1、专题9.10 平行四边形（分层练习）（提升练）一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023上四川成都九年级统考期中）如图所示，在中，垂直平分于E，其中，则的对角线的长为（）A8 B6 C D2（2023下贵州铜仁八年级统考阶段练习）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为是（）A1 B2 C2.5 D33（2023下江苏南通九年级统考阶段练习）如图，平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，下列不能得出四边形一定为平行四边形的是（）A B C D4（2023下浙江宁波九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）如图四边形的对角线和相交于点O，则下列不能判断四边
2、形是平行四边形的条件的是（）A， B，C， D，5（2023下四川达州八年级统考期末）在平面直角坐标系中，长为的线段点在点的右侧在轴上移动，轴上的点、坐标分别为，、，连接，则的最小值为（）A B C D6（2023下广东深圳八年级统考期末）如图，直线与直线之间的距离为4，点是直线与外一点，点到直线的距离为2，点，分别是直线与直线上的动点，以点为圆心，的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，则点与点之间距离的最小值为（）A6 B8 C10 D127（2023下河南平顶山八年级统考期末）如图，在中，E和F分别是边和上的点，连接和，已知，四边形的面积是3，则四边形的面积是（）A4.
3、5 B5 C6 D6.58（2023下福建厦门八年级厦门外国语学校校考期末）如图，四边形是平行四边形，E是边的中点，与的延长线交于点F，的延长线交于点G，连接若，直线与之间的距离是（）A2 B C3 D9（2020下浙江杭州八年级期末）如图在中，连接交于点，点为的中点，则的面积为（）A B C D10（2023下安徽九年级专题练习）如图，为等边三角形，D、E分别是边、上的点，且满足，P是边上的动点，以P、D、E为顶点，为对角线构造，若，则的最小值为（）A B C D10二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11（2023上重庆沙坪坝九年级重庆八中校考期末）平行四边形的长边是短边的
4、2倍，一条对角线与短边互相垂直，则这个平行四边形的一个锐角为 12（2022上广东梅州九年级校考开学考试）如图，在平行四边形中，是上一点，交延长线于点，则 13（2018下江苏八年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，则图中阴影部分的面积为 14（2023下内蒙古鄂尔多斯八年级统考期末）如图，中，点是的中点，则四边形的面积是 15（2023下河南洛阳八年级统考期末）如图，在中，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为 16（2023下河南南阳八年级校考阶段练习）如图，在四边形中， E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以
5、的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当 时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形17（2023上广东深圳八年级深圳外国语学校校考期中）如图，直线的解析式为，分别与x轴，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 18（2023上重庆沙坪坝九年级重庆八中校考期中）如图，在平行四边形中，点是的中点，将沿直线翻折至平行四边形所在平面内，得到，连结，并延长，交于点，若，则的长为 三、解答题（本大题共6小题，共58分）19（8分）（2023广东潮州二模）如图，在中
6、，为对角线（1）求证：（2）尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）若的周长为10，求的周长20（8分）（2023下广东珠海八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形（1）请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上，、为垂足；符合条件的选项有：_（2）选择其中一个条件，写出证明过程：我选择_，证明过程如下： 21（10分）（2023下浙江八年级专题练习）如图，中，把沿翻折得到，相交于点（1）求证：；（2）连接交于点，连接，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰
7、三角形22（10分）（2023下福建泉州八年级校联考期末）如图，在中，点D在边上（1）求作：点E，使四边形是平行四边形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）以（1）中的边为斜边作等腰直角三角形，若点F在射线的延长线上，求证：23（10分）（2022下湖南张家界八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B线段平行于x轴，交直线于点D连接、（1）求直线的解析式；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）点P为直线上一点，连接、，当，求此时点P的坐标24（12分）（2023上福建泉州八年级泉州五中校考阶段练习）如图所示四边形中，为正三角形，
8、点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）四边形_平行四边形（是或不是）（2）证明不论E、F在、上如何滑动，总有；（3）当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值参考答案：1D【分析】如图，作的延长线于，则，由垂直平分线的性质可知，由勾股定理得，则，同理，根据，计算求解即可解：如图，作的延长线于，垂直平分于E，由勾股定理得，同理，由勾股定理得，故选：D【点拨】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识熟练掌握含的直角三角形的性质是解题的关键2A【分析】由的平分线交于点F，可得，由，可
