1、17.5 一元二次方程的应用 第17章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）2.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点）导入新课问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？讲授新课平均变化率问题与一元二次方程 一填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是.如果保持这个下
2、降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.探究归纳 7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量 下降前的量 2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下
3、降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000(1x)2=4050，解方程，得 x1=0.1，x2=1.1.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为10.注意 下降率不可为负，且不大于1.例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950,整理方程，得 4x2+12x-7=0，解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.注意 增长率不可为负，但
4、可以超过1.方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？几何图形与一元二次方程 二例3 要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）27cm21cm分析:这本书的长宽之比 ：,正中央的矩形长宽之比 ：，上下边衬与左右边衬之比 ：.9927cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬
5、宽度之比为：11(279):(217)22aa99(3):7(3)9:7.aa77727cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm.依题意得 3(27 18)(21 14)27 21,4xx解方程得 63 3.4x故上下边衬的宽度为:63 391.8,4故左右边衬的宽度为:63 371.4.4方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得 27cm21cm39727 21,4xx解得 123 33 322xx，（舍去）.故上下边衬的宽度为:3 327 927 954 27
6、 321.8.224x 3 321 721 742 21 321.4.224x 故左右边衬的宽度为:主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨 例4 如图所示，在ABC中，C=90，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使PCQ的面积为9cm？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 解：若设点P
7、，Q出发xs后可使PCQ的面积为9cm整理，得 解得 x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使PCQ的面积为9cm.169,2xx22690,xx 例5：如图,在一块长为 92m,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？解：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(922x)m,宽(60-x)m.(92-2x)(60-x)=6885.解得 x1=105(舍去），x2=1.注意：结果应符合实际意义 答：水渠宽应挖1m.我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动
8、一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨 例6 一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少?分析：设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表：总费用/元 人数/人 每人费用/元 原来 现在 120 x120 x1202x 1202x 解：设原来这组学生的人数是x人，由题意得，1201203.2xx两边同乘x(x+2)，整理，得，x2+2x80=0.解这个方程，得，x1=-10，x2=8.经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不符合题意，所以取
9、x=8.答：原来这组学生是8人.解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是否为增根，还要考虑它是否符合题意.方法点拨 当堂练习1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为 .B2(1+x)+2(1+x)2=83.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如
10、图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmB 4.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得 系数化为1得，直接开平方得，则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200(1+x)2=8712(1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1,5.如图
11、1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为(32-x)米，列方程得(20-x)(32-x)=540，整理得 x2-52x+100=0，解得 x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图1图2能力提升 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分
12、率为x，由题意，得 5(1x)2=3.2，解得 x1=20%，x2=1.8（舍去）平均每次下调的百分率为20%.（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.20.95000=14400（元）；方案二所需费用为：3.250002005=15000（元），1440015000，小华选择方案一购买更优惠.课堂小结一元二次方程的应用 增长率 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.平均变化率问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系.其他类型问题
