1、2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1sin240=2复数z=i（1i）的虚部为3抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，则抛物线方程为4不等式的解集为5已知平行直线l1：x2y2=0，l2：2x4y+1=0，则l1与l2之间的距离为6若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为7已知向量=（1，m+1），=（m，2），则的充要条件是m=8已知tan（+）=3，tan=2，则tan（）=9已知函数f（x）=x+asinx在（，+）上单调递增，则实数a的取值范围是10已知圆C：x2+y24x2y20=0，直线l：4
2、x3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则ABD面积的最大值为11若a0，b2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=12已知函数f（x）=kx无零点，则实数k的取值范围是13双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点若AFBF，则双曲线的渐近线方程为14已知函数f（x）=x（1a|x|）+1（a0），若f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是二、解答题（共6小题，满分90分）15已知函数f（x）=2cos（x）sinx+（sinx+cosx）2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象
3、上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值16函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m（1）若m=4时，g（x）0的解集为B，求AB；（2）若存在使得不等式g（x）1成立，求实数m的取值范围17已知圆M：x2+y22x+a=0（1）若a=8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且=6（其中O为坐标原点），求圆M的半径18如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，
4、已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2（1）求sinABC的大小；（2）设ADB=，试确定的大小，使得运输总成本最少19已知椭圆C： =1（ab0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q若（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k，求证：为定值；（2）若且APQ的面积为，求椭圆C的方程20已知函数f（x）=+x（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1）处的切线经过点（0，1）
5、，求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；（2）设a0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值三、解答题（共4小题，满分40分）21已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值22某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数361若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E（）23如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中
6、点，点F在棱PC上，且PF=PC（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值24已知集合A=a1，a2，am若集合A1A2A3An=A，则称A1，A2，A3，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n2，nN*）关于n的表达式2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1sin240=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】由诱导公式sin=sin和特殊角的三角函数值求出即可【解答
7、】解：根据诱导公式sin=sin得：sin240=sin=sin60=故答案为：2复数z=i（1i）的虚部为1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案【解答】解：z=i（1i）=ii2=1+i，复数z=i（1i）的虚部为：1故答案为：13抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，则抛物线方程为x2=2y【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，可知p的值，即可得出抛物线的方程【解答】解：抛物线x2=2py（p0）的准线方程为y=，=，p=1，抛物线方程为x2=2y故答案为：x2=2y4不等式的解集为x|x0或x1【考
8、点】其他不等式的解法【分析】把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集【解答】解：，即，等价于x（x1）0，解得x0或x1，不等式的解集为x|x0或x1故答案为：x|x0或x15已知平行直线l1：x2y2=0，l2：2x4y+1=0，则l1与l2之间的距离为【考点】两条平行直线间的距离【分析】利用平行线间的距离公式计算可得【解答】解：直线l1：x2y2=0即2x4y4=0l1与l2间的距离d=故答案为：6若实数x，y满足条件，则目标函数z=x+2y的最大值为8【考点】简单线性规划【分析】首先画出可行域，将目标函