9、得，则，根据，计算求解即可解：的平分线交于点F，四边形是平行四边形，故选：A【点拨】本题考查了角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用3C【分析】根据平行四边形的性质与判定方法逐一分析各选项即可得到答案解：四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形故A不符合题意；四边形是平行四边形，；，又，四边形是平行四边形故B不符合题意；，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形故D不符合题意；，不能证明与全等，不能得到与平行，添加不能证明四边形是平行四边形故C符合题意故选C【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解题的关键是熟练掌握平行四边形
10、的性质和判定方法4D【分析】根据A选项易证，即得出，从而可证四边形是平行四边形；根据B选项易证，即得出，从而可证四边形是平行四边形；根据C选项易证，进而可证，即得出四边形是平行四边形；由D选项不能证明四边形是平行四边形解：A，四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；B，四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；C，四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；D由，不能推出四边形是平行四边形，故该选项符合题意故选D【点拨】本题考查平行四边形的判定，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键5C【分析】作关于轴的对称点，再过作轴且，连接交轴于点，过作交轴于点，得到四
11、边形为平行四边形，故可知最短等于的长，再利用勾股定理即可求解解：作，关于轴的对称点 ， 过作轴且，则，连接交轴与点,过作交轴于点，四边形为平行四边形，此时最短等于的长，即故选C【点拨】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质，勾股定理6B【分析】根据作图可知四边形是平行四边形，连接，根据垂线段最短，得到当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即可得出结论解：如图：由作图可知，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，点到直线的距离等于点到直线的距离，点到直线的距离为2，连接，则：当与直线和直线垂直时，点与点之间距离最短，即：；故选B【点拨】本题考查平行四边形的判
12、定和性质解题的关键是根据作图得出四边形是平行四边形7C【分析】先证明四边形是平行四边形，得，即可推导出，则四边形是平行四边形，设与之间的距离为h，由，得，于是得到问题的答案解：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，设与之间的距离为h，四边形的面积是3，故选：C【点拨】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行四边形的面积公式等知识，证明四边形和四边形都是平行四边形是解题的关键8D【分析】根据四边形是平行四边形得到，再证明四边形是平行四边形，接着证明，可得，利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题解：证明 四边形是平行四边形，又E是边的中点， ，又，又 ，四边形是平行四边形在中，
13、 又， ，又 ，线段的长是直线与之间的距离即直线与之间的距离为故选：D【点拨】本题主要考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型9B【分析】如图，取中点，连接，连接交于，作交的延长线于构建计算即可解：如图，取中点，连接交于，是等边三角形，故选：【点拨】此题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题10A【分析】依据题意，建立平面直角坐标系，由直线的解析式可设，再根据平行四边形的对角线互相平分
14、进而求出x，y的关系，最后根据垂线段最短可以得解解：由题意，建立平面直角坐标系，如图，设平行四边形对角线交于点M由题意，是的中点，由题意，设直线表达式为，直线表达式为，在直线上，设，上面两式消去m得，在直线上（如上图），当垂直于直线时，最小，对于直线，令，令，利用面积法可得的最小值为故选：A【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键11/60度【分析】根据直角三角形一直角边等于斜边一半，可得直角边所对的角是，然后利用余角性质，求出，再利用平行四边形性质求出即可解：如图所示，四边形为平行四边形，这个平行四边形的一个锐角为故答案为：【点拨】本题考查直
15、角三角形性质，余角性质，平行四边形性质，掌握直角三角形性质，余角性质，平行四边形性质是解题关键12/90度【分析】根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可解：四边形是平行四边形，故答案为：【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键1350【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出SEFC=SBCF，SEFD=SADF，所以SEFQ=SBCQ，SEFP=SAPD，因此可以推出阴影部分的面积就是SAPD+SBQC解：如图，连接E、F两点，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，EFC的FC边上的高与
16、BCF的FC边上的高相等，SEFC=SBCF，SEFCSQFC =SBCFSQFC，即SEFQ=SBCQ，同理：SEFD=SADF，SEFP=SAPD，SAPD=20cm2，SBQC=30cm2，S四边形EPFQ= SAPD + SBQC =50cm2，故答案为：50【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形14【分析】先证明四边形是平行四边形，然后利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，求出的长，进而可以解决问题解：如图，过点作于点，四边形是平行四边形，在中，是直角三角形，点是的中点，四边形的面积故答案为：【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股
