)或 A2B，所以 A2
15、B.(2)由 Sa24，得12absin Ca24，故有 sin Bsin C12sin A12sin 2Bsin Bcos B，由 sin B0，得 sin CcosB.又 B，C(0，)，所以 C2B.当 BC2时，A2；当 CB2时，A4.综上，A2或 A4.考点三 判断三角形的形状【例 3】(1)(一题多解)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC 的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定(2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 cacos B(2ab)cos A，则ABC
16、的形状为_解析(1)解法一：因为 bcos Cccos Bba2b2c22abca2c2b22ac2a22a a，所以 asin Aa，即 sin A1，故 A2，因此ABC 是直角三角形解法二：因为 bcos Cccos Basin A，所以 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC)sin2A，所以 sin Asin2A，故 sin A1，即 A2，因此ABC 是直角三角形(2)因为 cacos B(2ab)cos A，所以由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，所以 sin(AB)sin Acos B2sin A
17、cos Asin Bcos A，故 cos A(sin Bsin A)0，所以 cos A0 或 sin Asin B，即 A2或 AB，故ABC 为等腰或直角三角形 答案(1)A(2)等腰或直角三角形|母题探究|(变条件)(一题多解)若将本例(1)条件改为“2sin Acos Bsin C”，试判断ABC 的形状解：解法一：由已知得 2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以 AB，故ABC 为等腰三角形解法二：由正弦定理得 2acos Bc，再由余弦定理得 2aa2c2b22acca2b2ab，故ABC 为等腰
18、三角形名师点津 判定三角形形状的两种常用途径提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系|跟踪训练|5(2019 届广西桂林阳朔三校调研)在ABC 中，abc357，那么ABC是()A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D非钝角三角形解析：选 B 因为 abc357，所以可设 a3t，b5t，c7t，由余弦定理可得，cos C9t225t249t223t5t12，所以 C120，所以ABC 是钝角三角形，故选B.6(一题多解)若 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，那么ABC 一定是
19、()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形解析：选 D 解法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin Csin Bcb，由 2cos Asin Bsin C，有 cos A sin C2sin B c2b.又由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc，所以 c2bb2c2a22bc，即 c2b2c2a2，所以 a2b2，所以 ab.又因为 a2b2c2ab.所以 2b2c2b2，所以 b2c2，所以 bc，所以 abc，所以ABC 为等边三角形解法二：利用角的关系来判断：因为 ABC180，所以 sin Csin(AB)，又因为 2cos Asin Bsin C，所以 2cos
20、 Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以 sin(AB)0.又因为 A 与 B 均为ABC 的内角，所以 AB，又 a2b2c2ab，由余弦定理，得 cos Ca2b2c22ab ab2ab12，又 0C180，所以 C60，所以ABC 为等边三角形考点 正、余弦定理在平面几何中的应用【例】如图，在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c4，b2，2ccos Cb，D，E 分别为线段 BC 上的点，且 BDCD，BAECAE.(1)求线段 AD 的长；(2)求ADE 的面积解(1)因为 c4，b2，2ccos Cb，所以 cos C b2c14.由余
21、弦定理得 cos Ca2b2c22aba24164a14，所以 a4，即 BC4.又 BDCD，CD2.在ACD 中，CD2，AC2，所以 AD2AC2CD22ACCDcos ACD6，所以 AD 6.(2)因为 AE 是BAC 的角平分线，所以SABESACE12ABAEsin BAE12ACAEsin CAEABAC2.又SABESACEBEEC，所以BEEC2，所以 CE13BC43，DE24323.又因为 cos C14，所以 sin C 1cos2C 154.又 SADESACDSACE12ACCDsin C12ACCEsin C，所以 SADE12DEACsin C 156.名师点
22、津 平面几何中解三角形问题的求解思路1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果提醒 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题|跟踪训练|(2020 届四川省五校高三上学期联考)在ABC 中，ABsin C4ACsin B，BC4，BC 边上的中线长为 1，则 AC_解析：解法一：在ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，所以 ABsin C4ACsin B，即 csin C4bsin B
23、，由正弦定理，得 c24b2，故 c2b，由余弦定理，得cos Ab2c2a22bc5b2164b2.设 BC 的中点为 D，则 2AD ABAC，两边平方得 4|AD|2|AB|22|AB|AC|cos BAC|AC|2，即 4c22bccosBACb25b24b2cos BAC5b24b25b2164b2，解得 b 2，即 AC 2.解法二：在ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，所以 ABsin C4ACsin B，即 csin C4bsin B，由正弦定理，得 c24b2，故 c2b.设 BC 的中点为 D，延长中线AD 至 F，使 ADDF，连接 BF，CF，则四边形 ABFC 是平行四边形，cosBACcosABF0，又 cosBACb24b2164b2，cos ABFb24b244b2，所以 ACb 2.答案：2点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
