1、石嘴山市第三中学2019-2020(二）期中数学（理）试卷考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷（选择题）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
2、题目要求的）1.已知，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】将函数写成分数指数幂的形式，利用求导公式，求得，代入即可求值.【详解】，则.故选：D.【点睛】本题考查了根式化分数指数幂，常见函数的求导公式，导数值的计算，属于基础题.2.已知,则（）A. B. C. 或3D. 【答案】C【解析】【分析】利用排列数公式，组合数公式进行计算【详解】当时成立；当时也成立；故选C.【点睛】本题考查组合数公式及排列数公式的计算问题，属于基础题3.已知随机变量服从正态分布，若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C4. 曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线方程是（ ）
3、A. y=x1B. y=x+1C. y=2x2D. y=2x+2【答案】A【解析】试题分析：求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程解：y=xlnx的导数为y=lnx+x=1+lnx，即有曲线在点（1，0）处的切线斜率为1，则在点（1，0）处的切线方程为y0=x1，即为y=x1故选A考点：利用导数研究曲线上某点切线方程5.在的二项展开式中,x的系数为()A. 10B. -10C. 40D. -40【答案】D【解析】分析：先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数.详解： ,当时,.,故选D.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数
4、，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.设随机变量X的概率分布为，2，3，则等于（ ）A. .B. .C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分布，分别利用期望公式和方差公式，先求出其期望，再求方差，即可得结果【详解】， ，.故选：B.【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望和方差的求解，属于基础题.7. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻
5、但不排在两端，不同的排法共有（）A. 1440种B. 960种C. 720种D. 480种【答案】B【解析】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B8.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A. (-,-,+)B. -C. (-,-)(,+)D. (-)【答案】B【解析】因为函数在R上单调，所以 恒成立，因为导函数为开口向下的二次函数，故应恒成立，因此，解得，故选B. 点睛：函数在给定区间上单调，转化为函数的导函数在区间上恒大于等于0，或者恒小于等于0，再转化为分类讨论或分离参数法求其
6、取值范围.9.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X0)，P(X1)，P(X2)，于是P(X2)P(X0)P(X1)故选C【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题10.点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由于椭圆，所以可设点(x,y)的代入得
7、：（其中）=，故知的最大值为考点：椭圆的性质；2.最值的求法11.甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C.【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本
8、题的关键.12.定义在上的函数满足，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造新函数，求导后利用已知判断导数的正负，确定的单调性，然后解不等式【详解】设，则，在上是增函数，不等式可化为，即，故选C【点睛】用导数解不等式，常常要构造新函数，新函数的形式一方面与已知不等式有关，最主要的是与待求解不等式有关，根据待求解不等式变形后化为形式，则随之而定，如，等等第II卷（非选择题）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则_ .【答案】【解析】【分析】根据求导公式，计算出，代入，即可求得结果.【详解】，令，得，.故答案为：.【点睛】本题考查
9、了求导公式，求某点处的导数，考查了学生的计算能力.属于基础题.14.椭圆C：经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线方程是_.【答案】【解析】【分析】椭圆上的任一点 经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到，将代入椭圆方程，即能求出结果.【详解】设椭圆上的任一点经过直角坐标系下的伸缩变换，则，将其代入椭圆方程，得，即.故答案为：【点睛】本题考查了曲线方程的求法，考查伸缩变换的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.15.在的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，记展开式中各项的系数之和为S，记各项的二项式系数之和为T，则_【答案】257【解析】【分析】根据二项式系数的变化规律，求得，再通过赋
10、值，以及二项式系数和的公式，即可求得.【详解】因为的二项展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故该二项展开式有9项，故.对二项式，令，可得其各项系数和为：.又二项式的系数和为：故故答案为：257.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数的变化规律，以及二项式系数和，还有系数和的计算，属综合题.16.如图，用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有_种【答案】180【解析】【分析】根据题意可知，不相邻区域可以同色，则可以分类讨论区域A和区域D同色与不同色，结合排列公式进行求解即可.【详解】能够涂相同颜色的只有A，D.若A，D同色，则只需要选择3
11、种颜色即可，此时有种；若A，D不同色，则只需要选择4种颜色即可，此时有种.共有种.故答案为：180.【点睛】本题主要考查涂色问题，分类加法计数原理，排列数的计算，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题：(本大题共6小题70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数（1）求函数的极值（2）求函数在区间上的最值【答案】（1）极小值为；无极大值（2）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）对函数求导，求得函数单调性，找出极值点，进一步求出极值（2）根据（1）可得函数的最小值，然后求出端点值进行比较，即得最大值【详解】（1）由题意得：定义域为，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，
