1、专题强化训练二：解分式方程的和实际应用问题一、单选题1（2022重庆市荣昌初级中学八年级期末）若二次根式有意义，且关于分式方程3有正整数解，则符合条件的整数m的和是（）A5B3C2D02（2022河南郑州经开区外国语女子中学八年级期末）解方程时：小燕认为：方程两边都乘以，得小红认为：方程两边都乘以，得小杰认为：方程两边都乘以，得以上三位同学的理解，错误的是()A小燕B小红C小杰D没有错误，三位同学都正确3（2022上海复旦五浦汇实验学校八年级期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（）ABCD4（2022山东东营八年级期中）九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话
2、译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为()ABCD5（2022湖南桂阳县第二中学八年级期中）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是-2和，且点A，B到原点的距离相等，则x的值为（）ABCD6（2022广西桂林八年级期中）若正整数a满足关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有正整数a的和为（）A6B10C15D127（2022江苏苏州工业园区东沙湖实验中学八年级期中）如图，四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著该著作记载了
3、“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆设这批椽有株，则符合题意的方程是（）ABCD8（2022吉林长春市第八十七中学八年级阶段练习）解分式方程时，去分母后变形为（）ABCD9（2022山东济宁学院附属中学八年级期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围为（）AB且CD且10（2022重庆实验外国语学校八年级阶段练习）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的
4、不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（）A5B8C9D1211（2022湖南明德湘南学校八年级阶段练习）若解分式方程产生增根，则k的值为（）A2B1C0D任何数12（2022福建泉州市第六中学八年级期中）若关于x的分式方程无解，则实数a的值为（）A7B3或7C3或D13（2022全国八年级单元测试）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：甲说：我的工作效率比乙的工作效率少乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率知道工程问题三者关系是：工作
5、效率工作时间工作总量如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（）小时A20B21C19D19二、填空题14（2022北京清华附中八年级阶段练习）为了全力抗击新型冠状病毒感染肺炎，减少相互感染，每个人出门都必须带上口罩，所以型的口罩需求量越来越大某大型口罩工厂接到生产200万副KN95型口罩的生产任务，计划在若干天完成，由于情况疫情紧急，工厂全体员工不畏艰苦，工人全力以赴，每天比原计划多生产5万副口罩，结果只用了原计划时间的就圆满完成生产任务，则原计划每天生产_万副口罩15（2022山东烟台八年级期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为_16（2022湖南省岳阳
6、开发区长岭中学八年级阶段练习）一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行70km所需时间与逆水航行54km所需时间相同，已知水流的速度是3km/h，设轮船在静水中航行的速度为xkm/h，则可列分式方程为_17（2022山东东营八年级期中）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是_18（2022新疆兵团二中八年级期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是_19（2022山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）当_时，分式与分式互为相反数20（2022浙江省余姚市实验学校八年级期中）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条
7、件的所有整数a的和为_三、解答题21（2022山东烟台八年级期中）解关于x的分式方程：(1)(2)22（2022山东东营八年级期中）解下列方程(1)(2)23（2022福建泉州八年级期末）某水果经销店每天从农场购进甲、乙两种时令水果进行销售，两种水果的进价和售价如下表：品种进价（元/斤）售价（元/斤）甲a5乙b7已知乙种水果的进价比甲种水果高2.5元/斤，水果经销店花费1400元购进甲种水果的重量和花费2400元购进乙种水果的重量一样(1)求a的值；(2)水果经销店在“五一”这天购进两种水果共300斤，其中甲种水果不少于80斤且不超过140斤，在当天的促销活动中，店家将甲种水果降价元/斤进行销
8、售，结果两种水果很快卖完设销售甲种水果x斤，为了保证当天销售这两种水果总获利W的最小值不低于320元，求m的最大值24（2022山东烟台八年级期中）已知关于x的方程当m为何值时，此方程无解？25（2022北京清华附中八年级阶段练习）列分式方程解应用题：年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢某工厂为了满足市场需求，提高生产效率，在生产操作中需要用机器人来搬运原材料现有A，B两种机器人，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少原料?26（2022上海外国语大学附属大境初级中学八年级期中）关于的方程只有一个实数根，求：的值27（2
