1、2022届天津市各区高三一模数学分类汇编专题六 空间几何体1. 【2021天津卷】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）ABCD2. 【2020天津卷】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD3. 【2022和平一模】中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）A. B.
2、 C. D. 4. 【2022部分区一模】已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 5. 【2022河东一模】如图，几何体是由长方体中挖去四棱锥和后所得，其中O为长方体的中心，E、F、H、G分别为所在棱的中点，其中，则该几何体的体积是（ ）A. 36B. 96C. 108D. 1206. 【2022红桥一模】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、3，则此球的体积为_7. 【2022河西一模】一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）A
3、. B. C. D. 8. 【2022南开一模】一个三角形的三边长分别为、，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为_9. 【2022河北一模】一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（ ）A. B. C. 或D. 或10. 【2022天津一中四月考】已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且，过点作垂直于平面，交球于点，则棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 11. 【十二区县一模】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D. 专题六 空间几何体（答案及解析）1. 【2021天津卷】两个
4、圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）ABCD【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，所以，则，所以，又因为，所以，所以，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.2. 【2020天津卷】若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式
5、，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.3. 【2022和平一模】中国
6、古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）A. B. C. D. 【答案】A【分析】先根据鳖牖的体积为l，求得，再根据阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积【详解】由题意，因为平面，四边形为正方形，又由鳖牖的体积为，所以，解得，而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，所以，即，球的表面积为故选A【点睛】本题主要考
7、查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题4. 【2022部分区一模】已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可得，进而可得，然后利用圆柱的体积公式即得.【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可知，解得，则，可得，所以.故选：C5. 【2022河东一模】如图，几何体是由长方体中挖去四棱锥和后所得，其中O
8、为长方体的中心，E、F、H、G分别为所在棱的中点，其中，则该几何体的体积是（ ）A. 36B. 96C. 108D. 120【答案】C【分析】求出长方体的体积，减去两个四棱锥体积即可得答案.【详解】，该几何体的体积是：.故选：C.6. 【2022红桥一模】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、3，则此球的体积为_【答案】【分析】求得长方体外接球的半径，从而求得球的体积.【详解】长方体外接球的直径为，所以外接球半径，所以球的体积为.故答案为：7. 【2022河西一模】一个圆锥的高与底面圆的半径相等，体积为，圆锥内有一个内接正方体，则这个正方体的体积为（ ）A.
9、B. C. D. 【答案】C【分析】圆锥的轴截面为一个等腰直角三角形，内接正方体的对角面，根据三角形相似可得正方体的边长.【详解】设底面半径为由题知：所以，设正方体边长为，如图， 由轴截面可知，所以所以.故选：C.8. 【2022南开一模】一个三角形的三边长分别为、，绕最长边旋转一周所得几何体的体积为_【答案】【分析】确定圆锥半径和高，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】在直角三角形中，设，则斜边上的高为，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转得到的是两个底面重合的圆锥的组合体，且圆锥的半径为，所以，旋转体的体积为.故答案为：.9. 【2022河北一模】一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已
10、知圆锥的底面面积与球面面积比值为，则这个圆锥体积与球体积的比值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，圆锥底面面积与球面面积比值为，则；设球心到圆锥底面的距离为d，则，所以圆锥的高为或，设圆锥体积为与球体积为，当时，圆锥体积与球体积的比为，当时，圆锥体积与球体积的比为.故选：D10. 【2022天津一中四月考】已知矩形的顶点都在半径为2的球的球面上，且，过点作垂直于平面，交球于点，则棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【分析】根据给定条件，确定出棱锥的外接球的球心，再求出DE长即可计算作答.【详解】在四棱锥中，取BE中点，连接，如图，因平面，平面，则，矩形中，又，平面，于是得平面，而平面，则，同理，而，从而得，因此，点是四棱锥的外接球球心，即与点O重合，依题意，又，所以棱锥的体积为.故选：D11. 【十二区县一模】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意可知：可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设，则，故,得球的体积为：
