1、专题9.15 矩形（培优篇）（专项练习）一、单选题1在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 （）AABADBOAOBCACBDDDCBC2如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OBEB，点G为BD上一点，满足EGFG，若DBC30，则OGE的度数为（）A30B36C37.5D453如图，在矩形中，是延长线上一点，连接、，过点作于点，为上一点，连接，若，则的长为（）AB8CD4如图，在矩形中，是边上的动点，于，于，如果，那么()ABCD5把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的
2、阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（） ABCD6如图，中，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则线段的长等于（）ABCD7如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B，C，D，把一根长为2022个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点D处，并按DABCD的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）A（1，0）B（0，1）CD8如图，矩形纸片中，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（
3、）ABCD9如图每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接有下列结论；的面积为0.75其中正确的结论有（）A3个B4个C5个D6个10如图，在中，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线、上滑动，下列结论：若、两点关于对称，则；、两点距离的最大值为；若平分，则； 四边形的面积为其中正确结论的个数是（）ABCD二、填空题11如图，已知矩形中，与相交于，平分交于，则的度数为_12如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则SECF的值为_13如图，在矩形ABCD中，对角线，BE平分ABC交AD于点E，Q是线段BE上的
4、点，连接CQ，过点C作CPCQ交AD的延长线于点P，当PCQ为等腰三角形时，AP_14矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH若BCEF3，CDCE1，则GH_15如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_平方厘米16如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ABD沿射线DB平移得到ABD，连接BC，DC，则BC+DC的最小值是_17如图，在矩形中，对角线，点，分别是线段，上的点，将沿直线折叠，点，分别落在点，处当点落在折线上，且时，的长为_18在直角梯形中，A
5、DBC，那么_三、解答题19已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分，交AB于点E，求的度数20如图，DE是ABC的中位线，过点C作CFAB，交DE的延长线于点F(1) 求证：BCDF；(2) 连接CD、AF，当ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由21将矩形置于平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为点，点在BC上，将矩形沿折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E(1) 当时，求点E的坐标；(2) 随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由22如图，在矩形中，平分交于E，连接，(1) 如图1，若，求的长
6、；(2) 如图2，若点F是边上的一点，若，连结交于G，猜想的度数，并说明理由；若，求的值23如图，在中，是边上的中线，点E，F分别在，边上运动（点E不与点A，C重合），且保持，连接，(1) 求证：；(2) 求四边形的面积；(3) 请直接写出三条线段，之间的数量的关系：_24如图1，在矩形中，点为边上一动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，与交于点(1) 若DE=2，求证：AE/CF(2) 如图2，连接AC，BD，若点F在矩形ABCD的对角线上，求所有满足条件的DE的长(3) 如图3，连接BF，当点F到矩形ABCD一个顶点的距离等于2时，请直接写出BCF的面积参考答案1A【分析】根据有一个角是
7、直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，对各选项分析判断后利用排除法求解解：A、ABAD，则ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；B、OAOB，根据平行四边形的对角线互相平分，ACBD，对角线相等的平行四边形是矩形可得ABCD是矩形，故本选项正确；C、ACBD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；D、DCBC，则BCD90，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得ABCD是矩形，故本选项正确故选：A【点拨】此题考察矩形的判定，熟记判定定理才可正确解答.2C【分析】根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得
8、；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案解：矩形ABCD OBEB， 点O为对角线BD的中点， 和中 EGFG，即 故选：C【点拨】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解3A【分析】先证得CDE是等腰直角三角形，再进一步说明EBC=CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、CHB=90，再根据直角三角形的性质求得CH=BC=2，进而求得GH=BH=CH=2，最后根据EH
9、=GH+GE求解即可解：四边形ABCD是矩形CDA=90，AD/BCCDE=90，AEB=EBC=30ED=CDCDE是等腰直角三角形DCE=DEC=45CEB=45-30=15EG=CGGCE=GEB=15CGB=GCE+CEB=30EBC=CGBCG=BC=4EG=4CHBEGH=BH,CHB=90EBC=30CH=BC=2,GH=BH=CH=2EH=GH+EG=4+2故选A【点拨】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键4A【分析】设AC、BD交于点O，连接OP，根据矩形的性质及勾股定理求出OA=