9、022河南辉县市太行中学八年级期中）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的课上，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路小杰说，解这个 关于x的分式方程，得由题意可得，所以，问题解决小哲说，你考虑得不全面，还必须保证，即才行参考上述对问题的讨论，解决下面的问题(1)请回答：_的说法是正确的，正确的理由是_，a的取值范围应为_(2)若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围(3)若关于x的方程有整数解，求整数m的值28（2022山东招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程(1)若方程的增根为，求m的
10、值；(2)若方程有增根，求m的值；(3)若方程无解，求m的值.29（2022河南辉县市太行中学八年级期中）王明和高岩利用假期时间进行了两次徒步爬山活动(1)第一次爬北岳恒山，他们沿通往主峰的山路爬到某景点A，行程2000米，两人从山脚同时出发王明爬的很快，其平均速度是高岩的1.25倍，结果比高岩早到10分钟到达景点A，求王明爬山的平均速度是每分钟多少米(2)第二次爬五台山，王明爬到了顶峰用了n(n2)小时，高岩爬到顶峰所用的时间是王明的1.1倍还多1小时，那么王明爬山的平均速度是高岩的2倍吗?请说明理由30（2022上海新中初级中学八年级期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员
11、去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时参考答案：1A【分析】根据二次根有意义，可得m4，解出关于x的分式方程，根据解为正整数，进而确定m的值，注意增根时m的值除外，然后求和即可【详解】解：二次根式有意义，m4，去分母得，解得，x=，关于x的分式方有正整数解，m=-2，1，4，又x=1是增根，即当x=1时，解得：，m可以为1，4，其和为，故A
12、正确故选：A【点睛】本题考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正整数解，整数m的意义是正确解答的关键2C【分析】根据等式的性质方程两边乘3x2（或23x），再判断即可【详解】解：错误是小杰，小燕和小红是正确的，理由是：，方程两边乘，得，故选：C【点睛】本题考查了解分式方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键3A【分析】由，原方程可化为，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案【详解】解：设，分式方程可化为，化为整式方程：，故选：A【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键4B【分析】根据题意先求得快马
13、的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可【详解】解：设规定时间为天，慢马的速度为，快马的速度为，快马的速度是慢马的倍，故选B【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程5C【分析】根据题意可知A，B点所对应的数互为相反数，由此可知B点所得对应的数，由此列出分式方程求解即可【详解】解：由数轴可知，A，B点在原点的两侧，且A，B到原点的距离相等，A，B点所对应的数互为相反数，且A点对应的数为-2，解得，经检验：是原方程的解故选：C【点睛】本题考查相反数的定义，解分式方程，能够根据题意列出分式方程式解决本题的关键6D【分析】根据
14、解分式方程的一般步骤得出，再由解为非负数，得出，然后确定a的取值，求和即可【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项合并同类项得：，系数化为1得：，分式方程的解为非负数，a的值为，分式方程中，即，a的值为其和为：，故选：D【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤及不等式的应用，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题关键7D【分析】利用单价总价数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于的分式方程，此题得解【详解】解：这批椽的价钱为文，这批椽有株，一株椽的价钱为文，又每株椽的运费是文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，故选：D【点
15、睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键8C【分析】根据解分式方程的去分母的方法，方程两边同乘最简公分母，注意去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母，进行计算即可【详解】解：方程两边乘，得：故选：C【点睛】本题考查了解分式方程，解本题的关键在熟练掌握解分式方程时去分母的方法9D【分析】先求出分式方程的解，再根据解是整数，得到，最后根据分母不为0，得到，即可得到k的取值范围【详解】解：方程两边同时乘以，得：，分式方程的解是正数，且，且，故选：D【点睛】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键10C【分析】
