1、第三章 导数及其应用第一节 变化率与导数、导数的计算栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1.数学运算2.直观想象 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1导数的概念(1)函数 yf(x)在 xx0 处的导数一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limx0
2、y xlimx0f（x0 x）f（x0）x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 yx x0，即 f(x0)1_.limx0_f（x0 x）f（x0）x(2)函数 f(x)的导函数函数 f(x)2 _为 f(x)的导函数2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的 3 _，过点 P 的切线方程为 yy0f(x0)(xx0)limx0f（xx）f（x）x斜率3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)4 _ f(x)x(Q*)f(x)5 _f(x)s
3、in xf(x)6 _f(x)cos xf(x)7 _0 x1cosxsinx基本初等函数导函数f(x)exf(x)8 _f(x)ax(a0，且 a1)f(x)9 _ f(x)ln xf(x)10 _f(x)logax(a0，且 a1)f(x)11 _exaxlna1x1xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)12 _；(2)f(x)g(x)13 _；(3)f（x）g（x）14 _(g(x)0)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）2常用结论1f(x0)代表函数 f(x)在 xx0 处的导数值；f(x
4、0)是函数值 f(x0)的导数，且f(x0)0.2.1f（x）f（x）f（x）2.3曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点4函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率()(2)函数 f(x)sin(x)的导数 f(x)cos x()(3)求 f(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f(x0)(
5、)(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()解析：(1)f(x0)表示 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率，(1)错(2)f(x)sin(x)sin x，则 f(x)cos x，(2)错(3)求 f(x0)时，应先求 f(x)，再代入求值，(3)错(4)当曲线有两个以上极值点时，曲线的切线与曲线可以有两个以上公共点答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(选修 11P85A 组 T5 改编)若 f(x)xex，则 f(1)_.解析：f(x)exxex，f(1)2e.答案：2e3(选修 11P85A 组 T6 改编)曲线 y1 2x2在点(1，1)处的切线方程为_解析：y2（x2）2，
6、y|x12.故所求切线方程为 2xy10.答案：2xy10三、易错自纠4如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是()解析：选 D 由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除 A、C；又由图象知，yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.5(2020 届陕西省百校联盟模拟)若 f(x)x3a 是定义在 R 上的奇函数，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()
7、Ay3x3 By3x2Cy3x3Dy3x2解析：选 B 依题意得 f(0)0，即 0a0，则 a0，所以 f(x)x3，则 f(x)3x2，所以 f(1)3，因此曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是 y3x2，故选 B.6设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f2 sin xcos x，则 f4 _解析：因为 f(x)f2 sin xcos x，所以 f(x)f2 cos xsin x，所以 f2 f2 cos 2sin 2，即 f2 1，所以 f(x)cos xsin x.故 f4 cos 4sin 4 2.答案：27已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1
8、)处的切线过点(2，7)，则实数 a_解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)又点(2，7)在切线上，7(a2)(3a1)(21)，可得 a1.答案：1课 堂 考 点 突 破2考点 导数的计算|题组突破|1已知 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0 等于()Ae2BeC.ln 22Dln 2解析：选 B f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，由 f(x0)2，即 ln x012，解得 x0e.2(2020 届成都市高三摸底)设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若 f(x)exln x1x1，则f(1)()Ae3
9、Be2Ce1 De解析：选 C 由题意，得 f(x)(exln x)1x2exln xexx1x2，所以 f(1)0e1e1，故选 C.3已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)ln x，则 f(2)_解析：因为 f(x)x23xf(2)ln x，所以 f(x)2x3f(2)1x，所以 f(2)43f(2)123f(2)92.所以 f(2)94.答案：944分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yxx21x1x3.解：(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexxexln x1x.(2)因为原式x311x2，所以 y3x22x3.名
10、师点津 1熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提求导之前，应利用代数，三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错2(1)函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，利用方程思想求解考点 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程【例 1】(1)(2019 年全国卷)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10(2)(2019 年全国卷)曲线 y3(x2x)ex 在点(0，0)处的切线方程为_解析(1)由题意可知，y2cos xsin x，则