9、数变形为直线的斜截式，利用几何意义求最大值【解答】解：由题意，可行域如图：目标函数z=x+2y变形为y=xz，由其几何意义得到当此直线经过图中A时z最大，由得到A（4，2），所以z的最大值为4+22=8；故答案为：87已知向量=（1，m+1），=（m，2），则的充要条件是m=2或1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，=m（m+1）2=0，解得m=2或1故答案为：2或18已知tan（+）=3，tan=2，则tan（）=【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tan的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计
10、算得解tan（）的值【解答】解：tan（+）=3，解得：tan=，tan=2，tan（）=故答案为：9已知函数f（x）=x+asinx在（，+）上单调递增，则实数a的取值范围是1，1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围【解答】解：函数f（x）=x+asinx在（，+）上单调递增函数f（x）的导函数f（x）=1+acosx0在（，+）上恒成立，令cosx=t，t1，1，问题转化为g（t）=at+10在t1，1上恒成立，即g（1）0，g（1）0成立，所以1t1故答案为：1，110已知圆C：x2+y24x2y20=0
11、，直线l：4x3y+15=0与圆C相交于A、B两点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则ABD面积的最大值为27【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出弦长AB，求出圆心到直线的距离加上半径，得到三角形的高，然后求解三角形面积的最大值【解答】解：C：x2+y24x2y20=0，即（x2）2+（y1）2=25的圆心（2，1），半径为5圆心到直线l：4x3y+15=0的距离为： =4弦长|AB|=2=6，圆上的点到AB的最大距离为：9ADB面积的最大值为： =27故答案为：2711若a0，b2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=【考点】基本不等式【分析】构造基本不等式的性质即可求解利用“乘1
12、法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：a0，b2，且a+b=3，a+b2=1，那么：（+）a+（b2）=4+1+（+）5+2=9，当且仅当2（b2）=a时即取等号联立，解得：a=故答案为：12已知函数f（x）=kx无零点，则实数k的取值范围是2，0）【考点】函数零点的判定定理【分析】画出函数y=与y=kx的图象，利用函数f（x）=kx无零点，求出实数k的取值范围【解答】解：函数f（x）=kx无零点，也就是=kx没有实数解，在平面直角坐标系中画出： y=与y=kx的图象，如图：函数f（x）=kx无零点，也就是y=与y=kx没有交点由图象可知k2，0）故答案为：2，0）13双曲线=1（a0，b
13、0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点若AFBF，则双曲线的渐近线方程为y=2x【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（x，），=（xc，），=（xc，），由=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b24a2）（9b2+4a2）=0，则可知b24a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=x=2x【解答】解：由题意可知：双曲线=1（a0，b0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b216a2）x2=9a2b2，即x2=，
14、A与B关于原点对称，设A（x，），B（x，），=（xc，），=（xc，），AFBF，=0，即（xc）（xc）+（）=0，整理得：c2=x2，a2+b2=，即9b432a2b216a4=0，（b24a2）（9b2+4a2）=0，a0，b0，9b2+4a20，b24a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=x=2x，故答案为：y=2x14已知函数f（x）=x（1a|x|）+1（a0），若f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是，+）【考点】函数恒成立问题【分析】依题意，f由（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象，
15、可得x（1+ax）+1（x+a）1a（x+a）+1恒成立，整理后为二次不等式，利用0即可求得实数a的取值范围【解答】解：f（x）=x（1a|x|）+1=（a0），f（x+a）=（x+a）（1a|x+a|）+1，f（x+a）f（x）对任意的xR恒成立，在同一坐标系中作出满足题意的y=f（x+a）与y=f（x）的图象如下：x（1+ax）+1（x+a）1a（x+a）+1恒成立，即x+ax2+1a（x2+2ax+a2）+x+a+1，整理得：2x2+2ax+a210恒成立，=4a242（a21）0，解得：a故答案为：，+）二、解答题（共6小题，满分90分）15已知函数f（x）=2cos（x）sinx+（
16、sinx+cosx）2（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）将函数化为y=Asin（x+）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）根据三角函数的图象平移变换规律，求出g（x）的解析式，在求的值【解答】解：函数f（x）=2cos（x）sinx+（sinx+cosx）2化简得：f（x）=2sinxsinx+1+2sinx
