1、专题四 功与能的综合拓展问题考点01 变力做功的计算【六大核心方法】1WPt若某个变力做功的功率恒定，则可用WPt求解该变力做的功。2微元累积法当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。力做的总功WFs路或WFs路。例如，物体在水平面上沿着半径为R的圆周运动一周的过程中，摩擦力做功Wmg2R。3图像法根据WFlcos(或WPt)，利用微元累积思想结合Fl图像(或Pt图像)，可得出另一种求变力做的功的方法图像法。若已知Fx图像和Pt图像，则图像与x轴或t轴所围的面积表示功，如图甲所示，在位移x0
2、内力F做的功Wx0(力与位移同向)。在图乙中，0t0时间内做功Wt0。4平均值法当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力，由Wlcos求功。如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功Wxxkx2(这就是弹簧弹性势能的表达式)。若功率P随时间均匀变化，也可用类似的方法计算变力的功。5动能定理法变力做的功还可以根据动能定理间接求解，即根据W恒W变Ek间接求出W变。这是经常用到的一种方法。6转化法若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。如图所示，绳子拉物体的力的大小、方向均不断变化，根据功能关系，该力做的功可用作用于绳子末端
3、的力F做的功间接计算。【典例1】如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力F随位移x变化的情况如图乙所示，运动4 m后撤去推力F，物体与地面间的动摩擦因数为0.5，g取10 m/s2，则()A全程克服摩擦力做功100 JB运动过程中推力做的功为200 JC物体在运动过程中的加速度一直减小D因推力是变力，无法确定推力做的功【答案】B【解析】Fx图线与横轴所围图形的面积表示推力做的功，则WF4 J200 J，对整个过程根据动能定理有WFWf00，则全程克服摩擦力做功WfWF200 J，B正确，A、D错误；物体受到的滑动摩擦力Ffmg20 N，当推力大于20 N时，物体做加速度减
4、小的加速运动，当推力减小到20 N时，加速度为零，当推力小于20 N时，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动直至停止，C错误。【强化训练1】(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30和60，A、B间的水平距离为4m，则()AA位置船速大小为m/sBB位置船速大小为2m/sC船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功为20JD船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功为40(1)J【答案】BD【解析】绳端速度为v1 m/s，根据运动的合成与分解，可得A位置船
5、速大小为vA m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功等于人的拉力做的功，即WF(2cos30)10 J40(1) J，故C错误，D正确。模型规律总结求变力的功的方法中，微元累积法、图像法以及平均值法，都是从微元累积思维的角度分析求解，转换法和动能定理法则是从逆向思维的角度分析求解。在某些涉及变力做功的问题中，用单一的方法无法求解，这时经常以动能定理为桥梁求相关量。例如，在机车恒定功率启动问题中，根据Ptfxmv2，可以求解速度达到v时阻力作用的距离x(或者牵引力作用的时间t)。考点02 功能关系的综合问题【核心方法】1功
6、与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，做了多少功，就有多少能量发生转化。2常见的功能关系功能量变化功能关系式重力做的功WGGh重力势能的变化EpEp2Ep1WGEp弹簧弹力做的功W弹F弹x弹簧弹性势能的变化EpEp2Ep1W弹Ep合力做的功W合F合x动能的变化EkEk2Ek1W合Ek除重力、系统内弹力以外的其他力做的功W其他F其他x机械能的变化EE2E1W其他E两物体间滑动摩擦力对物体系统做功系统内能增加，产生热量Ffx相对Q(注：x相对表示相对路程，而不是相对位移)3.功能关系在图像中的应用根据功能关系可知：(1)重力势能与高度的Eph关系图像的斜率
7、为G。(2)弹簧弹性势能与形变量的Epx关系图像的斜率为F弹。(3)动能与位移的Ekx关系图像的斜率为F合。(4)机械能与位移的Ex关系图像的斜率为F其他。【典例2】如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动。重力加速度大小为g。小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为()A2mgR B4mgRC5mgR D6mgR【答案】C【解析】小球始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，机械能的增量E机W水平外力，机械能的增量等于水平外力在从a点开
8、始运动到其轨迹最高点过程做的功。设小球运动到c点的速度为vc，由动能定理有：F3RmgRmv，解得：vc2。小球运动到c点后，根据小球受力情况，可分解为水平方向初速度为零的匀加速运动，加速度为axg，竖直方向的竖直上抛运动加速度也为g，小球上升至最高点时，竖直方向速度减小为零，时间为t，水平方向的位移为：xaxt2g22R，综上所述小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为E机F(3Rx)5mgR，正确答案为C。【强化训练2】从地面竖直向上抛出一物体，其动能Ek随它离开地面的高度h的变化如图所示，重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得()A物体的质量为2kgB物体初速度大小为20m/
9、sC物体落地时速度大小为20m/sD物体受到空气阻力的大小为6N【答案】B【解析】物体上升高度h的过程，由动能定理有(mgFf)hEk，物体下降高度h的过程，由动能定理有(mgFf)hEk，可知Ekh图像斜率的绝对值表示物体所受合力的大小，由以上两式对照Ekh图像有mgFf N16 N，mgFf N4 N，联立两式解得m1 kg，Ff6 N，A错误，D正确；由图知，物体的初动能Ek0mv64 J，则物体初速度大小为v08 m/s，物体落地时的动能Ekmv216 J，则物体落地时速度大小为v4 m/s，B、C错误。模型规律总结功能关系适用于任何力做功的问题，应具备灵活运用功能关系的能力，后续课程
10、还会遇到静电力、分子力等做功的问题。考点03 功能关系、机械能守恒定律在连接体问题中的应用类型一：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。类型二：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度相等确定线速度v的大小。b“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物
11、体做功，单个物体机械能不守恒。对于杆和球组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。类型三：轻弹簧连接的物体系统(1)题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。(2)两点提醒对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。【典例3】(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑
12、轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是()A环到达B处时，环的速度大小是重物的倍B环从A到B过程中，环的机械能是减少的C环下降的最大高度为D环到达B处时，重物上升的高度为d【答案】BC【解析】对环到B点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，可知沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，由题图知45，即有v环cos45v绳v重物，解得v环v重物，所以环的速度大小是重物的倍，故A错误；环下滑过程中只有重力对系统做功，故系统机械能守恒，重物高度增加，速度增大，则重物的机械能增加，所以环的机械能减少，故B正确；环下降到最大高度h时，环和重物的速
13、度均为0，此时重物上升的高度为hmaxd，根据系统的机械能守恒有mgh2mghmax，联立解得hd，故C正确；根据几何关系知，环到达B处时，重物上升的高度hd(1)d，故D错误。【强化训练3】(多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在轻杆连接处固定质量为2m的小球A和质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是()AA球到达最低点时速度为BA球到达最低点时，B球速度为CA球到达最低点时，杆对A球做功为mgLD摆动过程中A球机械能守恒【答案】BC【解析】当A球到达最低点时，对系统由机械能守恒定律有(2mgmg)(2mm)v2，解得v ，即此时A、B两球的速度均为，A错误，B正确；当A球到达最低点时，设杆对A球做功为W，对A球由动能定理有2mgW2mv2，解得WmgL，C正确；摆动过程中，A、B组成的系统的机械能守恒，A球机械能不守恒，D错误。
