1、专题验收评价专题6-4 抛物线方程及其性质 内容概览A常考题不丢分一抛物线的定义（共2小题）二抛物线的标准方程（共3小题）三抛物线的性质（共7小题）四直线与抛物线的综合（共3小题）B拓展培优拿高分（压轴题）（11题）C挑战真题争满分（10题）一抛物线的定义（共2小题）1（2022春虹口区期末）如图，在正方体中，是侧面上的一个动点，若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是下列哪种曲线的一部分A直线B圆C双曲线D抛物线2（2020松江区二模）已知动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则点的轨迹方程为二抛物线的标准方程（共3小题）3（2023秋静安区期末）准线方程的抛物线的标准方程为 4（2022
2、春徐汇区期末）以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线的标准方程为 5（2022春黄浦区校级期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是ABCD三抛物线的性质（共7小题）6（2023徐汇区校级三模）已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长A16B26C14D247（2023宝山区校级模拟）已知抛物线上一点，到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于ABCD8（2023闵行区二模）已知抛物线，圆，点的坐标为，、分别为、上的动点，且满足，则点的横坐标的取值范围是 9（2023嘉
3、定区校级三模）已知点是抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最大值是 10（2023上海模拟）已知抛物线，为抛物线内一点，不经过点的直线与抛物线相交于，两点，连接，分别交抛物线于，两点，若对任意直线，总存在，使得成立，则该抛物线方程为 11（2023崇明区二模）已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 12（2023松江区模拟）已知为抛物线的焦点，、为抛物线上三点（允许重合），满足，且，则的取值范围是 四直线与抛物线的综合（共3小题）13（2023徐汇区三模）在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点曲线是以为直径的圆称在轴上方的部分、在轴下方
4、的部分以及点、构成的曲线为曲线，并记在轴上方的部分为曲线，在轴下方的部分为曲线（1）写出抛物线和圆的方程；（2）设直线与曲线有不同于点的公共点、，且，求的值；（3）若过曲线上的动点，的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点右侧，求的最大值14（2023黄浦区校级模拟）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的、两点（1）若直线的方程为，求线段的长；（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、三点共线；（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由15（2023青浦区二模）如图，已知、是抛物线上的三个点，且直线、分别与
5、抛物线相切，为抛物线的焦点（1）若点的横坐标为，用表示线段的长；（2）若，求点的坐标；（3）证明：直线与抛物线相切一填空题（共4小题）1（2020上海自主招生）设抛物线，过焦点作直线，交抛物线于，两点，满足过点作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交轴于点，若，则2（2020上海自主招生）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，横坐标之和为5，则直线的条数为3（2020上海自主招生）如图所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，点处的切线与夹角为30度，则点横坐标为 4（2020上海自主招生）抛物线的焦点为，在抛物线上，点处的切线与夹角为，则点的横坐标为二解答题（共7小题）5（2020上海自主招生）抛
6、物线，过焦点作直线交抛物线于，两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，准线交轴于点，若，求6（2020上海自主招生）抛物线，过焦点作直线交抛物线于、两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，为顶点，若，求7（2021上海自主招生）2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为几份？8（2023春普陀区校级月考）如图，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为过点的直线与抛物线交于、两点（1）若点在第一象限，且，求直线的倾斜角；（2）若点在以线段为直径的圆周上，求直线的方程；（3）设直线、分别与轴交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围9（2022宝山区模拟）已知点，
7、分别为双曲线的左、右焦点，直线与有两个不同的交点，（1）当时，求到的距离；（2）若为原点，直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，证明；当的面积最小时，直线平行于轴；（3）设为轴上一点，是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由10（2023春静安区校级期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，记点的坐标为（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和3，求；（2）若斜率，求的面积；（3）若是等腰三角形且，求实数11（2023秋浦东新区校级月考）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点（1）如图1所示，已知，求
8、线段中点到轴的距离；（2）设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值；（3）如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，设线段与线段的交点为，求直线斜率的取值范围一选择题（共2小题）1（2022乙卷）设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则A2BC3D2（2021新高考）若抛物线的焦点到直线的距离为，则A1B2CD4二填空题（共2小题）3（2021上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，求直线的斜率为 4（2021新高考）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且若，则的准线方程为三解答题（共6
9、小题）5（2023甲卷）设抛物线，直线与交于，两点，且（1）求的值；（2）为的焦点，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值6（2023上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围7（2020上海）已知抛物线上的动点，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；（2）若，求证：为常数；（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由8（2022甲卷）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点当直线垂直于轴时，（1）求的方程；（2）设直线，与的另一个交点分别为，记直线，的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程9（2023新高考）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为（1）求的方程；（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于10（2023甲卷）已知直线与抛物线交于，两点，（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值
