1、云南省楚雄天人中学2020-2021学年高二数学下学期3月月考试题 理一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合，则ABCD2关于函数，下列说法正确的是（ ）A没有最小值，有最大值B有最小值，没有最大值C有最小值，有最大值D没有最小值，也没有最大值3将某市参加高中数学建模竞赛的学生成绩分成6组，绘成频率分布直方图如图所示，现按成绩运用分层抽样的方法抽取100位同学进行学习方法座谈，则成绩为组应抽取的人数为（ ）A60 B50 C40 D204曲线，与轴所围成的面积是（ ）A0 B2 C4 D5中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条
2、渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为（ ）A B C D6设向量=（1，）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ）ABC0D-17. 如果函数的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数在区间内单调递增；函数在区间内单调递减；函数在区间(4,5)内单调递增；当2时，函数有极小值；当时，函数有极大值则上述判断中正确的是()A B C D8设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD9已知，则的大小关系为A B C D10已知正数是关于的方程的两根，则的最小值为（ ）A2B C4D11在上可导的函数的图象如图示，为函数的导数，则关于的不等式的解集为（ ）A B C D12已知是定义在上的奇函数
3、，是的导函数，且满足，则不等式的解集为（ ）A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上） 13已知，则_.14函数在其极值点处的切线方程为_.15抛物线的准线被圆截得的弦长为，则_.16已知曲线存在垂直于轴的切线，且函数在上单调递减，则的范围为 _三、解答题：共70分.（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题共10分）等比数列中，已知（1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和18（本题共12分）在面积为的中，.（1）求的长；（2）求的值.19（本题
4、共12分）如图，在三棱锥中，平面平面，是的中点（1）求证：平面；（2）设点是的中点，求二面角的余弦值20（本题共12分）已知函数（1）若函数在和处取得极值，求，的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围21（本题共12分）在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与交于两点（1）写出的方程；（2）若，求k的值；（3）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有|22 （本题共12分）已知是自然对数的底数，函数，其中.（1） 当时，若，求的单调区间;（2） （2）若在上恰有三个零点，求的取值范围.楚雄天人中学2022届高二年级下学期3月数学学习效果监测理科数学参考
5、答案1B【解析】 ,选B.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2D【分析】利用研究函数的最值.【详解】依题意，所以在上递增，没有最小值，也没有最大值.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题.3C【分析】根据6个矩形面积之和等于1求出，再用样本容量乘以第4个矩形的面积即可得到答案.【详解】依题意得，解得，所以成绩为组应抽取的人数为，故选：C【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，属于基础题.4C【分析】根据积分的几何意义化为求可得结果.【详解】曲线，与轴所围成的面积.故选：C【点睛】结论
6、点睛：由上下两条连续曲线与及两条直线与所围成的平面图形的面积为.5D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,-2=-4,a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,e=.6C【详解】：正确的是C.点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.7D【解析】对于，函数y=f（x）在区间（3，）内有增有减，故不正确；对于，函数y=f（x）在区间（，3）有增有减，故不正确；对于，函数y=f（x）当x（4，5）时，恒有f（x）0故正确；对于，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故不正确；对于，当x=时，f（x）0，故不正确故选D8D【详解】,直线的斜率
7、为-a.所以a=-2, 故选D9A【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小【详解】；故故选A【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待10C【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正数是关于的方程的两根，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，经检验知当时，方程有两个正实数解.所以的最小值为.故选：C.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因
