1、云南省楚雄天人中学2020-2021学年高二数学下学期3月月考试题 理一、 选择题(共12小题,每小题5分,共60分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合,则ABCD2关于函数,下列说法正确的是( )A没有最小值,有最大值B有最小值,没有最大值C有最小值,有最大值D没有最小值,也没有最大值3将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组,绘成频率分布直方图如图所示,现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈,则成绩为组应抽取的人数为( )A60 B50 C40 D204曲线,与轴所围成的面积是( )A0 B2 C4 D5中心在原点,焦点在轴上的双曲线的一条
2、渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )A B C D6设向量=(1,)与=(-1, 2)垂直,则等于 ( )ABC0D-17. 如果函数的导函数的图象如图所示,给出下列判断:函数在区间内单调递增;函数在区间内单调递减;函数在区间(4,5)内单调递增;当2时,函数有极小值;当时,函数有极大值则上述判断中正确的是()A B C D8设曲线在点处的切线与直线垂直,则( )A2BCD9已知,则的大小关系为A B C D10已知正数是关于的方程的两根,则的最小值为( )A2B C4D11在上可导的函数的图象如图示,为函数的导数,则关于的不等式的解集为( )A B C D12已知是定义在上的奇函数
3、,是的导函数,且满足,则不等式的解集为( )A B C D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上) 13已知,则_.14函数在其极值点处的切线方程为_.15抛物线的准线被圆截得的弦长为,则_.16已知曲线存在垂直于轴的切线,且函数在上单调递减,则的范围为 _三、解答题:共70分.(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题共10分)等比数列中,已知(1)求数列的通项公式; (2)若分别为等差数列的第3项和第5项,试求数列的通项公式及前项和18(本题共12分)在面积为的中,.(1)求的长;(2)求的值.19(本题
4、共12分)如图,在三棱锥中,平面平面,是的中点(1)求证:平面;(2)设点是的中点,求二面角的余弦值20(本题共12分)已知函数(1)若函数在和处取得极值,求,的值;(2)在(1)的条件下,当时,恒成立,求的取值范围21(本题共12分)在直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,设点P的轨迹为,直线与交于两点(1)写出的方程;(2)若,求k的值;(3)若点A在第一象限,证明:当k0时,恒有|22 (本题共12分)已知是自然对数的底数,函数,其中.(1) 当时,若,求的单调区间;(2) (2)若在上恰有三个零点,求的取值范围.楚雄天人中学2022届高二年级下学期3月数学学习效果监测理科数学参考
5、答案1B【解析】 ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理.2D【分析】利用研究函数的最值.【详解】依题意,所以在上递增,没有最小值,也没有最大值.故选:D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,属于基础题.3C【分析】根据6个矩形面积之和等于1求出,再用样本容量乘以第4个矩形的面积即可得到答案.【详解】依题意得,解得,所以成绩为组应抽取的人数为,故选:C【点睛】本题考查了频率分布直方图,考查了分层抽样,属于基础题.4C【分析】根据积分的几何意义化为求可得结果.【详解】曲线,与轴所围成的面积.故选:C【点睛】结论
6、点睛:由上下两条连续曲线与及两条直线与所围成的平面图形的面积为.5D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,-2=-4,a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,e=.6C【详解】:正确的是C.点评:此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质,同时考察三角函数的求值运算.7D【解析】对于,函数y=f(x)在区间(3,)内有增有减,故不正确;对于,函数y=f(x)在区间(,3)有增有减,故不正确;对于,函数y=f(x)当x(4,5)时,恒有f(x)0故正确;对于,当x=2时,函数y=f(x)有极大值,故不正确;对于,当x=时,f(x)0,故不正确故选D8D【详解】,直线的斜率
7、为-a.所以a=-2, 故选D9A【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小【详解】;故故选A【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待10C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系,求得,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,正数是关于的方程的两根,可得,则,当且仅当时,即时等号成立,经检验知当时,方程有两个正实数解.所以的最小值为.故选:C.【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其满足的三个条件:“一正、二定、三相等”:(1)“一正”:就是各项必须为正数;(2)“二定”:就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因
