1、甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二数学4月月考试题 文本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于602.正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理A.结论正确 B.
2、大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确3.曲线的中心在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为A.e B.e C. D.5.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于A.e B.1C.1 D.e6.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于A.28 B.76 C.123 D.1997.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有
3、人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙8.函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)9.函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)10.已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy1011
4、.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为A.1 B.2e3 C.5e3 D.112.已知奇函数f(x)则函数h(x)的最大值为A.1 B.1e C.e1 D.e+1第卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_.14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_.15.与2的大小关系为_.16.若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范
5、围是_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题10分）设a，b，c均为正数，且abc1，证明：abbcac18. （本小题12分）已知函数f(x)aln x，aR，讨论f(x)的单调性.19.（本小题12分）已知aR，若函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围.20.（本小题12分）已知曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数).(1)写出直线l与曲线C的普通方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，过点F(，0)作倾斜角为60的直线交曲线C于A，B两点，求|FA|
6、FB|.21.（本小题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.22 （本小题12分）已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1且x0，证明：g(x)2，则f(x)2x4的解集为A.(1，1) B.(1，)C.(，1) D.(，)答案B9.函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是A.(，2 B.
7、(，2) C.(2，) D.(0，)答案B10.已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10答案B11.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为A.1 B.2e3 C.5e3 D.1答案A12.已知奇函数f(x)则函数h(x)的最大值为A.1 B.1e C.e1 D.e+1答案B第卷（非选择题 共90分）四、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_.答案6n214.在平
8、面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_.答1815.与2的大小关系为_.答案216.若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_.答案(3，0)(0，)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题10分）设a，b，c均为正数，且abc1，证明：abbcac证明：由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcc
9、a.19. （本小题12分）已知函数f(x)aln x，aR，讨论f(x)的单调性.解因为f(x)aln x，所以x(0，)，f(x)x.(1)当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为单调递增函数.(2)当a0时，f(x)，则有当x(0，)时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，).综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间.当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，).19.（本小题12分）已知aR，若函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围.解因为函数f(x)在(1，1)
10、上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0，则a(x1)对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)，则g(x)10，所以g(x)(x1)在(1，1)上单调递增，所以g(x)g(1)(11)，所以a，又当a时，当且仅当x0时，f(x)0，所以a的取值范围是.20.（本小题12分）已知曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数).(1)写出直线l与曲线C的普通方程；(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，过点F(，0)作倾斜角为60的
11、直线交曲线C于A，B两点，求|FA|FB|.解(1)直线l的普通方程2xy20.曲线C的普通方程为x2y24.(2)由得代入曲线C，得x24y24，即y21.则曲线C的方程为y21表示椭圆.由题设，直线AB的参数为(t为参数).将直线AB的参数方程代入曲线C：y21.得t2t10，则t1t2，|FA|FB|t1|t2|t1t2|.21.（本小题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时
12、P的直角坐标.解(1)曲线C1的普通方程为y21.又曲线C2：sin2.所以sin cos 4.因此曲线C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin ).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值.d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.23 （本小题12分）已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1且x0，证明：g(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1，0)时，0x1，0ex1，则0xex1，从而当x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0)上单调递减.当1xh(0)0，即g(x)1且x0时总有g(x)1.
