1、第四章 三角函数、解三角形第四节 三角函数的图象与性质栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，
2、中档难度.1.数学运算2.逻辑推理 3.直观想象 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1，(，0)，1 _，(2，0)(2)在余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0，2_，32，0，(2，1)32，1(，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数ysin xycos xytan x 图象定义域RR3 _值域4 _5 _6 _1，11，1R函数ysin xycos xytan x 周期性7 _8 _9 _ 奇偶性10 _11 _奇函
3、数递增区间12_13_14_2奇函数偶函数2k2，2k22k，2kk2，k22函数ysin xycos xytan x 递减区间15_16 _无对称中心17 _18_k2，0对称轴方程19 _20 _无2k，2k(k，0)k2，0 xk2xk2k2，2k32常用结论1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若 f(x)Asin(x)(A，0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是 2k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ)基础自测一
4、、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴()(2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数()(3)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.()(4)ysin|x|是偶函数()解析：(1)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条(2)正切函数 ytan x 在每一个区间k2，k2(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数(3)当 k0 时，ymaxk1；当 k0，9x20，得kxk2，kZ，3x3.所以3x2或 0 x2.所以函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域
5、为3，20，2.答案：3，2 0，23(一题多解)函数 y sin xcos x的定义域为_解析：解法一：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.在同一坐标系中画出0，2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x2k4x2k54，kZ.解法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为x2k4x2k54，kZ.解法三：sin xcos x 2sinx4 0，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知，2kx42k
6、(kZ)，解得 2k4x2k54(kZ)所以定义域为x2k4x2k54，kZ.答案：x2k4x2k54，kZ名师点津 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解考点一 三角函数的值域【例 1】(1)当 x6，76 时，函数 y3sin x2cos2x 的最小值是_，最大值是_(2)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_解析(1)因为 x6，76，所以 sin x12，1.又因为 y3sin x2cos2 x3sin x2(1sin2x)2sin x14278，所以当 sin x14时，ymin78，当 sin x12或 sin
7、 x1 时，ymax2.(2)设 tsin xcos x，则 2t 2，t2sin2xcos2x2sin xcos x，则 sin xcos x1t22，所以 yt22t1212(t1)21，所以当 t1 时，ymax1；当 t 2 时，ymin12 2.所以函数的值域为12 2，1.答案(1)78 2(2)12 2，1名师点津 三角函数值域的求法(1)利用 ysin x 和 ycos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)b(或 yAcos(x)b)的形式求值域(3)把 sin x 或 cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域(4)利用 sin xco
8、s x 和 sin xcos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域|跟踪训练|1(2019 年全国卷)函数 f(x)sin2x32 3cos x 的最小值为_解析：f(x)sin2x32 3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令 tcos x，则 t1，1 则 f(t)2t23t12t342178.易知当 t1 时，f(t)min2123114.故 f(x)的最小值为4.答案：42已知函数 f(x)sin2x 3sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)在区间3，m 上的最大值为32，求 m 的最小值解：(1)f(x)1212cos 2
9、x 32 sin 2xsin2x6 12.所以 f(x)的最小正周期为 T22.(2)由(1)知，f(x)sin2x6 12.由题意知，3xm.所以56 2x62m6.要使得 f(x)在3，m 上的最大值为32，则 sin2x6在3，m 上的最大值为 1.所以 2m62，即 m3.所以 m 的最小值为3.考点二 三角函数的单调性 命题角度一 求三角函数的单调区间【例 2】(1)函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是()A.k2 12，k2 512(kZ)B.k2 12，k2 512(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k 12，k512(kZ)(2)函数 y12sin x 32 cos x
10、x0，2 的单调递增区间是_解析(1)由 k22x3k2(kZ)，得k2 12x0)在区间2，23 上是增函数，则 的取值范围是_解析 解法一：因为 x2，23(0)，所以 x2，23.因为 f(x)2sin x 在2，23 上是增函数，所以22，23 2，0，故 00)的图象如图所示 要使 f(x)在2，23 上是增函数，需 22，23 2(0)，即 00)，从而有 22，223，即 034.答案 0，34名师点津 1求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数中所含自变量的代数式整体当作一个角 u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解；(2)图象法：画出三角函数的
11、正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间2已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解提醒 要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 的符号，若 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域|跟踪训练|3(一题多解)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的
12、最大值是()A.4B.2C.34D解析：选 A 解法一：f(x)cos xsin x 2cosx4，且函数 ycos t 在区间0，上单调递减，则 0 x4，得4x34.因为 f(x)在a，a上是减函数，所以a4，a34，解得 a4，所以 0a4，所以 a 的最大值是4，故选 A.解法二：因为 f(x)cos xsin x，所以 f(x)sin xcos x，则由题意，知 f(x)sin xcos x0 在a，a上恒成立，即 sin xcos x0，即 2sinx4 0 在a，a上恒成立，结合函数 y 2sinx4 的图象可知有a40，a4，解得 a4，所以 00，函数 f(x)sinx4 在
13、2，上单调递减，则 的取值范围是_解析：解法一：由2x0，得2 4x40，kZ，得 k0，所以 12，54.解法二：由已知T22，所以 02，又2x，得4x494.当2x432 时，f(x)单调递减，解得 4x54，于是应有 42，54，解得1254.答案：12，54考点三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 命题角度一 三角函数的周期性【例 4】(1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4 中，最小正周期为 的所有函数为()ABCD(2)若函数 f(x)2tankx3 的最小正周期 T 满足 1T2，则自然数 k 的值为_解析(1)ycos|2x|cos 2x
14、，最小正周期为；由图象知 y|cos x|的最小正周期为；ycos2x6 的最小正周期为 T22；ytan2x4 的最小正周期 T2，故选 A.(2)由题意得，1k2，k2k，即2k0)的最小正周期为 4，则该函数的图象()A关于点3，0 对称B关于点53，0 对称C关于直线 x3对称D关于直线 x53 对称(2)已知函数 ysin(2x)20)的最小正周期是 4，而 T24，所以 12，即 f(x)2sinx26.令x262k(kZ)，解得 x23 2k(kZ)，故 f(x)的对称轴为 x23 2k(kZ)，令x26k(kZ)，解得 x32k(kZ)故 f(x)的对称中心为32k，0(kZ)
15、，对比选项可知 B 正确(2)由题意得，f3 sin23 1，23 k2(kZ)，k6(kZ)2，2，6.答案(1)B(2)6名师点津 三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，需先把所给三角函数式化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式再把(x)整体看成一个变量，若求 f(x)Asin(x)(0)图象的对称轴，则只需令 x2k(kZ)，求 x；若求 f(x)Asin(x)(0)图象的对称中心的横坐标，则只需令 xk(kZ)，求 x.|跟踪训练|5(2019 届济南模拟)设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x
16、)的图象关于直线 x83 对称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在2，上单调递减解析：选 D 因为 f(x)cosx3 的周期为 2k(kZ 且 k0)，所以 f(x)的一个周期为2，A 项正确；因为 f(x)cosx3 图象的对称轴为直线 xk3(kZ)，所以 yf(x)的图象关于直线 x83 对称，B 项正确；f(x)cosx43.令 x43 k2(kZ)，得 xk56，当 k1 时，x6，所以 f(x)的一个零点为 x6，C 项正确；因为 f(x)cos x3 的 单 调 递 减 区 间 为 2k3，2k23(kZ)，单 调 递 增 区 间 为2k23，2k53(kZ)，所以2，23
17、 是 f(x)的单调递减区间，23，是 f(x)的单调递增区间，故选 D.6.(2019 届成都模拟)已知函数 f(x)sin(x)0，|2 的最小正周期为 4，且xR，有 f(x)f3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是()A.23，0B.3，0C.23，0D.53，0解析：选 A 由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得 12.因为 f(x)f3 恒成立，所以 f(x)maxf3，即12322k(kZ)，由|2，得 3，故 f(x)sin12x3.令12x3k(kZ)，得 x2k23(kZ)，故 f(x)图象的对称中心为2k23，0(kZ)，当 k0 时，f(x)图象的对称中
18、心为23，0.考点 三角函数图象与性质的综合问题【例】已知函数 f(x)sin56 2x2sinx4cosx34.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若 x 12，3，且 F(x)4f(x)cos4x3的最小值是32，求实数 的值解(1)f(x)sin56 2x2sinx4cosx34 12cos 2x 32 sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)12cos 2x 32 sin 2xsin2xcos2x12cos 2x 32 sin 2xcos 2xsin2x6.函数 f(x)的最小正周期 T22.由 2k22x62k2(kZ)，得 k6xk3(kZ)
19、，函数 f(x)的单调递增区间为 k6，k3(kZ)(2)F(x)4f(x)cos4x34sin2x612sin22x62sin22x6 4sin2x6 12sin2x6 2122.x 12，3，02x62，0sin2x6 1.若 1，当 sin2x6 1 时，F(x)取得最小值，最小值为 14，由已知得，1432，解得 58，这与 1 矛盾综上所述，12.名师点津 三角函数的综合问题主要包括两个方面：一是三角函数知识模块内的综合知识，这需要熟练把握三角函数的图象和性质，准确选择问题的切入口；二是三角函数与其他知识模块的交汇，一般需要把三角函数看作一个整体，通过换元转化为其他知识模块的问题求解
20、，最后再结合三角函数的性质求解|跟踪训练|1(2020 届唐山市高三摸底)将函数 f(x)sin 2x 的图象上所有点向左平移4个单位长度，得到 g(x)的图象，则下列说法正确的是()Ag(x)的最小正周期为 2B.4，0 是 g(x)的图象的一个对称中心C直线 x34 是 g(x)的图象的一条对称轴Dg(x)在0，2 上单调递增解析：选 B 将 f(x)sin 2x 的图象上所有点向左平移4个单位长度，得 g(x)sin2x4 sin2x2 cos 2x 的图象，所以函数 g(x)的最小正周期为，故选项 A 错误；因为 g4 0，所以4，0 是函数 g(x)的图象的一个对称中心，故选项 B
21、正确；因为g34 0，所以直线 x34 不是函数 g(x)的图象的一条对称轴，故选项 C 错误；当 x0，2时，2x(0，)，所以函数 g(x)在0，2 上单调递减，故选项 D 错误故选 B.2(2019 届山东威海二模)已知函数 f(x)的定义域为 R，f12 12，对任意的 xR满足 f(x)4x.当 0，2时，不等式 f(sin)cos 20 的解集为()A.76，116B.43，53C.3，23D.6，56解析：选 D 由题意构造函数 g(x)f(x)2x21，则 g(x)f(x)4x0，所以函数 g(x)在 R 上为增函数 因为 f12 12，所以 g12 f12 212210.又 f(sin)cos 20，所以 g(sin)f(sin)2sin21f(sin)cos 20g12，所以 sin 12.因为 02，所以60 的解集为6，56.故选 D.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
