1、5.3 平面向量的数量积及其应用思维导图知识点总结1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作a，b， 叫作向量a与b的夹角.当0时，a与b同向；当180时，a与b ；当90时，则称a与b ，记作 .(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量 叫作向量a和b的数量积，记作 ，即ab .(3)投影向量设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b ，向量称为向量a在向量b上的 .向量a在向量b上的投影向量为 2.平面
2、向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”
3、成几何关系.常用结论1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式：(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2；(3)(ab)2a22abb2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)，不能得出bc，两边不能约去同一个向量.典型例题分析考向一 数量积的计算例1 (1)(2022全国乙卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|，|a2b|3，则ab()A.2 B.1 C.1 D.2(2)(2023八省八校联考)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形
4、ABEF，ADMN，其中AB2，AD1，BAD，则_.感悟提升平面向量数量积的两种运算方法：(1)基底法，当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法，当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.考向二 数量积的应用角度1夹角与垂直例2 (1)(2022新高考卷)已知向量a(3，4)，b(1，0)，catb，若a，cb，c，则t()A.6 B.5 C.5 D.6(2)已知ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为_.角度2平面向量的模例3 (2023华大新高考联盟质测)已知平面向量a，b，c满足bc，|b|c|2，若a
5、bac8，则|a|_.感悟提升1.求解平面向量模的方法(1)利用公式|a|.(2)利用|a|.2.求平面向量的夹角的方法(1)定义法：cos ，的取值范围为0，.(2)坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .考向三 平面向量与三角的结合应用例4 (多选)(2021新高考卷)已知O为坐标原点，点P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，A(1，0)，则()A.|B.|C.D.感悟提升向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系.基础题型训练一、单选题1已知两个平面向量的夹角为，且
6、，则等于（）AB1CD22已知向量满足，则（）A2B1C0D23已知向量满足，则（）A2BC8D4在等腰三角形中，若P为边上的动点，则（）A4B8CD5设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）ABCD6已知向量与的夹角为，且，若，且，则实数的值为（ ）ABC6D13二、多选题7已知单位向量，则下列式子正确的是（ ）ABCD8易经是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，且，则下列说法正确的是（）ABCD三、填空题9已知，且与的夹角为，则_10在边长为
7、4的等边中，则_.11若向量、满足、，且、的夹角为，则_ 12如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_四、解答题13已知向量满足，且，求证14设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.15已知，且向量在向量方向上的投影数量为.（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？16设且，k、t是两个不同时为零的实数.(1)若与垂直，求k关于t的函数关系式；(2)求出函数的最小值.提升题型训练一、单选题1已知，设与的夹角为，则（）ABCD2已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角（）ABCD3已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则（）A2B1CD4已知平面向量，
8、满足，则与的夹角为（）ABCD5点M在边长为4的正ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（）ABCD6的外接圆的圆心为，半径为且，则向量在向量方向上的投影为 ABCD二、多选题7边长为1的菱形中，已知向量满足，则下列结论中正确的有（）A为单位向量BCD8已知是的外心，若，则的取值可能是（）AB-1C1D三、填空题9若向量，则与的夹角为_.10已知平面向量、的夹角为，且，则_11在直角坐标系xOy中，已知点，动点P满足，则的取值范围是_12在中，则边的长度为_四、解答题13已知向量与的夹角为，分别求在下列条件下的：(1)；(2)；(3)14已知向量、中至少有一个不为零向量，对于、及向量、，求函数取得最小值时的条件15已知,.（1）求与的夹角；（2）求和.16如图，边长为2的菱形中，、分别是，的中点，为、的交点，若（1）试用，表示，；（2）求的值.
