1、专题4.8 相似三角形几何模型（一线三等角）（基础练）模型： 一线三直角型一线三等角1（2022春九年级课时练习）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP2（2021秋福建福州九年级福建省福州屏东中学校考期中）如图，在中，E、F分别是AC、BC上的点，求证：3（2022春全国九年级专题练习）如图，在中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：4（2021秋江苏无锡九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EFEC交AB于F，连接FC，求证：5（2022秋九年级课时练习）如图，在等边三角形中，D，E，F分别是三边上
2、的点，那么与相似吗？请证明你的结论6（2022秋九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明7（2022秋山东菏泽九年级校考阶段练习）如图，在中，若，且点在上，点在上，与交于点求证：8（2022秋北京昌平九年级统考期中）如图，将一个与正方形叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段重合（1）图中与相似的三角形共有_个，分别是_；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与相似的证明9（2023春河北邢台九年级统考开学考试）如图，
3、为上一点，（1）求证：；（2）若平分，求的长10（2023春湖南株洲九年级统考开学考试）如图，已知矩形，点在边上，连接，过点作交于点（1）求证：（2）若，求的长11（2022秋湖南永州九年级统考期中）如图，在矩形中，点E是的中点，交于点F（1）求证：；（2）若，求的长12（2023湖南统考中考真题）如图，点是线段上的一点，且已知（1）证明：（2）求线段的长13（2023秋陕西西安九年级高新一中校考开学考试）如图，已知等腰，点D、E分别在上，且（1）求证：；（2）如果，求的长 14（2023春上海九年级专题练习）已知，在等腰中，以的中点D为顶点作，分别交、于点E、F，求底边的长15（2023浙江
4、杭州校联考二模）如图，在边长为6的等边三角形中，点E、D、F分别在边上，（1）求证：（2）若，时，求的长16（2023秋江苏南京九年级统考期末）如图，点E在线段上，求证17（2023春江苏盐城九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）如图，点D是等边的边上一点，连接，以为边作等边，与交于点F（1）求证：；（2）若，求的长18（2023秋河北保定九年级统考期末）矩形中，为上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点（1）求证：；（2）若，求的长19（2023秋河南新乡九年级河南师大附中校考期末）如图，在矩形中，E，F分别是的中点，连接，若，（1）求证：；（2）若，求的长20（2023上海徐汇校联考一模
5、）如图，在中，点是斜边的中点，点是边上的一点，交射线于点（1）求证：；（2）求证：21（2023秋山西大同九年级大同市第二中学校校考期末）如图，在四边形中，点在上，（1）求证：（2）若，求的长22（2022秋浙江湖州九年级统考期末）如图，正方形中，E是上一点，过E作交于点F，连接（1）证明：（2）当时，求的长23（2022秋贵州铜仁九年级统考阶段练习）已知：如图，在菱形中，E为边上一点，（1）求证：；（2）若，求的值24（2023春安徽亳州九年级专题练习）在四边形中，为对角线，（1）如图1，求证：平分；（2）如图1，求，求的长；（3）如图2，若，为的中点，连接、，与交于点，求的值参考答案1证明
6、见分析【分析】由四边形是正方形可知，由，可得，由是的中点，可得，可得，进而结论得证解：证明：四边形是正方形，是的中点，【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定解题的关键在于找出相似所需的条件2见分析【分析】首先根据等要直角三角形的性质求出A=B=45，再根据外角的性质推EDF+FDB=A+AED，根据EDF=45，得AED=FDB，从而证明ADEBFD解：证明：ACB=90，AC=BC，A=B=45，EDB是ADE的外角，EDF+FDB=A+AED，EDF=45，AED=FDB，ADEBFD【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形，熟练应用等腰直角三角形的性质，外角性质的
7、应用是解题关键3见分析【分析】利用三角形的外角性质证明EDC=DAB，即可证明ABDDCE解：证明：AB=AC，且BAC=120，ABD=ACB=30，ADE=30，ABD=ADE=30，ADC=ADE+EDC=ABD+DAB，EDC=DAB，ABDDCE【点拨】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明EDC=DAB是解题的关键4证明见分析【分析】由矩形，证明 结合：，证明：，从而可得结论解： 矩形ABCD， ，【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关键5见分析【分析】利用等边三角形性质及已知条件，可
8、得，根据三角形全等的判定定理得出，同理可得出，所以，可得为等边三角形，根据三角形相似的判定定理即可证明两个等边三角形相似解：与相似，理由如下：为等边三角形，在与中，同理可得：，为等边三角形，【点拨】题目主要考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质是解题关键6AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM，证明见分析.【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有3对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定理两组角对应相等的两个三角形相似来证明AMFBGM解：图中的相似三角形有：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下证明AMFBGMAFMDME+E（
9、外角定理），DMEAB（已知），AFMDME+EA+EBMG，AB，AMFBGM【点拨】本题考查了相似三角形的判定解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似7见分析【分析】首先得出BC，AEFB，然后证明CEMBAE即可得出ABEECM解：证明：ABAC，BC，ABCDEF，AEFB又AEFCEMAECBBAE，CEMBAE，ABEECM【点拨】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握两角对应相等，两个三角形相似是解题关键8（1）3，；（2）选，理由见分析或选，理由见分析或选，理由见分析【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，即可求解；（2）根据相似三角形
