1、宁夏石嘴山市第三中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合，集合，全集为，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 2. 最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，满足“勾三股四弦五”，其中股，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则（ ）A. B. C. D. 3. 若，则等于（ ）A. B. C. D. -34. 若函数与函数在公共点处有共同的切线，则实数的值为（ ）A. 4B. C. D. 5. 函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，则等于（
2、 ）A. B. C. D. 7. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 8. 已知，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 9. 已知向量与的夹角为，当时，实数为（ ）A. 1B. 2C. D. 10. 若是等差数列的前项和，且，则的值为（ ）A. 44B. 22C. 18D. 1211. 已知，为的三个内角，的对边，向量，若，且，则角，的大小分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，12. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13
3、. 已知函数的定义域和值域都是，则_.14. 函数的图象如图所示，则_.15. 若平面向量与的夹角是，且，则等于_.16. 在正项等比数列中，成等差数列，则数列的前项之积的最小值为_.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量，.（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.18. 已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19. 已知，且.（1）求的值；（2）求.20. 在中，内角，的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，分别求和的值.21. 设.（）求的单调递增区间；（）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
4、（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值.22. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.2020石嘴山市三中高三11月月考数学试卷（理科）一、选择题1-5：AAACB6-10：DBACB11-12：CD【解析】1. 解：集合，集合，图中阴影部分表示的集合是.故选A. 由已知中的韦恩图，我们可得图中阴影部分表示的集合是，根据已知中的集合，可得答案.本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中分析出图中阴影部分表示的集合是，是解答本题的关键.2. 解：根据题意，满足“勾三股四弦五”，其中股，则为，且，满足勾股定理
5、，则为，且，则有，又由，则，故选：A.根据题意，可得中，由相似三角形的性质可得，而，即可得答案.本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题.3. 【分析】由已知展开两角差的正切求得，再由万能公式求得的值.本题考查三角函数的化简求值，考查了万能公式的应用，是基础题.【解答】解：由，得，即，解得，.故选：A.4. 解：由已知得，设切点横坐标为，解得，.故选：C.根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出的值和切点坐标，问题可解.本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于基础题.5. 解：对于函数，故当时，故排除A、D；当时，由于，令，求得，在上，
6、函数单调递增；在上，函数单调递减，故排除C，故选：B.根据当时，故排除A、D.当时，利用导数求得函数在上单调递增，在上单调递减，从而得出结论.本题主要考查函数的图象，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.6. 解：设，则，解得.故选：D.本题考查函数的解析式，属于基础题.设，求出，进而得到，由此能够求出.7. 解：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，可得，即，令，.得：，当时，可得一个对称中心为.故选：B.根据三角函数的平移变换规律求解，结合三角函数的性质即可求解一个对称中心.本题主要考查三角函数的图象和性质，平移变换规律的应用.属于基础题.8. 【分析】本题主要考查了诱导公式，
7、同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解.【解答】解：，可得，.故选A.9. 解：向量与的夹角为，由知，解得.故选：C.根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值.本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题，是基础题.10. 解：等差数列，满足，此数列的前11项的和：.故选：B.利用等差数列的通项公式和前项和公式求解.本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用.11. 【分析】本题考查向量数量积及向量垂直的充要条件，同时考查正弦定理及两角和与差的三角函数，根据向量
8、垂直，可得，分析可得，再根据正弦定理可得，进而可得，可得，再根据三角形内角和定理可得，进而可得答案.【解答】解：根据题意，可得，即，即，又，因为，正弦定理可得，即，又，.故选C12. 解：函数的图象如下图所示：若，则，则，令，则，此时，则恒成立，故，即实数的取值范围为，故选：D.画出函数的图象，结合，且，表示出，利用导数法求出其上确界，可得答案.本题考查的知识点是分段函数的应用，根据已知画出函数的图象，是解答的关键.二、填空题13. 3或 14. 15. 16. 【解析】13. 解：当时，单调递增，有，解得：，则；当时，单调递减，有，解得：，则.或.故答案为：3或.对分类讨论，根据函数的单调性
9、可得关于，的等式，求解得答案.本题主要考查了指数函数的基本性质，以及函数的单调性的应用，属基础题.14. 【分析】本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，注意周期、最值，函数经过的特殊点是解题的关键；考查计算能力.通过函数的图象求出，然后求出，通过函数经过，求出的值.【解答】解：由题意可知，所以，因为函数经过，所以，所以.故答案为：.15. 解：，的夹角是，共线，设，的夹角是，.故答案为：.根据两个向量的夹角是，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去.本题考查向量的数量积的坐标表示，是一个基础题，解题时注意向量的设法，这是本题要考查
10、的一个方面，注意把不合题意的舍去.16. 解：正项等比数列中，成等差数列，设首项为，公比为，则：，整理得：，解得.所以：，则：，所以，所以，当时，数列的前项之积的最小值为.故答案为：.直接利用关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的积，最后利用二次函数性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.三、解答题17. 解：（1），与向量垂直，.解得；（2），又与向量平行，解得.【解析】本题考查平面向量共线平行的坐标表示，平面向量数量积的运算、平面向量垂直的坐标表示.（1）由与向量垂直，可得
11、，解得即可；（2）利用向量共线定理得出，解方程即可求出结果.18. 解：（1）数列的前项和为，且，当时，-得：，所以：（常数），则：数列是以为首项，2为公比的等比数列.则：，当时，（符合通项），故：.（2）由（1）得：，则：，所以：，-得：，解得：.【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用乘公比错位相减法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.（1）利用已知条件，利用递推关系式求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步求出，再利用乘公比错位相减法求出数列的和.19. 解：（1）因为，且，所以，；（2），且，.【解析】（1）通过、的范围，利用同角
12、三角函数的基本关系式求出，然后求出.（2）求出的范围，然后求出，的值，即可求解，然后求出值.本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧，考查计算能力.20. 解：（1），由正弦定理可得：，可知：，否则矛盾.，.（2），由余弦定理可得：，把代入上式化为：，解得，.【解析】（1）由，由正弦定理可得：，化简整理即可得出.（2）由，可得，由余弦定理可得：，代入计算即可得出.本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21. 解：（），令，求得，可得函数的增区间为，.（）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
13、（纵坐标不变），可得的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，.【解析】（）利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间.（）利用函数的图象变换规律，求得的解析式，从而求得的值.本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，求函数的值，属于基础题.22. 解：（1）依题意，则，而，故所求切线方程为；（2）证明：依题意，令，则，当时，令，则，在上单调递增，又，存在，使得，即，即，当时，此时，当时，此时，令，则，函数在上单调递增，故的取值范围为.【解析】（1）求导后，求出切线斜率，利用点斜式求出切线方程；（2）分离参数可得，令，利用导数研究函数的最大值即可.本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，着重考查化归转化思想、应用意识，属于中档题.