8、式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11A【解析】试题分析：由图象可知f（x）=0的解为x=-1和x=1函数f（x）在（-，-1）上增，在（-1，1）上减，在（1，+）上增f（x）在（-，-1）上大于0，在（-1，1）小于0，在（1，+）大于0当x0时，f（x）0解得x（-，-1）当x0时，f（x）0解得x（0，1）综上所述，x（-，-1）（0，1），故选A考点：函数的图象；导数的运算；其他不等式的解法12D【分析】构造函数，由，结合已知条件知的区间单调性，进而得到在上恒负，在上
9、恒正，即可求解函数不等式的解集.【详解】，在为减函数，而，在上，；在上，；而，在上，又函数为奇函数，在上.不等式等价于或，.故选：D.【点睛】思路点睛：（1）构造，由已知条件知在为单调递减且.（2）由在、的符号及，得到在上恒负.（3）由奇偶性判断在定义域上的符号.（4）由函数不等式求解集即可.13【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可.【详解】，则，所以.故答案为：.14【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：导数的几何意义.15【分析】根据抛物线的准线被圆截得的弦长为，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，又由抛物线的准线方程为，因为抛物线的准线被圆截得
10、的弦长为，可得圆心到准线的距离为，解得.故答案为：16【解析】试题分析：曲线存在垂直于轴的切线，在时有解，因此，此时，得，函数在上单调递减，则，恒成立，即，函数在区间上单调递增，最大值为，满足，因此.考点：1、利用导数研究函数的性质；2、恒成立的问题.17(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和试题解析：（）设的公比为由已知得，.2分
11、解得，所以.2分（）由（）得，则，设的公差为，则有解得.2分从而.2分所以数列的前项和.2分考点：等差、等比数列的性质18（1）4；（2）.【分析】（1）先由题意，得到；再由三角形面积公式，列出方程，即可求出结果；（2）先由余弦定理，求出，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】（1）因为，即，则；.2分在中，所以.3分所以；.1分（2）由余弦定理得，.2分所以；.1分由正弦定理得，则.3分【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，熟记公式即可，属于基础题型.19（）证明见解析；（）【分析】（）根据面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的性质定理，可得，根据等腰三角形中线的性质，可得，利用线面垂直
12、的判定定理，即可得证；（）根据面面垂直的性质定理可得平面，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得，的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】解：（）平面平面，平面平面=AC，平面，平面，.2分平面，.1分，是的中点，.1分，平面，平面 .2分（）平面平面，平面平面=AC，平面，平面，平面，.2分以C为原点，CA，CB，CP为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.1分由（）知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则有，即，令，则，设二面角所成角为，由图可得为锐角，则.3分【点睛】解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质
13、定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案.20（1）；（2）【分析】（1）先对函数求导，根据极值点列出方程组求解，即可得出结果；（2）由（1），得到，列表确定函数单调性和极值，得到函数最小值，推出，进而可求出结果.【详解】（1）由题可得，.1分函数在和处取得极值，2是方程的两根，；.3分（2）由（1）知，当变化时，随的变化如下表：2300增减增.4分当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，的取值范围为.4分【点睛】本题主要考查由函数极值点求参数，考查导数的方法研究不等式恒成立问题
14、，属于常考题型.21（），（）略.【解析】(I)根据椭圆定义可知a=2,所以b=1,再注意焦点在y轴上，曲线C的方程为.,.3分(II) 直线与椭圆方程联立，消y得关于x的一元二次方程，再根据坐标化为，借助直线方程和韦达定理建立关于k的方程，求出k值.(III)要证：|,，再根据A在第一象限，故,从而证出结论.解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为 3分（）设，其坐标满足消去y并整理得，故 .2分若，即而，于是，化简得，所以 .3分（）.2分因为A在第一象限，故由知，从而又，故，即在题设条件下，恒有.2分22（1）的单调递减
15、区间为，单调递增区间为；（2）.【分析】（1）当时，先对求导得的解析式，再对求导，由得单间区间，由得单增区间；（2）由题意可得方程有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，即与两个函数图象有三个不同的交点，对求导判断其单调性，作出其图象，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，.1分令，则，.1分当时，在上单调递减；.1分当时，在上单调递增.1分所以的单调递减区间为，单调递增区间为；.1分（2），.1分所以若在上恰有三个零点等价于有三个不等的实根，等价于方程有三个不等的实根，设，则与两个函数图象有三个不同的交点，因为.1分令，得，且当时，单调递增且，当时，单调递减且，当时，单调递增且作出其图象如图所示：当时，.3分由图知当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，所以的取值范围是.2分【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.