10、OD=2.5，再求出AOD的面积，根据面积关系即可求出答案.解：设AC、BD交于点O，连接OP，,BD=AC=5，OA=OD=2.5，于，于，故选：A.【点拨】此题考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质求出AOD的面积是解题的关键.5D【分析】如图，过点M作MHAR于H，过点N作NJAW于J想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题解：如图，过点M作MHAR于H，过点N作NJAW于J由题意EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=四边形EMHK是矩形，EK= AK=MH=1，KH=EM=2，RMH是等腰直角三角形，RH=MH=1，RM=，同法可证NW=，题意AR=R A= AW=
11、WD=4，AD=AR+RM+MN+NW+DW=4+4=.故答案为：D.【点拨】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题6D【分析】延长交于点，作，垂足为首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题解：如图，延长交于点，作，垂足为在中，为的中点，解得由翻折的性质可知，根据折叠的性质有：，又，为直角三角形故选：D【点拨】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型7A【分析】先求出四边形ABCD的周长为10，得到
12、202210的余数为2，由此即可解决问题解：A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），ABx轴，CDx轴，ADy轴，BCy轴，ABAD，ABBC，CDAB，CDBC，A=B=C=D=90，四边形ABCD是矩形，AB=1-(-1)=2，BC=1-(-2)=3，四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）=10，202210=2022，且AD=3，细线另一端所在位置的点在D处上面2个单位的位置，坐标为（1，0）故选：A【点拨】本题主要考查了规律型：点的坐标，解决问题的关键是熟练掌握矩形的周长公式，运用除法得到的余数确定点的位置8B【分析】根据矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定
13、理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论解：在矩形纸片中，将沿翻折，翻折后点C与点F重合，设，解得：，将沿翻折，翻折后点B与点P重合，设，则，线段GP长为，故选：B【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键9B【分析】先证明，再逐个选项推理即可解：如图，由图可得，故正确；，故正确；中，故错误；，故错误；连接，故正确；矩形，的面积为0.75，故正确；综上所述，正确的有；故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键10B解：在中，若、两点关于对称，
14、如图，为的垂直平分线，正确；如图，取的中点为，连接、，当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，正确；如图，当，四边形是矩形，与相互平分，但与的夹角为、，不垂直，不正确；如图，此时四边形的面积，不正确综上所述：正确的有，个结论故选点睛：本题是三角形的综合题，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解答本题的关键，难度适中11【分析】先求出ADB，再说明三角形ODC是等边三角形，推出CD=OC，CE=CD，求出CE=OC，求出COE=OEC和OCB=30即可解答解：四边形ABCD是矩形，AD/BC，ADC=90，OA=OC，OB=OD，AC=BD，DE平分ADC，ADE=CDE=ADC=45，BD
15、E=15，ADB=ADE-BDE=30，ADBC，ADB=DBC=30，OA=OD=OB=OC，OBC=OCB=30，DOC=OBC+OCB=60，OD=OC，ODC是等边三角形，DC=OC，ADBC，ADE=DECADE=CDE，DEC=CDE，CE=DCCE=OC，COE=OEC，OCB=30，COE=（180-OCE）=75故答案为75【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键12【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到BFC=90，再根据勾股定理求出CF的长度，进而即可求出
16、SECF解：如图，连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=，由折叠可知：BFAE（对应点的连线必垂直于对称轴），BH=，BF=，EF=BE=CE，BFC=90，根据勾股定理可得：CF=，SECF=SBCF=，故答案为：【点拨】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理以及三角形的面积公式，掌握知识点是解题关键135【分析】过点Q作于点H，由矩形的性质并结合勾股定理确定，再证明以及为等腰三角形，即可推导，然后由计算AP的长即可解：过点Q作于点H，如下图，四边形ABCD为矩形，点P在AD的延长线上，PCQ为等腰三角形，CPCQ，在和中，BE平分ABC，故答案为：5【点拨】本
17、题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键14【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BEADFG，推出DG=CG-CD=2，HAM=HFG，由ASA证得AMHFGH，得出AM=FG=1，MH=GH，则MD=AD-AM=2，在RtMDG中，根据勾股定理得到GM，即可得出结果解：延长GH交AD于M点，如图所示：四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BEADFG，DG=CGCD=3-1=2，HAM=HFG，AF的中
18、点H，AH=FH，在AMH和FGH中，AMHFGH（ASA）AM=FG=1，MH=GH，MD=AD-AM=31=2，在RtMDG中，GM=，GH=GM=，故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键1548【分析】如下图，设矩形ABCD的长为m，宽为n，过点F作BC、DC的垂线，利用m、n表示出BFD的面积，从而得出mn的大小，进而得出矩形ABCD的面积解：如下图，过点F作BC、CD的垂线，分别交于点Q、G，设矩形ABCD的长为m，宽为n点E是AD的中点，点F是EC的中点，AD=m，AB=nFQ=，FG= mn=
19、48故答案为：48【点拨】本题考查三角形面积问题，解题关键是利用表示出BFD的面积，从而推导出mn的大小16【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得BD2，即为BD的长，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接DG，如图，则有CDGD，CEBD，CG2CE，利用三角形的面积可求得CG，然后以BD，GD为邻边作平行四边形BDGH，可得BHDGCD，于是当C，B，H在同一条直线上时，CB+BH最短，且BC+DC的最小值CH，再根据勾股定理即可求出结果解：四边形ABCD是矩形，ADBC1，A90，将ABD沿射线DB平移得到ABD，BDBD2，作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D