16、先解分式方程，用含有a的代数式表示方程的解，再根据解为非负数求出a的范围，然后根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出答案【详解】解:，解得，且，原方程得解为非负数，且，解得，且解不等式组，解不等式得：解不等式得：，使关于y的不等式组的解集为，解得，所以，且可知则故选：C【点睛】本题主要考查了分式方程的解，不等式组的解集，及如何解分式方程，解不等式组，注意：解分式方程时分式的分母不等于011B【分析】先将分式方程化为整式方程，再用k表示出方程的解，然后方程的解为2，再求出k的值即可【详解】解： 令，即，解得故选B【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程
17、；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值12B【分析】将原分式方程去分母化解为整式方程，然后整理为，则时，分式方程无解；当分式方程的分母为，即时原分式方程也无解，分别计算得出实数a的值即可【详解】解：，去分母得：，整理为：，当时，即时，此方程无解，原分式方程也无解；当，即，将代入，解得：，或，故选：B【点睛】本题考查了分式方程的解，分整式方程无解和整式方程有解但分式方程的增根两种情况进行讨论是解决问题的关键13D【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间【
18、详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，甲的工作效率是，乙的工作效率是，丙的工作效率是乙的工作效率的，丙的工作效率是，一轮的工作量为：，轮后剩余的工作量为：，还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：，乙还需要工作的时间为（小时），按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）故选：D【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解1425【分析】可以利用方程的思想，假设原计划每天生产口罩的数量为万，那么实际每天生产的口罩数量就可以表示为万，根据时间关系列出方程即可【详解】设原
19、计划每天生产万副口罩，那么实际每天生产万副口罩，由题意可得： ，解得：，经检验，符合题意，则原计划每天生产25万副口罩故答案是：25【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用问题，准确的找到题目中的等量关系是求解本题的关键15或【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可【详解】解：，当，即或时，分式方程有增根，当时，解得；当时，解得；故m的值是或，故答案为：或【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键16【分析】根据静水中的速度为，则顺水速度为，逆水速度为，根据关键语句“轮船顺水航行
20、所需的时间和逆水航行所需的时间相同”列出方程即可【详解】解：设轮船在静水中的速度为，则顺水速度为，逆水速度为，由题意得：，故答案为：【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程17且【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围【详解】解：去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，化系数为1，得：，原分式方程得解为正数，且，且，解得：且故答案为：且【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母不能为01894【分析】解不等式组可得，解分式方程可得，
21、且，由此可求整数的值【详解】解：，由得，由得，不等式的解集为，解得；，方程的解是非负整数，是2的倍数，的取值为19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，所有满足条件的整数的值之和是94，故答案为：94【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键19【分析】根据相反数的性质可得，解分式方程即可得出结果【详解】解：分式与分式互为相反数，整理得：，去分母得：，解得：，经检验是的解，时，分式与分式互为相反数，故答案为：【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得列出分式方程
22、是解本题的关键，注意分式方程需要检验2016【分析】首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为非负整数得出a为整数，为非负整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式组无解，分式方程去分母，得，分式方程的解为非负整数，且，且，a为整数，为非负整数，1，7，10，整数a的和为故答案为：16【点睛】此题考查的是解分式方程、解一元一次不等式组，掌握分式方程、一元一次不等式组的解法是解决此题关键21(1)(2)无解【分析】（1）方程两边都乘得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘得出整式方程，求
23、出整式方程的解，再进行检验即可【详解】（1）解：方程两边同乘，得，解得：，检验：当时，是原方程的解，原方程的解为；（2）解：方程两边同乘，得，解得：，检验：当时，是原方程的增根，原方程无解【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键一定要注意解分式方程必须检验22(1)(2)无解【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后检验即可；（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解，最后检验即可；【详解】（1）解：解：方程的两边同时乘以，得，整理得：，移项，合并同类项得：，解得：，经检验是该方程的根，则该分式方程的解为；（2）解：方程的两边同时乘以
