1、山西省晋中市2021届高三数学下学期3月适应性考试（二模）试题 文（本试卷考试时间120分钟，满分150分）祝考试顺利注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上2全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效3回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则等于（ ）A B C D2已知复数z满足，则（ ）A B C3 D3已知向量，且，则m的值为（ ）A B2 C4 D或44已知圆锥的表面积为，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A B C D5魔方又叫鲁比克方块（Rubks Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有
3、色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）A B C D6已知，则（ ）A B C D7已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足则（ ）A1 B2 C3 D48定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）A B C D9已知函数的部分图象如图所示，则使成立的a的最小正值为（ ）A B C D10九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）A B C D11已知是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为的直线交y轴于点N，交双曲线
4、右支于点M，若，则双曲线C的离心率为（ ）A B C2 D12若存在实数x，y满足，则（ ）A B0 C1 D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13设x，y满足则的最小值是_，最大值是_14曲线在点处的切线方程为_15过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则_16如图所示，在平面四边形中，在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则的面积为_三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17（12分）设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，（
5、1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和18（12分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E，F，G分别是的中点（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积19（12分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率20
6、（2分）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点21（12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）对，都有成立，求实数a的取值范围（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）22选修44：坐标系与参数方程（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直
7、线l的直角坐标方程；（2）点P的极坐标为，设直线l与曲线C的交点为A，B，且的中点为Q，求线段的长23选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）当时，解不等式；（2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围2021年3月高三适应性调研考试数学（文科）答案题号123456789101112答案CDABCADBABBC1解析：由题意得集合或，又因为，所以，故选C答案：C2解析：因为，所以故选D答案：D3解析：根据题意，得，由，得，解得故选A答案：A4解析：如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则且，解得，故选B答案：B5解析：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，
8、其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为故选C答案：C6解析：因为，所以，从而可得，故选A答案：A7解析：设，则，由，知，所以，联立解得，故选D答案：D8解析：设，则为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得，故选B答案：B9解析：由图象可知，即，由五点作图可知，解得，又由图象可知，又，所以所以因为，所以函数关于直线对称，即有，解得，所以a的最小正值为，故选A答案：A10解析：将三棱锥放入长方体中，如图，三棱锥的外接球就是长方体的外接球因为为直角三角形，所以设外接
9、球的半径为R，依题意可得，故，则球O的表面积为故选B答案：B11解析：因为N在y轴上，所以，所以为直角三角形，即且N是的中点，所以，又，所以有，解得，故选B答案：B12解析：令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以令，则，当且仅当时取等号，又，所以，所以答案：C13解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设，当经过点时，取到最小值；当经过点时，取到最大值答案：14解析：由题意可得，则切线的斜率所以切线方程为，即，即答案：或，或（多种形式均得分）15解析：由得，所以圆心，半径为1，所以，所以答案：16解析：，在等腰直角中，在中，由余弦定理得，又已知，又，作分别交于点F，E（
10、图略），E，F分别为线段的中点，答案：17解：（1）因为，所以，即，又是各项为正的单调递增数列，所以， 3分所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以 6分（2）， 8分所以 10分 12分18解：（1）证明：根据已知得，又G为的中点，所以， 2分因为，G为的中点，所以， 4分又平面平面，所以平面， 5分又因为，所以平面 6分（2）因为，所以平面，取中点H，连接，则平面， 8分所以对于三棱锥的体积，以三角形为底，为高，所以， 10分所以 12分19解：（1）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为40元，则，共15种情况， 3分，共6种情况， 5分所以顾
11、客所获得的减免金额为40元的概率为 6分（2）设事件B为顾客所获得的减免金额为80元，则，共1种情况， 8分所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为，故减免金额低于80元的概率 12分20解：（1）由题意得，所以 3分所以椭圆C的方程为 4分（2）证明：设，则，因为点三点共线，所以，即， 6分所以，整理得 7分由得， 8分则， 9分代入整理得， 11分所以直线l的方程为，即直线l恒过定点 12分21解：（1）， 1分令，当时，在上，所以单调递增 2分当时，令，得，且，所以当时，所以单调递增；当时，所以单调递减 3分当时，当时，在上，所以单调递增 4分当时，令，得，且，所以当或时，所以单调递增；
12、当时，所以单调递减 5分综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 6分（2）因为，根据（1）的讨论可知，当时，在上单调递增，所以在上单调递增，所以成立 8分当时，在上单调递减，时，所以存在使得，故此时不成立 9分当时，在上单调递增；在上单调递减，而，所以当时，单调递减，此时，不合题意 11分综上可得： 12分22解：（1）由题意可知在曲线C中，则，得曲线C的直角坐标方程为； 2分因为，可得直线l的直角坐标方程为 4分（2）已知点P的直角坐标为，设直线l的参数方程为代入曲线C的普通方程得， 6分设A，B对应参数为，则Q对应的参数为， 8分故 10分23解：（1）当时，不等式即为， 1分法一：当x时，可得，解得，则； 2分当时，可得，即，所以； 3分当时，可得，解得，则 4分综上可得，原不等式的解集为 5分法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为 5分（2）当时，若不等式对任意的恒成立，即为，又 6分当时，； 7分当时，； 8分当时， 9分故，则，即a的取值范围是 10分