12、的极小值为，无极大值；（2）由（1）知：在上单调递减，在上单调递增，又，【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值和区间内的最值的问题；关键是能够利用导数求得函数的单调性，进而确定极值点和最值点.18.由于受大气污染的影响，某工程机械的使用年限（年）与所支出的维修费用（万元）之间，有如下统计资料：（年）23456（万元）2.23.85.56.57.0假设与之间呈线性相关关系.（1）求维修费用（万元）与设备使用年限（年）之间的线性回归方程；（精确到0.01）（2）使用年限为8年时，维修费用大概是多少？参考公式：回归方程，其中，.【答案】（1） （2）万元【解析】【分析】（1）根据统计表，利用公式求得
13、，代入回归方程求解.（2）将，代入（1）求得回归方程求解.【详解】（1），所以，故线性回归方程为.（2）将，代入回归方程得所以使用年限为8年时，维修费用大概是9.92万元.【点睛】本题主要考查了线性回归分析，还考查了数据处理的能力，属于中档题.19.某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，现对该市30名男性成人进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100ml以上的”为常喝.已知在所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为.常喝不常喝合计有糖尿病2无糖尿病18合计30（1）请将上表补充完整；（2）是否有的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由.（3）已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有两
14、名女性，现从常喝酒且有糖尿病的人中随机抽取2人，求恰好抽到一名男性和一名女性的概率.参考公式：参考数据：k【答案】（1）见详解；（2）有的把握认为糖尿病与喝酒有关；（3）【解析】【分析】（1）由所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为，可得出糖尿病人有8人，据此完善整个列联表；（2）计算观测值，对照数表得出结论；（3）用列举法，求出基本事件的个数，从而求出正好抽到一男一女的概率.【详解】解：（1）所有的30人中随机抽取1人，是糖尿病的概率为，30人中，有糖尿病的有人常喝不常喝合计有糖尿病628无糖尿病41822合计102030（2）由列联表的数据可求得：故有的把握认为糖尿病与喝酒有关；（3
15、）设常喝酒且有糖尿病的男性为A、B、C、D，女性为a，b，则任取两人有：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种，其中一男一女有：Aa，Ab，Ba，Bb ，Ca，Cb，Da，Db，故抽到一男一女的概率是.【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了等可能事件的概率问题，列举法求古典概型的概率.属于中档题.20.甲乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队人.随机播放一首歌曲， 参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会，答对者为本队赢得一分，答错得零分， 假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
16、(1)若比赛前随机从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率;(2)用表示甲队的总得分，求随机变量的分布列和数学期望;(3)求两队得分之和大于4的概率.【答案】(1);(2)分布列见解析，;(3)【解析】【分析】（1）用求组合数的方法，求出从6人中抽取2人的抽法个数，再求出2人来自同一组的抽法个数，按求古典概型概率的方法，即可求解；（2）甲队中每人答对的概率均为，且每人答题时相互独立，答对者为本队赢得一分，甲队的总得分服从二项分布，即可求出分布列和期望；（3）两队得分之和大于4按互斥事件分为：总分和为5分包括甲队2分乙队3分和甲队3分乙队2分，总分和为6分甲乙各3分
17、.分别求出以上各互斥事件的概率，然后相加，即可求出结果.【详解】(1)个选手中抽取两名选手共有种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有:种结果用表示事件:“从两队的个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队.”故从两队的个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为(2)由题意知，的可能取值为，且的分布列为:的数学期望.(3)用表示事件:“两队得分之和大于”， 包括:两队得分之和为，两队得分之和为，用表示事件:“两队得分之和为”，包括甲队分乙队分和乙队分甲队分.用表示事件:“两队得分之和为”，甲队分乙队分，【点睛】本题考古典概型概率以及互斥事件概率，考查离
18、散型随机变量的分布列和期望，解题的关键要把问题转化为二项分布，属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）当时，在单调递增，当时，在单调递增，单调递减；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分别讨论参数，利用函数导数研究函数的单调性即可；（2）构造新的函数，利用导函数证明其最小值大于零，则该不等式成立.【详解】解：（1）由函数，得，定义域，当时，恒成立，单调递增；当时，由，得，当时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，在单调递增，当时，在单调递增，单调递减； （2）当时， 令 ， ，令，则单调递增，且，存在，使，即，当时， ，单调
19、递减；当时， ，单调递增.又因为，则，所以当且仅当时，等号成立，但，故，故恒成立，即成立【点睛】本题考查函数的导数的应用，讨论函数的单调性，证明不等式，考查了分类讨论思想和逻辑推理，考查计算能力，属于较难的综合性问题.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 (为参数)（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值【答案】（I）：； ：； （II）2.【解析】【分析】（I）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程，消去参数，即求解直线的普通方程（II）将直线的参数方程代入圆，利用直线的参数的几何意义，即求解【详解】（I）由题意，曲线的极坐标方程为，由，则，即；又由直线的参数方程为 (为参数)，消去参数可得，所以曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为（II）将代入圆得：，解得：由直线的参数的几何意义知：弦长.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理使用直线参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
