1、第二章 函数的概念与基本初等函数()第二节 函数的单调性与最值栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中、高档.1.数学运算2.逻辑推理 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于定
2、义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2增函数减函数定义 当 x1x2 时，都有 1 _，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2 时，都有 2 _，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是 3 _自左向右看图象是 4 _f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，5 _ 叫做函数 yf(x)的单调区间区间D2函数的最值前提 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足条件(1)对于
3、任意 xI，都有 6_；(2)存在 x0I，使得 f(x0)M(3)对于任意 xI，都有 7 _；(4)存在 x0I，使得 8 _结论M 为最大值M 为最小值f(x0)Mf(x)Mf(x)M常用结论1单调性的两种等价形式(1)设任意 x1，x2a，b且 x1x2，那么f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数；f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数2单调性的两个结论(1)函数 yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与 yf(x)，y1f（x）的单调性相反(2)“对勾函数”yxax(a0)的增区间为(，
4、a)和(a，)；减区间为a，0)和(0，a，且函数 yxax(a0)是奇函数3函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数 f(x)，xD，若对任意 x1，x2D，且 x1x2 有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数()(2)函数 y1x的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)对于函数 yf(x)，若 f(1)f(3)，则 f(x)为增函数()(4)函数 yf
5、(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()解析：(1)正确(2)错误单调区间不能用并集符号连接，应说成单调递减区间为(，0)和(0，)(3)错误应对任意的 x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以(4)错误若 f(x)x，则 f(x)在区间1，)上为增函数，但 yf(x)的单调递增区间可以是 R.答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 1P39B 组 T1 改编)函数 f(x)x22x 的单调递增区间是_答案：1，)(或(1，)3(必修 1P31 例 4 改编)函数 y 2x1在2，3上的最大值是_ 答案：24(必修 1P44A 组 T9 改编)若函数 f(x)x2
6、2mx1 在2，)上是增函数，则实数m 的取值范围是_解析：由题意知，对称轴 xm，2，)m，)，m2.答案：(，2三、易错自纠5函数 ylog12(x24)的单调递减区间为_答案：(2，)6若函数 f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则 a 的值为_解析：由图象(图略)易知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是a2，令a23，得 a6.答案：6课 堂 考 点 突 破2考点 求函数的单调区间|题组突破|1函数 f(x)|x23x2|的单调递增区间是()A.32，B.1，32 和2，)C(，1和32，2D.，32 和2，)解析：选 B y|x23x2|x23x2，x1或x2，（x23x2），
7、1x2.如图所示，函数的单调递增区间是1，32 和2，)；单调递减区间是(，1和32，2.故选 B.2函数 y|x|(1x)在区间 A 上是增函数，那么区间 A 可能是()A(，0)B.0，12C0，)D.12，解析：选 B y|x|(1x)x（1x），x0，x（1x），x0 x2x，x0，x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0.画出函数的草图，如图 由图易知函数在区间0，12 上单调递增3函数 y x2x6的单调递增区间为_，单调递减区间为_解析：令 ux2x6，则 y x2x6可以看作是由 y u与 ux2x6 复合而成的函数 令 ux2x60，得 x3 或 x2.易知 ux
8、2x6 在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而 y u在0，)上是增函数，所以 y x2x6的单调递减区间为(，3，单调递增区间为2，)答案：2，)(，3名师点津 确定函数的单调区间的方法提醒(1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数 y1x在(，0)和(0，)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性(2)“函数的单调区间是 M”与“函数在区间 N 上单调”是两个不同的概念，显然NM.考点一 判断或证明函数的单调性【例 1】(一题多解)试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性解 解法一：设1x1x21，f(x)ax11x1a1 1x1，f(x
9、1)f(x2)a11x11 a11x21 a（x2x1）（x11）（x21），由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在区间(1，1)上单调递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增名师点津 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤提醒 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等|跟踪训练|1(一题多解)判断并证明函数 f(x)ax21x(其中 1a3)在 x1，2上的单调性解：解法一：设 1x1x22，则 f(