17、cosx=2sin2x+sin2x+1=2（cos2x）+sin2x+1=sin（2x）+2由正弦函数的图象及性质可得：2x，是单调增区间，即2x，kZ解得：x，所以：函数f（x）的单调递增区间是，（kZ） （2）由（1）可得f（x）=sin（2x）+2，把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）+2的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到g（x）=sin（x+）+2的图象=sin（）+2=sin+2=3所以的值为：316函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域为A，函数g（x）=x2+（m+1）x+m（1）若m=4时，g（x）0的解集为B
18、，求AB；（2）若存在使得不等式g（x）1成立，求实数m的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得AB；（2）若存在使得不等式g（x）1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）min，解得实数m的取值范围【解答】解：（1）由x2+2x80，解得：x（，4）（2，+），故则函数f（x）=log3（x2+2x8）的定义域A=（，4）（2，+），若m=4，g（x）=x23x4，由x23x40，解得：x1，4，则B=1，4所以AB=（2，4； （2）存在使得不等式x2+（m+1）x+m1成立，即存在使得不等式m成立，所以m（）mi
19、n 因为=x+1+11，当且仅当x+1=1，即x=0时取得等号所以m1，解得：m1 17已知圆M：x2+y22x+a=0（1）若a=8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且=6（其中O为坐标原点），求圆M的半径【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y5=k（x4），利用直线与圆相切的性质即可得出斜率不存在时直接得出即可（2）=（+）（+），即可得出结论【解答】解：（1）若a=8，圆M：x2+y22x+a=0即（x1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意
20、；斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y5=k（x4），即l：kxy4k+5=0 由=3，解得k=，l：8x15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x15y+43=0；（2）=（+）（+）=1（1a）=6，a=6，圆M的半径=18如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心在海岸线l上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在BC之间建一个码头D，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2（1）求sinABC的大小；（2）设ADB=，试确定的大
21、小，使得运输总成本最少【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）利用余弦定理，即可求sinABC的大小；（2）确定函数解析式，利用导数方法求最值【解答】解：（1）在ABC中，cosABC=所以sinABC=（2）在ABD中，由得：AD=，BD= 设水路运输的每百人每公里的费用为k元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k元，则运输总费用y=（5CD+3BD）2k+8kAD=20k（35+） 令H（=，则H（）=当0时，H（）0，H（）单调减；当时，H（）0，H（）单调增=时，H（）取最小值，同时y也取得最小值 此时BD=，满足070，所以点D落在BC之间所以=时，运输总成本最小答：=时，运输总成本最
22、小 19已知椭圆C： =1（ab0）的右焦点为F，过点F的直线交y轴于点N，交椭圆C于点A、P（P在第一象限），过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q若（1）设直线PF、QF的斜率分别为k、k，求证：为定值；（2）若且APQ的面积为，求椭圆C的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知：设P（x1，y1），则Q（x2，y2），由解得：x2=c，由直线的斜率公式k=，k=， =5为定值；（2）由， =3，求得A点坐标，代入椭圆方程，解得=，由c2=a2b2，因此=， =，由三角形的面积公式可知：SAPQ=3c4y1=6cy1=，求得c2=，即可求得c的值，求得椭圆方程【解答】解：（1）设
23、焦点F（c，0），由c2=a2b2，P（x1，y1），则Q（x2，y2），直线PF的斜率k=，QF的斜率k=，c=2（x2c），即x2=c k=，k=，k=5k，即=5为定值 （2）若，则丨AF丨=3丨FP丨，=3，解得：A（c，3y1）点A、P在椭圆C上，则，整理得： =8，解得： =，则，代入得： =， =，APQ的面积为SAPQ=3c4y1=6cy1=，解得：c2=，c2=4，椭圆方程为： 20已知函数f（x）=+x（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1）处的切线经过点（0，1），求a的值；（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请
24、说明理由；（2）设a0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值【解答】解：（1），f（1）=1，f（1）=ae+1函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程为：y（ae+1）=x1，又直线过点（0，1）1（ae+1）=1，解得：a= （2）若a0，（x0），当x（，0）时，f（x）0恒成
