1、- 北京市东城区20222023学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）D（4）B （5）C （6）B（7）A（8）D（9）B （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13） (答案不唯一) （14）（15） 三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）因为=所以的最小正周期为 6分（）由题设，由是该函数零点可知，即.故或，解得或.因为，所以的最小值为. 13分 （17） （共13分）解：（）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有
2、13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为 3分（）随机变量的所有可能取值为1，2，3.；则随机变量的分布列为：123故随机变量的数学期望 11分（） 13分（18）（共15分）解：（）连接，.因为长方体中,且，所以四边形为平行四边形.所以为的中点，在中，因为，分别为和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面. 6分（II）选条件：.()连接.因为长方体中，所以.在中,因为为的中点，所以.如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，则，.所以，.xyz设平面的法向量为，则即令，则，可得.设平面的法向量为，则即令，则，所以
3、.设平面与平面的夹角为 ，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.()因为，所以点到平面的距离为. 15分选条件：与平面所成角为.连接.因为长方体中，平面，平面，所以.所以为直线与平面所成角，即.所以为等腰直角三角形.因为长方体中，所以.所以.以下同选条件 . （19）（共15分）解：（）当时，定义域为.，令，得，当时，当时，所以的单调递增区间为. 5分（）令， 则.当时，令，得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，最小值为.当时，的最小值为1，所以的最小值为. 11分（III）由（）知在上单调递减，在上单调递增, 又， 所以，所以. 15分 （20）（共14分）解：（）由题设，得解得.所以椭
4、圆的方程为 5分（）直线的方程为由 得由，得设，则，直线的方程为令，得点的横坐标为同理可得点的横坐标为 因为点坐标为，则点为线段的中点，所以 14分（21）（共15分）解：（）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6. 5分（）若当取最大值时，存在，使得. 由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.若存在，使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.若对任意的，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为的情况.综上可知，存在正整数，使得. 10分（）当n为偶数时，令，对任意具有性质数表，一方面，因此另一方面，因此. 记由+得.又，可得.构造数表可知数表具有性质，且.综上可知，当n为偶数时，的最大值为. 15分
