1、第二章 函数的概念与基本初等函数()第四节 幂函数与二次函数栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解幂函数的概念.2.结合函数 yx，yx2，yx3，y1x，yx12的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度.1.直观想象2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1幂函数(1)定义：
2、一般地，函数 1 _叫做幂函数，其中底数 x 是自变量，是常数(2)幂函数的图象比较yx(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减2二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)2 _顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为 3 _零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2 为 f(x)的零点ax2bxc(a0)(m，n)(2)二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象(抛物线)定义域R
3、值域4acb24a，4acb24a 对称轴x b2a 顶点坐标 b2a，4acb24a 奇偶性当 b0 时是偶函数，当 b0 时是非奇非偶函数单调性在，b2a 上是减函数；在 b2a，上是增函数在，b2a 上是增函数；在 b2a，上是减函数常用结论1二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向及给定区间的范围有关2若 f(x)ax2bxc(a0)，则当a0，0时恒有 f(x)0，当a0，0时，恒有 f(x)0.3(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(
4、正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 y2x13是幂函数()(2)当 n0 时，幂函数 yxn 在(0，)上是增函数()(3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.()解析：(1)由于幂函数的解析式为 f(x)x，故 y2x13不是幂函数，故(1)错(2)对(3)由于当 b0 时，yax2bxcax2c 为偶函数，故(3)错(4)对称轴 x b2a，当 b2a小于 a 或大于 b 时，最值不是4acb24a，故(4)错答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 1P79T1 改编)已知幂函数 f(x)k
5、x 的图象过点12，22，则 k 等于()A.12B1C.32D2解析：选 C 由幂函数的定义，知k1，22 k12，k1，12，k32.3(必修 1P44A 组 T9 改编)已知函数 f(x)x24ax 在区间(，6)内单调递减，则a 的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3解析：选 D 函数 f(x)x24ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线 x2a 的左侧，2a6，解得 a3，故选 D.三、易错自纠4幂函数 f(x)xa210a23(aZ)为偶函数，且 f(x)在区间(0，)上是减函数，则 a等于()A3 B4
6、C5 D6解析：选 C 因为 a210a23(a5)22，f(x)x(a5)22(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)22bc 且 abc0，则它的图象可能是()解析：选 D 由 abc0 和 abc 知，a0，c0，由 c0，排除 C.6(2020 届唐山市高三摸底)函数 f(x)x21|x|的图象大致为()解析：选 D 因为 f(x)x21|x|的定义域为x|x0，且 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数，排除选项 B，C；当 x0 时，f(x)x21xx1x在(0，)上单调递增，排除选项A.故选 D.7已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值
7、2，则 m 的取值范围为_解析：如图，由图象可知 m 的取值范围是1，2 答案：1，2课 堂 考 点 突 破2考点 幂函数的图象和性质|题组突破|1幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的图象是()解析：选 C 设幂函数的解析式为 yx，幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，24，解得 12.y x，其定义域为0，)，且是增函数，当 0 x1 时，其图象在直线 yx的上方，对照选项，C 正确2已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为()A3 B1C2 D1 或 2解析：选 B 幂函数 f(x)(n
8、22n2)xn23n 在(0，)上是减函数，n22n21，n23n0，n1，又当 n1 时，f(x)x2 的图象关于 y 轴对称，故 n1.3(2019 届湖北宜昌调研)若幂函数 f(x)xm 的图象过点(2，4)，且 am14，blog3m，ccos m，则 a，b，c 的大小关系是()AbcaBcbaCbacDab1，0blog321，ccos mcos 2cos 20，cb0，则二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是()(2)设函数 f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0，则()Af(m1)0 Bf(m1)0Cf(m1)0 Df(m1)0解析(1)A 选项中，因为 a0，b2a
9、0，所以 b0，所以 c0，而 f(0)c0，故 A 错；B 选项中，因为 a0，所以 b0.又因为 abc0，所以 c0，故 B 错；C 选项中，因为 a0，b2a0.又因为 abc0，所以 c0，而 f(0)c0，b2a0，所以 b0，所以 c0，而 f(0)c0，故D 对 (2)因为 f(x)的对称轴为 x12，f(0)a0，所以 f(x)的大致图象如图所示 由 f(m)0，得1m0，所以 m10，所以 f(m1)f(0)0.答案(1)D(2)C名师点津 1研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的
10、交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向2求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数图象特征分析不等式成立的条件|跟踪训练|3一次函数 yaxb 与二次函数 yax2bxc 在同一坐标系中的图象可能是()解析：选 C 若 a0，则一次函数 yaxb 为增函数，二次函数 yax2bxc 的开口向上，故可排除 A；若 a0，一次函数 yaxb 为减函数，二次函数 yax2bxc 开口向下，故排除 D；对于选项 B，看直线可知 a0，b0，从而 b2a0，而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧，故排除 B；只有 C 适合考点 二次函数的性质及应用 命题角度一 二次函数的单调性
11、与最值【例 1】(教材改编题)已知函数 f(x)x22ax3，x4，6(1)当 a2 时，求 f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间4，6上是单调函数解(1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，由于 x4，6，f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增，f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的最大值是 35.(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是单调函数，应有a4 或a6，即 a6 或 a4，故 a 的取值范围是(，64，)命题角度二 二次函数的恒成立问题【例 2】已
12、知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值范围是_ 解析 作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 xm，m1，都有 f(x)0.则有f（m）0，f（m1）0，即m2m210，（m1）2m（m1）10，解得 22 m0.答案 22，0名师点津 1二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解2由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键
13、是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.|跟踪训练|已知二次函数 f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数 f(x)的最小值为 f(1)0，求 f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)xk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的取值范围解：(1)由题意知 b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2，所以 f(x)x22x1.由 f(x)(x1)2 知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1(2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间3，1上恒成立令 g(x)x2x1，x3，1，由 g(x)x12234知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)ming(1)1，所以 k1，故 k 的取值范围是(，1)点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