25、立，函数在（，0）上无极值；当x（0，1）时，f（x）0恒成立，函数在（0，1）上无极值；在x（1，+）时，令H（x）=aex（x1）+x2，则H（x）=（aex+2）x，x（1，+），ex（e，+，）a为负整数a1，aexaeeaex+20，H（x）0，H（x）在（1，+）上单调减，又H（1）=10，H（2）=ae2+4e2+40x0（1，2），使得H（x0）=0 且1xx0时，H（x）0，即f（x）0；xx0时，H（x）0，即f（x）0；f（x）在x0处取得极大值 （*）又H（x0）=aex0（x01）+x02=0，代入（*）得：，不存在负整数a满足条件 （3）设g（x）=aex（x1）+
26、x2，则g（x）=（aex+2）x，因为a0，所以，当x0时，g（x）0，g（x）单调递增；当x0时，g（x）0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点又g（0）=a0，g（1）=10，所以存在x1（0，1），使g（x1）=0再由g（x）在（0，+）上单调递增知，当x（0，x1）时，g（x）0，故f（x）=，f（x）单调递减；当x（x2，+）时，g（x）0，故故f（x）=，f（x）单调递增；所以函数f（x）在x1处取得极小值 当x0时，ex1，且x10，所以g（x）=aex（x1）+x2a（x1）+x2=x2+axa，函数y=x2+axa是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）0，又g
27、（0）=a0，故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，再由g（x）在（，0）上单调递减知，当x（，x2）时，g（x）0，故f（x）=，f（x）单调递增；当x（x2，0）时，g（x）0，故f（x）=，f（x）单调递减；所以函数f（x）在x2处取得极大值综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值三、解答题（共4小题，满分40分）21已知矩阵M=的一个特征值为4，求实数a的值【考点】特征向量的定义；矩阵特征值的定义【分析】求得矩阵M的特征多项式，由题意可知：4为方程f（）=0的一个根，代入即可求得实数a的值【解答】解：矩阵M的特征多项式为f（）=（2）（1）3a，由矩阵M的一个特征值为4，4为方程
28、f（）=0的一个根，则233a=0，解得：a=2，实数a的值222某校高一年级3个班有10名学生在全国英语能力大赛中获奖，学生来源人数如表：班别高一（1）班高一（2）班高一（3）班人数361若要求从10位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高一（1）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】随机变量的取值可能为0，1，2利用“超几何分布”的概率计算公式及其分布列、数学期望即可得出【解答】解：随机变量的取值可能为0，1，2P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=则012PE（）=+1+2=答：数学期望为23如图，在四棱
29、锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=PC（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时的值【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出的值【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0
30、）、E（0，1），=（1，1），=（1，0，2），cos，=，CE与PD所成角的余弦值为（2）点F在棱PC上，且PF=PC，F（，2），=（，1，22），又=（0，1，0），=（1，1）设为平面CDE的法向量，则，取x=1，得=（1，0，1），设直线BF与平面CDE所成的角为，则sin=|cos，|=，令t=2，则t1，2，sin=，当，即t=1，2时，有最小值，此时sin取得最大值为，即BF与平面CDE所成的角最大，此时=，即的值为 24已知集合A=a1，a2，am若集合A1A2A3An=A，则称A1，A2，A3，An为集合A的一种拆分，所有拆分的个数记为f（n，m）（1）求f（2，1），f
31、（2，2），f（3，2）的值；（2）求f（n，2）（n2，nN*）关于n的表达式【考点】并集及其运算【分析】（1）设A1A2=a1，得f（2，1）=3； 设A1A2=a1，a2，得f（2，2）=9；设A1A2A3=a1，a2，由此利用分类讨论思想能求出f（3，2）（2）猜想f（n，2）=（2n1）2，n2，nN*，再利用数学归纳法进行证明【解答】解：（1）设A1A2=a1，共有3种，即f（2，1）=3； 设A1A2=a1，a2，若A1=，则有1种；若A1=a1，则有2种；若A1=a2，则有2种；若A1=a1，a2，则有4种；即f（2，2）=9； 设A1A2A3=a1，a2，若A1=，则A2A3
32、=a1，a2，所以有f（2，2）=9种；若A1=a1，则A2A3=a1，a2或A2A3=a2，所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1=a2，则有12种；若A1=a1，a2，则A2A3=a1，a2或A2A3=a1或A2A3=a2或A2A3=，所以有1+3+3+9=16种；即f（3，2）=49（2）猜想f（n，2）=（2n1）2，n2，nN*，用数学归纳法证明当n=2时，f（2，2）=9，结论成立假设n=k时，结论成立，即f（k，2）=（2k1）2，当n=k+1时，A1A2Ak+1=a1，a2当Ak+1=时，A1A2A3Ak=a1，a2，所以有f（k，2）=（2k1）2种；当Ak+1=a1时，A1A2Ak=a1，a2，所以有f（k，2）=（2k1）2种，或A1A2A3Ak=a2，所以有2k1种，共有2k（2k1）种；同理当Ak+1=a2时，共有2k（2k1）种；当Ak+1=a1，a2时，A1A2A3Ak=a1，a2，所以有f（k，2）=（2k1）2种，或A1A2A3Ak=a1，所以有2k1种，或A1A2Ak=a2，所以有2k1种，或A1A2A3Ak=，所以有1种，共有22k种；则f（k+1，2）=4（2k1）2+4（2k1）+1=（2k+11）2，所以，当n=k+1时，结论成立所以f（n，2）=（2n1）2，n2，nN*2016年12月10日
