1、第三章 导数及其应用第二节 导数的应用第5课时 利用导数研究函数的零点问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 判断、证明或讨论函数零点个数【例 1】(2018 年全国卷)已知函数 f(x)13x3a(x2x1)(1)若 a3，求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点解(1)当 a3 时，f(x)13x33x23x3，所以 f(x)x26x3.令 f(x)0，解得 x32 3 或 x32 3.当 x(，32 3)(32 3，)时，f(x)0；当 x(32 3，32 3)时，f(x)0.故 f(x)单调递增区间为(，32 3)，(
2、32 3，)，单调递减区间为(32 3，32 3)(2)证明：由于 x2x10，所以 f(x)0 等价于x3x2x13a0.设 g(x)x3x2x13a，则 g(x)x2（x22x3）（x2x1）2 0，当 x0 时 g(x)0，所以 g(x)在(，)上单调递增故 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点又 f(3a1)6a22a136a162160，f(3a1)130，故 f(x)有一个零点综上，f(x)只有一个零点名师点津(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象(2)方程的有解问题就是判断
3、是否存在零点的问题，可分离参数，转化为求函数的值域问题处理|跟踪训练|1已知 f(x)1xexe3，F(x)ln xexe3x2.(1)判断 f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数 F(x)在(0，)上零点的个数解：(1)f(x)1x2exex2exeex2，令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得 0 x1，所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)1xexe3，由(1)得，x1，x2，满足 0 x11x2，使得 f(x)在(0，x1)上大于 0，在(x1，x2)上小于 0，在(x2，)上大于 0，即 F(x)在(0，x1)上单调递增，在(
4、x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而 F(1)0，当 x0 时，F(x)，当 x时，F(x)，画出函数 F(x)的草图，如图所示故 F(x)在(0，)上的零点有 3 个考点二 已知零点个数求参数范围【例 2】(2019 届重庆质量调研一)设函数 f(x)x2axln x(aR)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 f(x)在13，3 上有两个零点，求实数 a 的取值范围解(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，当 a1 时，f(x)2x11x2x2x1x（2x1）（x1）x，令 f(x)0，得 x12(负值舍去)当 0 x12时，f(x)0；当 x12时，
5、f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间为0，12，单调递减区间为12，.(2)令 f(x)x2axln x0，得 axln xx，令 g(x)xln xx，其中 x13，3，则 g(x)11xxln xx2x2ln x1x2，令 g(x)0，得 x1，当13x1 时，g(x)0；当 1x3 时，g(x)0，所以 g(x)的单调递减区间为13，1，单调递增区间为(1，3，所以 g(x)ming(1)1，由于函数 f(x)在13，3 上有两个零点，g13 3ln 313，g(3)3ln 33，3ln 3133ln 33，所以实数 a 的取值范围是1，3ln 33.名师点津 已知函数(方程)零点的
6、个数求参数范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理(2)若函数不是严格单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数|跟踪训练|2函数 f(x)13x3ax2bxc(a，b，c，R)的导函数的图象如图所示：(1)求 a，b 的值并写出 f(x)的单调区间；(2)若函数 yf(x)有三个零点，求 c 的取值范围解：(1)因为 f(x)13x3ax2bxc，所以 f(x)x22axb.因为 f(x)0 的两个根为1，2.所以122a，12b，解得 a12，b2，由导函数的图象可知，当1x2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，当
7、 x1 或 x2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增，故函数 f(x)的单调递增区间为(，1)和(2，)，单调递减区间为(1，2)(2)由(1)得，f(x)13x312x22xc，因为函数 f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数 f(x)的极大值为 f(1)76c，极小值为 f(2)c103.而函数 f(x)恰有三个零点，故必有76c0，c103 0，解得76c103，所以使函数 f(x)恰有三个零点的实数 c 的取值范围是76，103.考点三 函数零点的性质问题【例 3】已知函数 f(x)12x2(1a)xaln x，aR.(1)若 f(x)存在极值点为
8、 1，求 a 的值；(2)若 f(x)存在两个不同的零点 x1，x2，求证：x1x22.解(1)由已知得，f(x)x1aax，因为 f(x)存在极值点为 1，所以 f(1)0，即22a0，解得 a1，经检验符合题意，所以 a1.(2)证明：f(x)x1aax(x1)1ax(x0)，当 a0 时，f(x)0 恒成立，所以 f(x)在(0，)上为增函数，不符合题意；当 a0 时，由 f(x)0 得 xa，当 xa 时，f(x)0，所以 f(x)单调递增；当 0 xa 时，f(x)0，所以 f(x)单调递减，所以当 xa 时，f(x)取得极小值 f(a)又 f(x)存在两个不同的零点 x1，x2，所
9、以 f(a)0，即12a2(1a)aaln a0，整理得 ln a112a，作 yf(x)关于直线 xa 的对称曲线 g(x)f(2ax)，令 h(x)g(x)f(x)f(2ax)f(x)2a2xaln2axx，则 h(x)22a2（2ax）x22a2（xa）2a20，所以 h(x)在(0，2a)上单调递增，不妨设 x1ax2，则 h(x2)h(a)0，即 g(x2)f(2ax2)f(x2)f(x1)，又 2ax2(0，a)，x1(0，a)，且 f(x)在(0，a)上为减函数，所以 2ax2x1，即 x1x22a，又 ln a112a，易知 a1 成立，故 x1x22.名师点津(1)研究函数零
10、点问题，要通过数的计算(函数的性质、特殊点的函数值等)和图形的辅助，得出函数零点的可能情况(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究|跟踪训练|3已知函数 f(x)ln xx.(1)判断函数 f(x)的单调性；(2)若函数 g(x)f(x)x 12xm 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证：x1x21.解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x11xx.令 f(x)1xx 0，得 0 x1；令 f(x)1xx 0，得 x1，所以函数 f(x)的单调递增区间
11、为(0，1)，单调递减区间为(1，)(2)证明：根据题意知，g(x)ln x 12xm(x0)，因为 x1，x2 是函数 g(x)ln x 12xm 的两个零点所以 ln x1 12x1m0，ln x2 12x2m0，两式相减，可得 ln x1x2 12x2 12x1.即 lnx1x2x1x22x1x2，故 x1x2x1x22lnx1x2，则 x1x1x212lnx1x2，x21x2x12lnx1x2.令 tx1x2，其中 0t1，则 x1x2t12ln t11t2ln tt1t2ln t.构造函数 h(t)t1t2ln t(0t1)，则 h(t)（t1）2t2.因为 0t1，所以 h(t)0 恒成立，故 h(t)h(1)0.即 t1t2ln t0，可知t1t2ln t1，故 x1x21.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS
