1、专题4.2 比较线段的长短 知识梳理知识点 比较线段的长短a、叠合法 b、度量法注：“两点之间的距离”是一个数量，指的是线段的长度，不是线段本身。课后培优练级练培优第一阶基础过关练一、单选题1如图所示，点C在线段的延长线上，且，D是的中点若，则的长为（）A1B2C3D4【答案】A【分析】根据条件求得和的长度，再利用中点的性质求出，即可得出答案【详解】解：，D是的中点，故选：A【点睛】本题考查的是线段的和差关系、中点的性质，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键2已知线段AB=10cm，线段AC=16cm，且AB、AC在同一条直线上，点B在A、C之间，此时AB、AC的中点M、N之间的距
2、离为（）A13cmB6cmC3cmD1.5cm【答案】C【分析】首先根据题意，结合中点的性质，分别算出、的长，然后再根据线段之间的数量关系进行计算，即可得出结果【详解】解：如图，cm，又的中点为，cm，的中点为，故选：C【点睛】本题考查了中点的性质、线段的和、差关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解决问题32012年12月26日京广高铁全线通车，一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（）种车票A15B30C10D6【答案】B【分析】分别求出从北京出发的有5种车票，从石家庄出发的有4种车票，从郑州出发的有3种车票，从武汉出发的有2种车
3、票，从长沙出发的有1种车票，即可得出答案【详解】解：从北京出发的有5种车票，从石家庄出发的有4种车票，从郑州出发的有3种车票，从武汉出发的有2种车票，从长沙出发的有1种车票，一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印刷种车票，故B正确故选：B【点睛】本题主要考查了线段的应用，解题的关键是理解题意，运用类比方法建立知识点之间的联系准确计算4在同一条直线上按顺序从左到右有P、Q、M、N四个点，若，则下列结论正确是（）AQ是线段的中点BQ是线段的中点CM是线段的中点DM是线段的中点【答案】D【分析】根据题意画出图形，根据，得出线段之间的关系，逐项进
4、行判断即可【详解】不一定等于QM，Q不一定是线段的中点，故A错误；，M是线段的中点，故B错误，D正确；，M不是线段的中点，故C错误故选：D【点睛】本题主要考查了线段之间的关系，根据题意画出图形是解题的关键5下列说法正确的是（）A若，则点C为线段AB的中点B用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”C已知A，B，C三点在一条直线上，若，则D已知C，D为线段AB上两点，若 ，则【答案】D【分析】分别根据线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差进行分析解答【详解】解：A.点C不一定在线段AB上，故A不符合题意；B. 用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，故B不
5、符合题意；C.当C在线段AB上时，AC=2，当C在AB延长线上时，故C不符合题意；D. 已知C，D为线段AB上两点，若 ，则，故D符合题意故选：D【点睛】本题考查线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差等概念，是基础考点，掌握相关知识是解题关键二、填空题6在直线线上取A、B、C三点，使，点O是线段AC的中点，则线段OB的长是_【答案】1cm或4cm#4cm或1cm【分析】分C在线段AB上和不在线段AB上两种情况讨论求解即可【详解】解：如图1所示，当点C不在线段AB上时，AB=5cm，BC=3cm，AC=AB+BC=8cm，O是线段AC的中点，OB=OC-BC=1cm；如图2所示，当C在线段AB
6、上时，AB=5cm，BC=3cm，AC=AB-BC=2cm，O是线段AC的中点，OB=OC+BC=4cm；故答案为：1cm或4cm【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键7是线段上一点，是的中点，若，则的长为_【答案】【分析】根据题意画出图形，先求出，再根据线段中点的定义详解【详解】解：如图，是的中点，故答案是：【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，熟记概念是解题的关键，作出图形更形象直观8如图，AB=a，BC=b，CD=c，点M是AC的中点，点N是BD的中点（1）若a=4，b=8，c=6，则MN=_；（2）若a+c=12，则
7、MN=_【答案】 5 6【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论【详解】解：（1）点M是AC的中点，点N是BD的中点，AM=AC=(a+b)=(4+8)=6，DN=BD=(b+c)=(8+6)=7，MN=AD-AM-DN= a+b+c-6-7=4+8+6-13=5；故答案为：5（2）点M是AC的中点，点N是BD的中点，AM=AC=(a+b)，DN=BD=(b+c)，MN=AD-AM-DN= a+b+c-(a+b)-(b+c)=(2a+2b+2c-a-b-b-c)=(a+c)=12=6故答案为：6【点睛】本题考查了两点间的距离，利
8、用了线段中点的性质，线段的和差正确理解线段的中点的性质是解题的关键9如图，长度为12cm的线段AB的中点是点M，点C在线段MB上，且，则线段AC的长为_【答案】8cm#8厘米【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度【详解】解：线段AB的中点为M，AM=BM=6cm，设MC=x，则CB=2x，x+2x=6，解得x=2，即MC=2cm，AC=AM+MC=6+2=8（cm）【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点10如图，将一段长为10
9、0cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为235，BN的值可能为_【答案】35cm或40cm或45cm【分析】分别计算三段绳子的长度，再分类讨论，利用线段的和差进行计算即可【详解】绳子长度为100cm，将绳子分为三段，这三段的长度由短到长的比为235，这三段的长度分别为：，由题意得，当时，即，；当时，即，；当时，即，；综上，BN的值可能为35cm或40cm或45cm；故答案为：35cm或40cm或45cm【点睛】本题考
10、查了线段的和差，能够利用数形结合的思想进行解答是解题的关键三、解答题11如图，已知射线AD，线段a，b(1)尺规作图：在射线AD上作线段AB，BC，使，（保留作图的痕迹，不要求写出作法）(2)若cm，cm，求线段AC的长【答案】(1)见解析(2)8cm或2cm【分析】（1）分两种情况在射线AD上作线段AB，BC，使ABa，BCb；（2）结合（1）根据a5cm，b3cm，即可求线段AC的长（1）解：如图，线段AB，BC（或）即为所求；，（2）解：由图可得ACab8cm，或Aab2cm【点睛】本题考查了作图基本作图，两点间的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法12如图，已知点C在线段AB上，点M
11、，N分别在线段AC与线段BC上，且MC，BN2NC(1)若AC9，BC6，求线段MN的长；(2)若MC：NC5：2，MN7，求线段AB的长【答案】(1)8；(2)13.5【分析】（1）由AC9及AMMC可求解CM的长，由BN2NC及BC6可求得CN的长，再利用MNCM+CN可求解；（2）由MC：NC5：2，MN7，可求解MC，CN的长，结合AMMC，BN2NC可求解AM，BN的长，利用ABAM+MN+BN计算可求解（1）解：（ 1）AMMC，CMAC，AC9，CM6，BN2NC，CNBC，BC6，CN2，MNCM+CN6+28；（2）解：MC：NC5：2，MN7，MC5，CN2，AMMC，BN
12、2NC，AM2.5，BN4，ABAM+MN+BN2.5+7+413.5【点睛】本题主要考查了两点之间距离，熟练掌握两点间距离计算的方法进行计算是解决本题的关键培优第二阶拓展培优练一、单选题1如图，点为线段的中点，点为的中点，若，则线段的长（）A7BC6D5【答案】C【分析】应用一条线上的线段和差关系进行计算即可得出答案【详解】解：点D为线段AB的中点，ADBDAB168，ADAEDE，DEAE，AEAE8，AE6，DE2，点C为DB的中点，CDBD84，CEDECD246，故选：C【点睛】本题主要考查了一条线上各个线段关系，看清图中线段关系，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键
13、2己知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（）ABC1或D或2【答案】C【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题【详解】当N在射线BA上时，不合题意当N在射线AB上时，此时当N在线段AB上时，由图可知，故选：C【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系3已知线段，点C在的延长线上，点D在直线上，点M是线段的中点，则的长为（）A4或12B8或12C4或8D9或12【答案】A【分析】如图1，当D在线段AB上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段的中点的定义得到CM=CD=8，于是得到AM=
14、ACCM=4；如图2，当D在ABAB的延长线上时，根据线段的和差得到BC=AB+AC=32，根据线段中点的定义得到CM=CD=24，于是得到AM=CMAC=2412=12【详解】解：如图1，当D在线段AB上时，AB=20，AC=12，BC=AB+AC=32，BD=16，CD =BCBD=16，点M是线段CD的中点，CM=CD=8，AM=ACCM=4；如图2，当D在AB的延长线上时，AB=20，AC=12，BC=AB+AC=32，BD=16，CD=BC+BD=32+16=48，点M是线段CD的中点，CM=CD=24，AM=CMAC=2412=12，综上，的长为4或12，故选：A【点睛】本题考查了
15、两点间的距离，线段的和差，线段的中点，在未画图类问题中，正确画图很重要本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解4某学校老师分别住在A，B，C三个住宅区，A区有15人，B区有20人，C区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点，要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（）AB区BC区CB区或C区DB，C两区之间任何一点（含B，C两点）【答案】D【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、C各点和B区、C区之间时员工步行的路程和，选择最小的即可求解【详解】解：当停靠点在A区
16、时，所有员工步行到停靠点路程和是：20300+35(300+500)=34000m，当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15300+35500=22000m，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15(300+500)+20500=22000m，当停靠点在B、C区之间时，设在B区、C区之间时，设距离B区x米，则所有员工步行路程之和=20x+15（300+x）+35（500-x），=20x+4500+15x+17500-35x，=22000，综上，当停靠点在B，C两区之间任何一点（含B，C两点）故选：D【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，比较线段的长短，正确理解题意是解题
17、的关键，要能把线段的概念在现实中进行应用，比较简单5下列说法正确的是（）A若ACBC，则点C为线段AB中点B把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”C已知A，B，C三点在一条直线上，若AB2，BC4，则AC6D已知C，D为线段AB上两点，若ACBD，则ADBC【答案】D【分析】分别根据线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差进行分析可得答案【详解】解：A点C不一定在线段AB上，所以错误，不符合题意；B原理是两点之间线段最短，所以错误，不符合题意；C当A在线段BC上时，AC2，点C在AB的延长线上时，AC6，所以错误，不符合题意；D已知C，D为线段AB上两点，若ACBD，则
18、ADBC，正确，符合题意故选：D【点睛】本题考查线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差等概念，熟练掌握这些性质是解题关键二、填空题6把一根绳子对折成一条线段AB，在线段AB上取一点P，使AP：PB1：3，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为18cm，则三段绳子中最短的一段的长为 _【答案】12cm或3cm#3cm或12cm【分析】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到绳子对折成线段AB时，哪一点是绳子的端点或者哪一点是绳子的对折点的多种可能，再根据题意正确地画出图形解题【详解】解：如图，AP：PB1：3，2APPBPB，若绳子是关于A点对折，2APPB，剪断后的三段绳子中最长的
19、一段为PB18cm，三段绳子中最短的一段的长为：2AP12（cm）；若绳子是关于B点对折，AP2PB剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB18cm，PB9cm，AP3（cm），故答案为：12cm或3cm【点睛】本题考查了线段的和差倍份，在画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，学会分类讨论是解题的关键7一条直线上有，三点，点，分别是，的中点，则_【答案】或【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解【详解】解：根据题意由两种情况若B在A，C两点之间，如图：则,，(cm
20、)；若C在A，B两点之间，如图：则，(cm)，故答案为：13cm或5cm【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键8已知点、在直线上，且线段，点、分别是、的中点，则的长为_【答案】6或12#12或6【分析】由线段的中点，线段的和差倍分求出线段PQ的长为6或12【详解】解：点M在线段AB上时，如图所示：ABAMMB，AMBM，AB16，AM4，BM12，又Q是AB的中点，AQBQAB168，又MQBMBQ，MQ1284，又点P是AM的中点，APPMAM42，又PQPMMQ，PQ246；点M在线段AB的反向延长线上时，如图所示：同理可得：
21、AQAB168，又AMBM，AMAB168，又点P是AM的中点，APAM84，又PQPAAQ，PQ4812，综合所述PQ的长为6或12故答案为：6或12【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识，解题的关键是掌握两点之间的距离，注意进行分类讨论9直线l上的三个点A、B、C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”如图2若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN6cm则MP_cm【答案】3或9【分析】根据题意分两种情况讨论：当点P在线段MN之间时；当点P在MN的延长线上时；然后由“
22、半距点”定义求解即可【详解】解：如图所示，当点P在线段MN之间时，根据题意可得：cm，cm；当点P在MN的延长线上时，如图所示：根据题意得：MN=6cm，cm，cm；故答案为：3或9【点睛】题目主要考查线段的和差计算，理解题目中新定义的“半距点”是解题关键10如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB1千米，BC3千米，CD2千米，DE1.5千米乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为_千米【答案】12.5#【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的
23、和与差计算即可【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长；当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米；当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米；当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米故答案为：
24、12.5【点睛】本题考查线段的和与差利用分类讨论的思想是解题关键三、解答题11如图，已知B、C在线段AD上(1)图中共有_条线段；(2)若ABCD比较线段的大小：AC_BD（填：“”、“”或“”）；若BD4AB，BC12cm，求AD的长【答案】(1)6(2)=；AD20cm【分析】（1）根据图形依次数出线段的条数即可；（2）根据等式的性质即可得到答案；依据线段的和差关系进行计算，即可得出AD的长；（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6（2）ABCD，AB+BCCD+BC，即ACBD，故答案为：BD4AB，ABCD，BC3AB，BC12，AB4，ADAB+BD
25、4+4420（cm），【点睛】本题主要考查了线段的长度计算和线段中点的性质，关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法12综合与探究已知线段，P，Q是线段上的两点（点P在点Q的左边），且(1)如图1，若点C在线段上，且，当P为的中点时，求的长(2)若M为线段的中点，N为线段的中点如图2，当线段在线段上时，求线段的长；当线段在线段的延长线上时（点P，Q都在的延长线上），猜想线段的长是否发生变化？请说明理由【答案】(1)(2)10；线段MN的长不发生变化为定值10，理由见解析【分析】（1）先根据求出，BC=10，再根据线段中点的定义求出CP的长，进而求出CQ的长即可得到答案；（2）先根据线段中点的定
26、义得到AP=2PM，BQ=2QN，再推出AP+BQ=10得到，PM+QN=5，则MN=PM+PQ+QN=10；分图2-1和图2-2两种情形先求解，同理可证其他情形下MN也为定值10（1）解：，即，BC=10，P是线段AC的中点，；（2）解：M是线段AP的中点，N是线段BQ的中点，AP=2PM，BQ=2QN，AB=AP+PQ+BQ=15，PQ=5，AP+BQ=10，2PM+2QN=10，PM+QN=5，MN=PM+PQ+QN=10；线段MN的长不发生变化为定值10，理由如下：如图2-1所示，当点M在AB之间，点N在PQ之间，设，M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，；如图2-2所示，当点M在AB
27、之间，点N在BP之间时，设，M、N分别是线段AP，线段BQ的中点，同理可证线段PQ在AB延长线上的其他所有情形下，MN=10，综上所述，线段MN的长不发生变化为定值10【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键培优第三阶中考沙场点兵1（2022山东临沂）如图，位于数轴上原点两侧，且若点表示的数是6，则点表示的数是（）A-2B-3C-4D-5【答案】B【分析】根据，点表示的数是6，先求解 再根据A的位置求解A对应的数即可【详解】解：由题意可得：点表示的数是6，且B在原点的右侧， ， 在原点的左侧，表示的数为 故选B【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上
28、的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键2（2021内蒙古）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（）A1B3C1或3D2或3【答案】C【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,AD=AC=1如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,AD=AC=3故选C【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键3（2021湖北随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整
29、的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A两点之间线段最短B两点确定一条直线C垂线段最短D经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】A【分析】根据两点之间，线段最短进行解答【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短故选：A【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，准确分析判断是解题的关键4（2020新疆）如图所示，某同学的家在A处，书店在B处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的
30、路线（）AACDBBACFBCACEFBDACMB【答案】B【分析】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：ACFB，据此解答即可【详解】根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：ACFB故选B【点睛】本题考查了线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短5（2020江苏徐州）“把弯曲的公路改直，就能缩短路程”，其中蕴含的数学道理是 （ ）A两点确定一条直线B直线比曲线短C两点之间直线
31、最短D两点之间线段最短【答案】D【详解】线段的性质：两点之间线段最短两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短故选D6（2021山东滨州）若数轴上点A、B分别表示数2、2，则A、B两点之间的距离可表示为（）A2+（2）B2（2）C（2）+2D（2）2【答案】B【详解】分析：根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可详解：A、B两点之间的距离可表示为：2（2）故选B点睛：本题考查的是数轴上两点间的距离、数轴等知识，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键7（2021贵州黔南）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运
32、用到的数学原理是（）A两点之间，线段最短B两点确定一条直线C垂线段最短D过一点有且只有一条直线和已知直线平行【答案】B【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线故选B8（2021福建宁德）如图，点M在线段AB上，则下列条件不能确定M是AB中点的是（）ABM=ABBAM+BM=ABCAM=BMDAB=2AM【答案】B【分析】直接利用两点之间的距离定义结合线段中点的性质分别分析得出答案【详解】A、当BM=AB时，则M为AB的中点，故此选项错误，不符合题意；B、AM+BM=AB时，无法确定M为AB的中点，符合题意
33、；C、当AM=BM时，则M为AB的中点，故此选项错误，不符合题意；D、当AB=2AM时，则M为AB的中点，故此选项错误，不符合题意；故选B9（2020四川甘孜）直线上依次有A，B，C，D四个点，AD=7，AB=2，若AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，则BC的长为_【答案】2或2.5【分析】由AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，分BC=AB或BC=CD两种情况结合已知条件进行求解即可得.【详解】解：如图AB=2，AD=7，BD=BC+CD=AD-AB=5，AB，BC，CD可构成以BC为腰的等腰三角形，BC=AB或BC=CD，BC=2或BC=2.5，故答案为2或2.5.【点睛】本题考查了线段的和差，等腰三角形的概念，关键是根据等腰三角形的腰相等分两种情况进行讨论.