17、定理逆定理、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键153【分析】先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的判定得四边形为平行四边形，再根据平行线间的距离为垂线段最短即可得出答案解： ，四边形为平行四边形，的最小值等于平行线与之间的距离故答案为：3【点拨】本题主要考查勾股定理，平行四边形的判定，垂线段最短，解题关键是找出最短距离的位置16或/3或1【分析】分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可解：当点Q在的左侧时，设运动时间为，根据题意，得，故当时，以 A、P、E、Q为顶点
18、的四边形是平行四边形，解得当点Q在的右侧时，设运动时间为，根据题意，得，故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，解得故答案为：或【点拨】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键17或【分析】分两种情况：当平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形，当不平行x轴时，分别求出结果即可解：，令，则，即点；如图，当平行x轴时，点A，B，D为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形，则，则点；当不平行x轴时，则，则点D、到的距离相等，则直线，设直线的表达式为：，将点D的坐标代入得：，解得：，直线的表达
19、式为：，设点，A，B，D为顶点的三角形与全等，则，解得：或（舍去），点；故答案为：或【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，坐标与图形，三角形全等的性质，两点间距离公式，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论18/【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行四边形的折叠问题，延长交延长线于G，根据折叠得到得到，结合平行四边形的性质得到，证明，即可得到答案解：延长交延长线于G，折叠得到，四边形是平行四边形，点是的中点，在与中，19（1）见分析；（2）见分析；（3）20【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用即可证明；（2）以分别为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作
20、直线，即为所作垂直平分线；（3）利用垂直平分线的性质可以得到，结合，得到，根据平行四边形的性质即可求得结论；解：（1）四边形是平行四边形，在和中，；（2）如图，即为所作；（3）垂直平分，的周长为10，四边形是平行四边形，的周长【点拨】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图是解题的关键20（1）；（2）（答案不唯一），见分析【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可；（2）根据平行四边形的性质和判定解答即可（1）解：填的任意一个都正确；故答案为：；（2）解：选择，、为垂足；证明：，四边形是平行四边形，在与中，四边形是平行四边形选择，证明：四边形
21、是平行四边形，在与中，四边形是平行四边形选择，证明：四边形是平行四边形，在与中，四边形是平行四边形【点拨】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键21（1）见分析；（2），【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，可得；（2）由全等三角形的性质可得，则是等腰三角形，由“”可证，可得，可证是等腰三角形解：（1）证明：四边形是平行四边形，把沿翻折得到，在和
22、中，又，；（2）解：，是等腰三角形，四边形是平行四边形，把沿翻折得到，在和中，是等腰三角形22（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，以点D为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，即为所求；（2）根据等腰直角三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出通过证明，得出，即可求证（1）解：如图所示，即为所求,四边形为平行四边形（2）解：如图：是等腰直角三角形，四边形是平行四边形，【点拨】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形；全等三角形对应边相等，对应角相等23（1）；（2）证明详见
23、分析；（3）或【分析】本题考查一次函数综合，解题的关键是掌握待定系数求函数解析式，会求函数与坐标轴的交点，会求点所围成的三角形面积（1）将代入即可求解；（2）先求出A、D的坐标，然后证明，即可得证；（3）根据可得点P到的距离是点C到距离的2倍，设将直线向上平移个单位得到直线，则可求直线的解析式为，然后把直线向上或向下平移个单位得到直线、，求出、解析式，最后分别求出、与的交点即可（1）解：将代入，得，直线的解析式为（2）解：当时，解得，即点，平行于x轴，则点D的纵坐标为4，将代入y=，得，解得点，且四边形是平行四边形（3）解：与的底都是，当时，则点P到的距离是点C到距离的2倍，如图2，设将直线向
24、上平移个单位得到直线，使得直线经过点C，直线的解析式为，经过点，点P到的距离是点C到距离的2倍，将直线向上平移个单位得到直线，直线的解析式为直线与直线的交点即为点P，解得，点P的坐标为；将直线向下平移个单位得到直线，直线的解析式为直线与直线的交点即为点P，解得，点P的坐标为综上所述点P的坐标：或24（1）是；（2）见分析；（3）四边形的面积不变，为定值【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案；（2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论；（3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：，四边形是平行四边形，故答案为：是；（2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，又，和为等边三角形，是等边三角形，又，；（3）四边形的面积不变，为定值理由如下：由（2）得，则，故，是定值，作于点，则，综上，四边形的面积不变，为定值【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键