11、 y|x2.所以曲线 y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为 y12(x)，即 2xy120，故选 C.(2)y3(x23x1)ex，曲线在点(0，0)处的切线斜率 ky|x03，曲线在点(0，0)处的切线方程为 y3x.答案(1)C(2)y3x名师点津 求曲线切线方程的步骤(1)求出函数 yf(x)在点 xx0 处的导数，即曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处切线的斜率(2)由点斜式方程求得切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)提醒“过”与“在”：曲线 yf(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别为前者 P(x0，y0)为切点
12、，而后者 P(x0，y0)不一定为切点命题角度二 求切点坐标【例 2】(2019 年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e，1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是_解析 设 A(x0，ln x0)，由 y1x，得 k1x0，在点 A 处的切线方程为 yln x01x0(xx0)切线经过点(e，1)，1ln x01x0(ex0)，ln x0 ex0.令 g(x)ln xex(x0)，则 g(x)1x ex2，则 g(x)0 在(0，)上恒成立，g(x)在(0，)上为增函数 又 g(e)0，ln xex有唯一解 xe，x
13、0e，点 A 的坐标为(e，1)答案(e，1)名师点津 求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值【例 3】(2019 年全国卷)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1解析 因为 yaexln x1，所以 y|x1ae1，所以切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1 与切线方程 y2xb 对照，可得ae12，b1，解得ae1，b
14、1.故选 D.答案 D名师点津 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：切点处的导数是切点的斜率；切点在切线上；切点在曲线上|跟踪训练|1(2019 届大同模拟)设函数 f(x)x3ax2，若曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 xy0，则点 P 的坐标为()A(0，0)B(1，1)C(1，1)D(1，1)或(1，1)解析：选 D 由 f(x)x3ax2，得 f(x)3x22ax.曲线在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 xy0，3x202ax01.x0 x30ax200，x01，a2 或x01，a2.当 x01 时，f(x
15、0)1；当 x01 时，f(x0)1.点 P 的坐标为(1，1)或(1，1)2(2019 届河北石家庄一中模拟)已知直线 ykx 是曲线 yex 的切线，则 k 的值是()Ae BeC.1eD1e解析：选 A 设切点的坐标为(x0，y0)，对于 yex，yex，所以 e x0k，y0kx0，y0e x0，所以 kx0ex0k，易知 x00，k0，所以 x01，所以 ke.3(2020 届武汉市部分学校高三质量监测)若曲线 yax3 在点(1，a)处的切线与直线y3x 平行，则实数 a 的值为_解析：由题意知 y|x13ax2|x13a3，则 a1.答案：1考点 导数的几何意义与其他知识的交汇
16、命题角度一 导数的几何意义与圆相交汇【例 1】曲线 f(x)x33x2 在点(1，f(1)处的切线截圆 x2(y1)24 所得的弦长为()A4 B2 2C2 D.2解析 因为 f(x)3x26x，则在点(1，f(1)处的切线的斜率 k3，又 f(1)2，故切线方程为 y23(x1)，即 3xy10.因为圆心(0，1)到直线 3xy10 的距离 d0，所以直线 3xy10 截圆 x2(y1)24 所得的弦长就是该圆的直径 4，故选 A.答案 A名师点津 求解曲线的切线与圆相交汇问题的关键：一是求切线方程，即利用导数的几何意义求曲线的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，求出切线的方程；二是活用公式
17、，即利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式 l2 r2d2(其中 r 为圆的半径，d 为弦心距)求出弦长命题角度二 导数的几何意义与两点间距离的最值相交汇【例 2】设点 P，Q 分别是曲线 f(x)x2ln x 和直线 xy20 上的动点，则 P，Q 两点间距离的最小值为_解析 设 l1 是曲线 f(x)x2ln x 在点 P(x1，y1)处的切线，且平行于直线 xy20.因为 f(x)2x1x，所以 2x11x11，解得 x11 或 x112(舍去)，所以 y11.则 l1 的方程为 xy0，因为两平行直线 xy0 与 xy20 的距离为 d 22 2，所以 P，Q 两点间距离的最
18、小值为 2.答案：2名师点津 本题的易错点有两个：一是忽视函数的定义域，导致结果出错，应注意一看到函数，就要有“定义域优先意识”；二是求两平行直线间的距离出错，应注意在用两平行直线的距离公式时，两平行直线方程中 x 的系数与 y 的系数应对应相等命题角度三 导数的几何意义与数列相交汇【例 3】对正整数 n，设曲线 y(2x)xn 在 x3 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为an，则数列ann2 的前 n 项和等于_解析 因为 y2nxn1(n1)xn，所以曲线 y(2x)xn 在 x3 处的切线的斜率为 k13n13n，所以切线方程为 y13n13n(x3)3n.令 x0，得 an(n2)3n，
19、所以 ann23n，所以数列ann2 的前 n 项和为 Sn3（13n）133n132.答案 3n132名师点津 本题的易错点有两个：一是导数求错，混淆幂函数与指数函数的导数公式，导致求y(2x)xn 的导数时出错，记清基本初等函数的导数，并正确运用导数运算法则，就可避免此类错误；二是将等比数列的前 n 项和公式中公比的指数幂与数列通项公式中公比的指数幂搞混，导致求和出错|跟踪训练|曲线 f(x)x3x 在(1，f(1)处的切线与曲线 g(x)sin xax 在点(0，g(0)处的切线互相平行，则实数 a 的值为_解析：因为 f(x)3x21，切点为(1，2)，所以切线的斜率为 k1f(1)4.因为 g(x)cos xa，切点为(0，0)，所以切线的斜率为 k2g(0)1a.依题意有，a14，解得 a3，所以 a 的值为 3.答案：3点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