20、G，如图，则CDGD，CEBD，CG2CE，CE，CG，以BD，GD为邻边作平行四边形BDGH，则BHDGCD，当C，B，H在同一条直线上时，CB+BH最短，则BC+DC的最小值CH，四边形BDGH是平行四边形，HGBD2，HGBD，HGCG，CH故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、平行四边形的性质和勾股定理等知识，具有一定的难度，利用轴对称和平移的思想把所求BC+DC的最小值转化为求CB+BH的最小值是解题的关键172或【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解解：，当点落在上时，将沿直线折叠，；当点落在上时，如图2，连接，过点作于，将沿直线折叠，综上
21、所述：的长为2或【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键18或#或【分析】该题根据题意分为两种情况，首先正确画出图形，根据已知易得的直角边和斜边的长，然后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到等边三角形，进而即可求解解：C存在两种情况：当为锐角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，四边形是矩形，；当为钝角时，如图，过作，垂足为，取的中点，连接，同理可得，又，综上，或，故答案为或【点拨】该题重点考查了直角三角形的性质和等边三角形判定和性质，解决该题的关键一是：能根据题意画出两种情况，二是：把该题转化为直角三角形问题，从而即可求解.1975【分析
22、】根据矩形的性质及CE平分得到BEC=BCE=DCE=45，得到BE=BC，利用由此得到BAC=30，根据矩形的性质证得OBC是等边三角形，得到BC=OB=BE，由EBO=BAC=30求出答案.解：四边形ABCD是矩形，ABC=BCD=90，OA=OB=OC=OD，CDAB，CE平分，BCE=DCE=45，CDAB，BEC=BCE=DCE=45，BC=BE，,BAC=30，ACB=60，OB=OC，OBC是等边三角形，BC=OB=BE，EBO=BAC=30，BEO=,故答案为：75.【点拨】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，角平分线的性质，题中证得BE=O
23、B是解题的关键.20(1)见分析(2)当BCAC时，四边形ADCF是矩形，理由见分析【分析】（1）用平行四边形的定义判定；（2）当BCAC时，四边形ADCF是矩形用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CFBD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形解：（1）DE是ABC的中位线，2DEBC，DEBC，CFAB，四边形DBCF是平行四边形，BC=DF；（2）当BCAC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：DE是ABC的中位线，DBAD， 四边形DBCF是平行四边形，DBCF，
24、ADCF，ABCF，四边形ADCF是平行四边形，BCAC，BC=CF，AC=DF，平行四边形ADCF是矩形【点拨】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键21(1)(2)点E能恰好落在x轴上【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；（2）由折叠的性质求得线段和的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可解：（1）当时，点B的坐标为，是等腰直角三角形，则，则E在y轴上，且，则点E的坐标为（2）点E能恰好落在x轴上理由如下：四边形为矩形，由折叠的性质可得：，假设点E恰好落在x轴上，则
25、，即，则在中，即，即，解得【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键22(1)(2)，理由见分析；【分析】（1）由矩形的性质得，由角平分线的性质得出，则是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；（2）连接，由（1）得，由证得，得出，证明是等腰直角三角形，即可得出结论；根据矩形的性质得到，求得，过D作于M，根据余角的性质得到，得到，过A作于N，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论（1）解：四边形是矩形，平分，是等腰直角三角形，；（2）
26、，理由：连接EF，如图所示：由（1）得：，在和中，是等腰直角三角形，；四边形是矩形，过D作于M，由知，过A作于N，由知，【点拨】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键23(1)证明见分析(2)4(3)【分析】（1）根据，是边上的中线，得到，再结合，得到，即可得到证明；（2）由可得，即可得到四边形的面积等于面积，根据中线即可得到答案；（3）由可得 ，即可得到，在用表示，在即可得到答案解：（1）证明：，是边上的中线， ADC90，在和中，；（2）解：， ；（3）解：，理由
27、如下， ，在中根据勾股定理可得，在中，【点拨】本题考查等腰三角形性质：底边上三线合一；直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半；三角形中线性质：分得两个三角形面积相等等于大三角形一半；三角形全等判定与性质及勾股定理24(1)证明见详解(2)或(3)或或【分析】（1）由，可以得到为中点，由于和关于对称，可以得到为中点，由此得到为的中位线，即可证明；（2）因为点在矩形的对角线，所以点可以落在上，也可以在上，根据题意画出图形，利用垂直平分线的性质，勾股定理，设出参数，列出方程，即可解决；（3）因为点到矩形一个顶点的距离等于2，所以需要分四类讨论，即顶点分别为，根据题意画出图形，利用勾股定理，面积法等知识
28、即可解决（1）证明：如图1，四边形为矩形，和关于对称，是的中位线，；（2）解：如图2，当点在对角线上时，和关于对称，垂直平分，设，则，在中，如图3，当点在对角线上时，四边形为矩形，设，联立得，解得，或；（3）解：当点到点距离为2时，此种情况不存在，当点到点距离为2时，连接，则，过作于，于，如图4，四边形为矩形，设，则，当点到点距离为2时，如图5，连接，则，又，三点共线，即在线段上，；当点到点距离为2时，如图6，连接，则，即当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为，当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为，当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为【点拨】本题是一道四边形综合题，考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，方程思想，面积法等知识，结合题意，画出合适的图形，是解决本题的突破口，同时要注意分类讨论思想