10、x2)f(x1)ax221x2ax211x1(x2x1)a（x1x2）1x1x2，由 1x1x22，得 x2x10，2x1x24，1x1x24，1 1x1x214.又 1a3，所以 2a(x1x2)12，所以 a(x1x2)1x1x20，从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)，故当 a(1，3)时，f(x)在1，2上单调递增解法二：因为 f(x)2ax1x22ax31x2，因为 1x2，所以 1x38.又 1a0.所以 f(x)0.所以函数 f(x)ax21x(其中 1a0）的最小值为 f(0)，则实数 a 的取值范围是()A1，2 B1，0C1，2 D0，2(2)函数 f(x
11、)13xlog2(x2)在区间1，1上的最大值为_(3)函数 y xx(x0)的最大值为_解析(1)当 x0 时，f(x)x1xa2a，当且仅当 x1x，即 x1 时，等号成立 故当 x1 时取得最小值 2a，f(x)的最小值为 f(0)，当 x0 时，f(x)(xa)2 单调递减，故 a0，此时的最小值为 f(0)a2，故 2aa2，解得1a2.又 a0，得 0a2.故选 D.(2)易知函数 f(x)13xlog2(x2)在区间1，1上是单调递减，f(x)maxf(1)3log213.(3)令 t x，则 t0，所以 ytt2t12214，所以当 t12，即 x14时，ymax14.答案(1
12、)D(2)3(3)14名师点津 求函数最值的五种常用方法|跟踪训练|2函数 f(x)x24x的值域为_解析：当 x0 时，f(x)x4x4，当且仅当 x2 时取等号；当 xb.设函数 f(x)x3，g(x)log2x，则函数 h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析：解法一：在同一坐标系中，作函数 f(x)，g(x)图象，依题意，知 h(x)的图象如图所示易知点A(2，1)为图象的最高点，因此 h(x)的最大值为 h(2)1.解法二：依题意，h(x)log2x，02.当 02 时，h(x)3x 是减函数，所以 h(x)在 x2 时取得最大值 h(2)1.答案：1考点三 函数单调性的应用
13、 命题角度一 比较函数值或自变量的大小【例 3】已知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac解析 因为f(x)的图象关于直线x1对称，由此可得f12 f52.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0 恒成立，知 f(x)在(1，)上单调递减因为 1252f52 f(e)，所以 bac.答案 D命题角度二 解函数不等式【例 4】定义在2，2上的函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且 f(a2a)f(2a2)，则实数 a 的取值范围为()A1，2)B0，2)C0，1)D1，1)解
14、析 因为函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，所以函数在2，2上单调递增，所以22a2a2a2，解得 0a1，故选 C.答案 C命题角度三 求参数的值或取值范围【例 5】(1)(2019 届郑州模拟)函数 y x5xa2在(1，)上单调递增，则 a 的取值范围是()Aa3 Ba4.若函数 yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数 a 的取值范围是()A(，1 B1，4C4，)D(，14，)解析(1)yxa2a3xa21 a3xa21a3x（a2），由题意知a30，a21，解得 a3.所以 a 的取值范围是 a3.(2)作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f
15、(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或 a12，即 a1 或 a4，故选 D.答案(1)C(2)D名师点津 利用函数单调性求解四种题型提醒 讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值|跟踪训练|4若函数 f(x)2|xa|3 在区间1，)上不单调，则 a 的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1)D(，1解析：选 B 因为函数 f(x)2|xa|32x2a3，xa，2x2a3，x1.所以 a 的取值范围是(1，)故选 B.5(2020 届洛阳市第一次联考)已知函数 f(x)|2x1|，xf(a3)，则实数 a 的取值范围为_解析：由已知可得a2a0，a30，
16、a2aa3，解得3a3，所以实数 a 的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)7 已 知 函 数 f(x)（a2）x，x2，12x1，x2，满 足 对 任 意 的 实 数 x1 x2，都 有f（x1）f（x2）x1x20 成立，则实数 a 的取值范围为_解析：由题意知，函数 f(x)是 R 上的减函数，于是有a20 时，f(x)1.(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数；(2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4.解(1)令 xy0，得 f(0)f(0)f(0)1，即 f(0)1.证明：在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，
17、f(x1x2)1.又 f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以，函数 f(x)在 R 上是单调增函数(2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5.由 f(x22x)f(1x)4，得 f(x2x1)f(3)又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2x13，解得 x1，故原不等式的解集为x|x1名师点津 依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养|跟踪训练|若 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，且满足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则当f(x)f(x8)2 时，x 的取值范围是()A(8，)B(8，9C8，9 D(0，8)解析：选 B 由题意，得 211f(3)f(3)f(9)，由 f(x)f(x8)2，可得 fx(x8)f(9)因为 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，所以有x0，x80，x（x8）9，解得 8x9.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS