1、核心速学专题六 函数导数【核心考点整合】【思维导引】1.曲线的切线问题的类型与处理策略曲线的切线问题主要考查切线方程的求解、切线存在性等问题，主要题型有以下几种：（1）求曲线在“某一点处”和“过某一点”的切线方程，前者直接求导，代入求斜率，再求切线方程，后者需要设出切点，建立方程，求出切点，再求切线方程.（2）某条直线与两个函数均相切的证明或求参数的范围，通常需要设出两个切点的坐标，得到两条直线方程，再证明其重合，或建立参数的关系式，进而运用消元法，再结合导数的知识求得参数的范围.（3）根据切线与函数图象的关系，运用放缩法，化繁为简，构建新函数，探究函数的单调性，进而证明不等式2.函数与不等式
2、恒成立问题的处理与转化（1）含单元变量的恒成立问题，通常有三种方法：第一种方法（也是首选方法）是；参变分离（即将函数中的参数和变量分而治之，分开到不等式的两侧，一侧是参数，一侧是变量），判断谁是参教谁是变量的方法是题目最后求解的往往是参数，而题干中给出范围的那个就是变量，第二种方法是：最值的思想，有些函数恒成立问题是无法分参的，可以通过求解函数的最值，让最小值大于等于零，或者最大值小于等于零，第三种方法是借助一些不等式放缩实现。（2） 含双元变量的恒成立问题，按照变量的转化先后顺序通常有两种思路，要注意对函数的结构特点进行观察，选择合适、简洁的方法.3.导数与不等式存在性问题的处理与转化（1）
3、含单变量的存在性问题，通常有两种处理思路：函数最值法，将不等式转化为某待求参数的最值问题，利用导数求得该函数的极值、最值，然后构建不等式求解；分离参数法，将不等式转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求得该函数的最值，根据要求求得范围。（2）含双元变量的存在性问题，构造函数，转化两个函数最值的大小关系来处理4.极值点偏移问题极值点偏移问题的基本类型（1）不含参数的极值点偏移问题：其本质是双变元问题，为此，直接构造一元差函数，转化为一元函数问题来加以解决.（2）含有参数的极值点偏移问题：其本质是三变元问题，为此，要想方设法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变
4、元的新的函数.对于简单的含有参数的极值点偏移问题，可以通过分离参数的方法将它转化为不含参数的极值点偏移问题来加以处理.求解极值点偏移问题的基本解法极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题. 【真题领航】1.（2020全国新高考卷）已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围【解析】（1），.，切点坐标为(1,1+e),函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐
5、标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.（2）解法一：,，且.设,则g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,成立.当时，,存在唯一，使得，且当时，当时，因此1,恒成立；当时， 不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是1,+).解法二：等价于,令,上述不等式等价于,显然为单调增函数，又等价于，即，令,则在上h(x)0,h(x)单调递增；在(1,+)上h(x)0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性.(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解【解析】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，)，g(x)f(x)2(x1lnxa)
6、，所以g(x)2.当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增(2)由f(x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx.令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx，则(1)10，(e)2(2e)0.于是存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增，故0u(1)a0u(x0)u(e)e21，即a0(0，1)当aa0时，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在区间(1，)上单调递增，当x(1，x0)时，f(x)f(x0)0；当x(x
7、0，)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0；又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0.故x(0，)时，f(x)0.综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解4.已知函数.（1）当时，求函数的极值点的个数；（2）若，求实数的取值范围.【分析】（1）先求解出导函数，然后确定出的单调性，再根据零点的存在性定理确定出的零点，由此可根据的正负确定出的单调性，则极值点个数可判断出；（2）根据已知条件先判断出， 然后分析的单调性以及零点，从而确定出的单调性和最小值，根据以及构造函数的思想即可求解出的取值范围.【详解】解：当时，即，易知在单调递增. 又
8、，存在唯一，使得.当时，当时，函数在单调递减，在单调递增，函数有唯一极值点.，由题意得，易知在单调递增.且时，时，存在唯一，使，当时，当时，函数在单调递减，在单调递增，且，.，即，即，令，则.设，在递减，又，.【点睛】思路点睛：导数问题中运用“隐零点”思想的一般求解步骤：（1）先分析导函数的单调性，采用零点的存在性定理确定出的零点；（2）分析在定义域上的取值正负，从而确定出的单调性，由此确定出的最值；（3）由（2）中计算出的最值可通过继续化简，由此求得更简单的最值形式.5（2021湖北武昌高三月考）已知函数f(x)=xlnx-x2+(a-1)x(aR).（1）讨论函数f(x)的极值点的个数；（
9、2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)2a-3.【分析】（1）由题意求出，通过讨论的单调性，得出的符号，从而得出的单调性，得出答案。（2）先证明,再证明，从而再证，设，由单调性只需证明，从而可证明.【详解】解：（1），.当时，单调递增；当时，单调递减.当时，有极大值，.当时，在上单调递减，此时无极值；当时，.，设 则，当时，所以在上单调递减，所以所以当时，故存在，满足，.当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减.在处有极小值，在处有极大值.综上所述，当时，没有极值点；当时，有2个极值点.（2）由（1）可知当且仅当时有极小值和极大值，.先证明 要证明，只需证
10、. 由，则，因为在单调递减，只需证.又因为，只需证，即证.令，.因为，所以在上单调递增，.所以，所以因为在单调递减，因此，.因为，所以.因为时，单调递增，所以，所以.再证：.设，因为，所以，所以，故在上单调递增.又，所以时，在上单调递减.所以时，.所以.5.已知函数有两个零点.（1）求a的取值范围.（2）设x1，x2是的两个零点，证明：.【解析】（1）设，则，只有一个零点设，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又，取满足且，则，故存在两个零点设，由得或若，则，故当时，因此在单调递增又当时，所以不存在两个零点若，则，故当时，；当时，因此在单调递减，在单调递增又当时，所以不存在两个零点综上，
11、的取值范围为（2）不妨设，由（）知，在单调递减，所以等价于，即由于，而，所以设，则所以当时，而，故当时，从而，故6.（2021北京市顺义区第一中学高三期中）已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上是增函数；（3）求证：当时，对任意，【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）求导得，分、三类讨论，可得的单调区间；（2）令，求导得，再令，由，即，从而证得结论成立；（3）依题意，只需证：当时，对，由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，从而证得结论成立【详解】（1），当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）证明：令，则，令，即，在上是增函数；（3）要证，当时，对任意，只需证：当时，对任意，由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，故
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