8、式的和转化成定值;(3)“三相等”:利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.11A【解析】试题分析:由图象可知f(x)=0的解为x=-1和x=1函数f(x)在(-,-1)上增,在(-1,1)上减,在(1,+)上增f(x)在(-,-1)上大于0,在(-1,1)小于0,在(1,+)大于0当x0时,f(x)0解得x(-,-1)当x0时,f(x)0解得x(0,1)综上所述,x(-,-1)(0,1),故选A考点:函数的图象;导数的运算;其他不等式的解法12D【分析】构造函数,由,结合已知条件知的区间单调性,进而得到在上恒负,在上
9、恒正,即可求解函数不等式的解集.【详解】,在为减函数,而,在上,;在上,;而,在上,又函数为奇函数,在上.不等式等价于或,.故选:D.【点睛】思路点睛:(1)构造,由已知条件知在为单调递减且.(2)由在、的符号及,得到在上恒负.(3)由奇偶性判断在定义域上的符号.(4)由函数不等式求解集即可.13【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可.【详解】,则,所以.故答案为:.14【解析】,令,此时函数在其极值点处的切线方程为考点:导数的几何意义.15【分析】根据抛物线的准线被圆截得的弦长为,列出方程,即可求解.【详解】由题意,圆的圆心坐标为,半径为,又由抛物线的准线方程为,因为抛物线的准线被圆截得
10、的弦长为,可得圆心到准线的距离为,解得.故答案为:16【解析】试题分析:曲线存在垂直于轴的切线,在时有解,因此,此时,得,函数在上单调递减,则,恒成立,即,函数在区间上单调递增,最大值为,满足,因此.考点:1、利用导数研究函数的性质;2、恒成立的问题.17(1) .(2) .【解析】试题分析:(1)本题考察的是求等比数列的通项公式,由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比,代入等比数列的通项公式,即可得到所求答案(2)由(1)可得等差数列的第3项和第5项,然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项,然后根据等差数列的求和公式,即可得到其前项和试题解析:()设的公比为由已知得,.2分
11、解得,所以.2分()由()得,则,设的公差为,则有解得.2分从而.2分所以数列的前项和.2分考点:等差、等比数列的性质18(1)4;(2).【分析】(1)先由题意,得到;再由三角形面积公式,列出方程,即可求出结果;(2)先由余弦定理,求出,再由正弦定理,即可得出结果.【详解】(1)因为,即,则;.2分在中,所以.3分所以;.1分(2)由余弦定理得,.2分所以;.1分由正弦定理得,则.3分【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形,熟记公式即可,属于基础题型.19()证明见解析;()【分析】()根据面面垂直的性质定理可得平面,根据线面垂直的性质定理,可得,根据等腰三角形中线的性质,可得,利用线面垂直
12、的判定定理,即可得证;()根据面面垂直的性质定理可得平面,结合题意,如图建系,可得各点坐标,进而可得,的坐标,即可求得两个平面的法向量,利用二面角的向量求法,即可求得答案.【详解】解:()平面平面,平面平面=AC,平面,平面,.2分平面,.1分,是的中点,.1分,平面,平面 .2分()平面平面,平面平面=AC,平面,平面,平面,.2分以C为原点,CA,CB,CP为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,.1分由()知是平面的一个法向量,设是平面的法向量,则有,即,令,则,设二面角所成角为,由图可得为锐角,则.3分【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理,线面垂直的判定和性质
13、定理,并灵活应用,处理二面角或点到平面距离时,常用向量法求解,建立适当的坐标系,求得所需点的坐标及向量坐标,求得法向量坐标,代入夹角或距离公式,即可求得答案.20(1);(2)【分析】(1)先对函数求导,根据极值点列出方程组求解,即可得出结果;(2)由(1),得到,列表确定函数单调性和极值,得到函数最小值,推出,进而可求出结果.【详解】(1)由题可得,.1分函数在和处取得极值,2是方程的两根,;.3分(2)由(1)知,当变化时,随的变化如下表:2300增减增.4分当时,的最小值为,要使恒成立,只要即可,的取值范围为.4分【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数,考查导数的方法研究不等式恒成立问题
14、,属于常考题型.21(),()略.【解析】(I)根据椭圆定义可知a=2,所以b=1,再注意焦点在y轴上,曲线C的方程为.,.3分(II) 直线与椭圆方程联立,消y得关于x的一元二次方程,再根据坐标化为,借助直线方程和韦达定理建立关于k的方程,求出k值.(III)要证:|,,再根据A在第一象限,故,从而证出结论.解:()设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆它的短半轴,故曲线C的方程为 3分()设,其坐标满足消去y并整理得,故 .2分若,即而,于是,化简得,所以 .3分().2分因为A在第一象限,故由知,从而又,故,即在题设条件下,恒有.2分22(1)的单调递减
15、区间为,单调递增区间为;(2).【分析】(1)当时,先对求导得的解析式,再对求导,由得单间区间,由得单增区间;(2)由题意可得方程有三个不等的实根,等价于方程有三个不等的实根,即与两个函数图象有三个不同的交点,对求导判断其单调性,作出其图象,数形结合即可求解.【详解】(1)当时,.1分令,则,.1分当时,在上单调递减;.1分当时,在上单调递增.1分所以的单调递减区间为,单调递增区间为;.1分(2),.1分所以若在上恰有三个零点等价于有三个不等的实根,等价于方程有三个不等的实根,设,则与两个函数图象有三个不同的交点,因为.1分令,得,且当时,单调递增且,当时,单调递减且,当时,单调递增且作出其图象如图所示:当时,.3分由图知当时,与的图象有三个交点,即有三个不同的零点,所以的取值范围是.2分【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.