24、 得： ，整理得： ，解得：当时，则是该方程的增根，该分式方程无解【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是正确找出分式方程的最简公分母，将分式方程化为整式方程注意，解分式方程一定要检验23(1)(2)m的最大值为0.25【分析】（1）由题意可得：b=a+2.5，然后根据“水果经销店花费1400元购进甲种水果的重量和花费2400元购进乙种水果的重量一样”列分式方程求解即可；（2）利用“总利润=每斤的销售利润销售数量（购进数量）”，可得出W关于x的函数关系式，由0m0，再利用一次函数的性质可得出W随x的增大而增大，结合W及x的取值范围，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式取其中的最大值即
25、可【详解】（1）解：（1）由表格可得：b=a+2.5根据题意，得解得，经检验，是原方程的解（2）解：由题意，得，则W随x的增大而增大， 当时，W最小由题意，得解得m的最大值为0.25【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系、正确列出分式方程和W关于x的函数关系式是解答本题的关键24，或，或【分析】根据增根的意义，先化简分式方程，将增根代入化简后的整式方程即可求出参数的值【详解】将原分式方程去分母，得：，将代入，得将代入，得当或时，原方程会产生增根，此时原方程无解对于方程，当时，此方程无解，此时原方程也无解当或或时，原方程无解【点睛】本题
26、考查了增根产生的条件，明确增根不是原分式方程的解，而是原分式方程去分母后相应整式方程的解是解决本题的关键25答：A种机器人每小时搬运原料，B种机器人每小时搬运原料【分析】设B种机器人每小时搬运原料，则A种机器人每小时搬运原料，由题意：A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可得到答案【详解】解：设B种机器人每小时搬运原料，则A种机器人每小时搬运原料，根据题意得：，解方程，得，经检验，是方程的解，且符合题意，答：A种机器人每小时搬运原料，B种机器人每小时搬运原料【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键26的值为或【分析】先将分
27、式方程转化为整式方程，把分式方程的讨论转化为整式方程的解的讨论，求解即可【详解】解：将转化为整式方程可得：；当时，方程为，解得经检验，是原方程的解；当时，方程为一元二次方程，判别式所以一元二次方程有两个不相等的实数根，由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1，当时，方程不成立，舍去；当时，方程为，解得，将代入可得解得或经检验，是原分式方程的解，综上：的值为或【点睛】本题考查了解分式方程，注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其
28、中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式增根等知识全面分析27(1)小哲；解分式方程要保证分式有意义；且(2)且(3)或或【分析】（1）根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可；（3）先解分式方程，得出，根据方程有整数解，得出或，求出m的值，最后根据，得出，求出，即可得出答案【详解】（1）解：小哲的说法是正确的；正确的理由是：解分式方程要保证分式有意义，分母不等于零；a的取值范围应为：且故答案为：小哲；解分式方程要保证分式有意义；且（2）解：，去分母得：，解得：，分式方程的解为非负数，又，且（3）解
29、：由题意得：，解得，方程有整数解，或，或或或，又，或或【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验28(1)(2)或(3)1或或【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.【详解】（1），去分母得：，移项并合并同类项，得：，当方程的增根为时，；（2）当方程有增根时，方程的增根为或，当时，当时，解得：，或；（3）当方程无增根，且时，方程无解，得，当方程有增
30、根，且时，方程无解，当方程有增根，且时，方程无解，当或或时，方程无解【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.29(1)王明爬山的平均速度是每分钟50米(2)王明爬山的平均速度不是高岩的2倍理由见解析【分析】（1）设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟米，根据“王明比高岩早到10分钟到达景点”列出方程并解答；（2）根据已知条件得出王明爬山的平均速度是，高岩爬山的平均速度是，再用王明的平均爬山速度除以高岩的平均爬山速度，然后进行整理，即可得出答案【详解】（1）解：设高岩爬山的平均速度是每分钟x米，则王明爬山的平均速度是每分钟米，根
31、据题意得：，解得：经检验是原方程的解，所以，答：王明爬山的平均速度是每分钟50米；（2）王明爬山的平均速度不是高岩的2倍理由如下：由题意知，王明爬山的平均速度是，高岩爬山的平均速度是，王明爬山的平均速度不是高岩的2倍【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数30八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，依题意得：，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ，八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时