10、的判定定理及正方形的性质证明即可（1）解：图中与相似的三角形共有3个，分别是；故答案为：3，（2）解：选，理由如下：四边形是正方形，；选，理由如下：四边形是正方形，；选，理由如下：四边形是正方形，【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键9（1）见分析；（2）6【分析】（1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案解：（1）证明：， 又，（2）解：平分，由（1）知，又， ，即 ，【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到10（1）证明过程见详解；（2）的
11、长为【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据，可得，由此可得，根据相似三角形的判定即可求解；（2）由（1）可知，根据相似三角形的性质即可求解解：（1）证明：四边形是矩形，在中，且，（2）解： ，且，由（1）可知，即，解得，的长为【点拨】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键11（1）见分析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质，再根据等量代换可得，进而可求证（2）根据中点的性质及勾股定理可得，由（1）可得，进而可解解：（1）证明：四边形是矩形，（2）E是的中点，在中，由（1）知，则：，【点拨】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判
12、定及性质是解题的关键12（1）见分析；（2）【分析】（1）根据题意得出，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解解：（1）证明：，；（2），解得：【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键13（1）证明见分析；（2）12【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知即可完成证明；（2）由相似三角形的性质即可完成解答解：（1）证明：，；（2）由（1）得，【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握这两方面的知识是关键14【分析】先证明，即可证明，得出，根据，即可求出解：，而，又，又，【点拨】本题主
13、要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是证明15（1）证明见分析；（2）【分析】（1）由条件可得出，可得到，且，可证得结论；（2）利用（1）结论可得出，且，代入可求得解：（1）证明：为等边三角形，；（2）由（1）知，解得【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到是解题的关键，注意等边三角形性质的应用16见分析【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余和平角说明，再判断，最后利用相似三角形的性质得结论解：证明：，又，【点拨】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键17（1）见分析；（2）【分析】（1）根据等边三角形的性
14、质可得角度之间的相等关系，再根据有两个角相等的两个三角形相似，即可求证；（2）由 得出，计算即可得出解：（1）证明：是等边三角形，；又；（2），即，解得：【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例18（1）证明见分析；（2）【分析】（1）根据矩形性质得到，再根据折叠性质得到，进而推出，即可证明结论；（2）由题意可知，设长为，则，根据勾股定理得到，再利用相似三角形的性质即可求出的长解：（1）证明：四边形是矩形，是翻折得到，；（2）解：由题意可知，设长为，则，在中，即，解得：【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠
15、的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键19（1）证明见分析；（2）【分析】（1）先根据矩形的性质得到，再证明即可证明；（2）先根据已知条件求出，再由相似三角形的性质得到，由此即可得到答案解：（1）证明：四边形是矩形，即，；（2）解：四边形是矩形，E，F分别是的中点，即，【点拨】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键20（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）首先根据等要直角三角形的性质求出，再根据外角的性质推，根据，得，从而证明；（2）根据等腰直角三角形的性质得出，根据（1）的结论得出，即可得证解：（1
16、）证明：，是的外角，（2），点是斜边的中点，【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形，熟练应用等腰直角三角形的性质，外角性质的应用是解题关键21（1）见分析；（2）【分析】（1）由、可得出，由等角的余角相等可得出，进而即可证出；（2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度解：（1）证明：，（2）解：，即，【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出；（2）利用相似三角形的性质求出的长度22（1）见分析；（2）2【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，求证即可；（2）根据相似三角形的性质，求解即可解：（1
17、）证明：四边形是正方形（2）解：，【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质23（1）见分析；（2）5【分析】（1）根据菱形的对边平行，可得出，结合即可证明两三角形都得相似；（2）根据（1）的结论可得出，进而代入可得出的值解：（1）证明： 四边形是菱形，又 ， （2）解：，四边形是菱形， 【点拨】本题考查三角形相似的知识，掌握三角形相似的判定、运用判定求线段乘积是解题的关键24（1）见分析；（2）；（3）【分析】（1）根据，可得，从而证明结论；（2）根据，得，代入计算即可；（3）由直角三角形斜边上中线的性质得，再运用勾股定理得，由，求得，再证明，从而解决问题解：（1）证明：，又，平分；（2）解：，解得故答案为：；（3）解：，点为的中点，解得，由（1）知，【点拨】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，运用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键
