1、专题38 分式一、整体代入求值【典例】已知x+yxy，求代数式1x+1y-（1x）（1y）的值【解答】解：x+yxy，1x+1y-（1x）（1y）=y+xxy-（1xy+xy）=x+yxy-1+x+yxy11+00【巩固】先化简，再求值：(x2-3x-1-2)1x-1，其中x满足x22x30【解答】解：原式x2-3x-1-2(x-1)x-1（x1）=x2-3-2x+2x-1（x1）x22x1，x22x30，x22x3，原式312二、利用倒数求值【典例】已知aba+b=1，bcb+c=2，cac+a=3，则c的值等于（）A12B125C512D12【解答】解：aba+b=1，bcb+c=2，ca
2、c+a=3，a+bab=1，b+cbc=12，c+aca=13，1b+1a=1，1c+1b=12，1a+1c=13，1c+1b+1a+1c=12+13，1+2c=56，解得c12，故选：D【巩固】已知a，b，c为实数，且aba+b=13，aca+c=12，bcb+c=16，求abca+b+c的值【解答】解：aba+b=13，aca+c=12，bcb+c=16，a+bab=3，a+cac=2，b+cbc=6，1a+1b=3，1a+1c=2，1b+1c=6，1a+1b+1c=112，1a=112-6=-12，1b=112-2=72，1c=112-3=52，a2，b=27，c=25，abca+b+c
3、=423三、借助参数求值【典例】已知a，b，c为非零实数，且a+b+c0，若a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，则(a+b)(b+c)(c+a)abc等于（）A8B4C2D1【解答】解：a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，a+b-c+a-b+c-a+b+ca+b+c=1=a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，2ab+c，2ca+b，2ba+c，(a+b)(b+c)(c+a)abc=2c2a2babc=8，故选：A【巩固】已知a，b，c均为非零实数，设k=b+ca=c+ab=a+bc，则k的值为2或1【解答】解：k=b+ca=a+cb=a+bc，akb+c，bka+c，ck
4、a+b，可得（ab）kba，若ab，可得k=b-aa-b=-1，若ab，同理可得bc，ac，abc，k=a+aa=2，综上可得k的值为2或1巩固练习1已知aba+b=115，bcb+c=117，cac+a=116，则abcab+bc+ca的值是（）A121B122C123D124【解答】解：aba+b=115，1a+1b=15，bcb+c=117，1b+1c=17；cac+a=116，1a+1c=16，+得，2（1a+1b+1c）48，1a+1b+1c=24，则abcab+bc+ca=1ab+bc+acabc=11c+1a+1b=124，故选：D2当m=-16时，代数式21-5mm2-9-mm
5、2-9mm+3-m-3m+3的值是（）A1B-12C12D1【解答】解：21-5mm2-9-mm2-9mm+3-m-3m+3，=21-5mm2-9-m(m+3)(m-3)m+3m-m-3m+3，=21-5mm2-9-1m-3-m-3m+3，=21-5m(m+3)(m-3)-m+3(m+3)(m-3)-(m-3)(m-3)(m+3)(m-3)，=21-5m-m-3-m2+6m-9(m+3)(m-3)，=9-m2(m+3)(m-3)，=9-m2m2-9，1故选：A3已知a，b，c为正实数，x=a2b+3c，y=2b3c+a，z=3ca+2b，则x1+x+y1+y+z1+z的值为（）A1B32C2D
6、3【解答】解：当x=a2b+3c，y=2b3c+a，z=3ca+2b时，x1+x+y1+y+z1+z =a2b+3c1+a2b+3c+2b3c+a1+2b3c+a+3ca+2b1+3ca+2b =aa+2b+3c+2ba+2b+3c+3ca+2b+3c =a+2b+3ca+2b+3c 1，故选：A4计算a2-4a（a+1-5a-4a）的结果是（）Aa+2a-2Ba-2a+2C(a-2)(a+2)aDa+2a【解答】解：原式=a2-4aa(a+1)-(5a-4)a=(a+2)(a-2)aa2+a-5a+4a =(a+2)(a-2)aa(a-2)2 =a+2a-2，故选：A5设实数a，b，c满足a
7、+b+c3，a2+b2+c24，则b2+c22-a+c2+a22-b+a2+b22-c= 【解答】解：由a2+b2+c24，得到a2+b24c2，b2+c24a2，a2+c24b2，且a+b+c3，代入原式：b2+c22-a+c2+a22-b+a2+b22-c，=4-a22-a+4-b22-b+4-c22-c，2+a+2+b+2+c6+（a+b+c）6+39故答案为：96已知实数a，b，c满足abc1，a+b+c4，aa2-3a+1+bb2-3b+1+cc2-3c+1=49，求a2+b2+c2的值【解答】解：abc1，a+b+c4，a23a+1a23a+abca（a3+bc）a（bcbc+1）
8、a（b1）（c1），aa2-3a+1=aa(b-1)(c-1)=1(b-1)(c-1)，同理可得：bb2-3b+1=1(a-1)(c-1)，cc2-3c+1=1(a-1)(b-1)，又aa2-3a+1+bb2-3b+1+cc2-3c+1=49，1(b-1)(c-1)+1(a-1)(c-1)+1(a-1)(b-1)=49，(a+1)+(b+1)+(c+1)(a+1)(b+1)(c+1)=49，即49（a1）（b1）（c1）（a1）+（b1）+（c1），整理得：49（abcabacbc+a+b+c1）a+b+c3，将abc1，a+b+c4代入得：ab+bc+ac=74，则a2+b2+c2（a+b+
9、c）22（ab+bc+ac）=2527已知实数a，b，c满足a+b+c11，且1a+b+1b+c+1c+a=1317，求ab+c+bc+a+ca+b的值【解答】解a+b+c11，a11（b+c），b11（a+c），c11（a+b），ab+c+bc+a+ca+b=11b+c-b+cb+c+11c+a-c+ac+a+11a+b-a+ba+b =11b+c-1+11c+a-1+11a+b-1=11b+c+11c+a+11a+b-3，1a+b+1b+c+1c+a=1317，原式=1317113=14317-3=92178（1）已知3x=4y-z=5z+x，求5x-yy+2z；（2）化简aa2-4a+2
10、a2-3a-12-a并求值，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数（选择合适的任意值代入）【解答】解：（1）设3x=4y-z=5z+x=1k，则x3k，yz4k，z+x5k即y6k，z2k，原式=15k-6k6k+4k=9k10k=910；（2）原式=a(a+2)(a-2)a+2a(a-3)+1a-2=1(a-2)(a-3)+1a-2 =1+a-3(a-2)(a-3) =1a-3a与2，3构成三角形的三边，1a5，又a为整数，a30，a2，4当a2时，原式无意义；当a4时，原式19已知：axbycz1，求11+a4+11+b4+11+c4+11+x4+11+y4+11+z4的值【解答】解：
11、根据题意可得x=1a，y=1b，z=1c，11+a4+11+x4=11+a4+11+1a4=11+a4+a4a4+1=1，同理可得：11+b4+11+y4=1；11+c4+11+z4=1，11+a4+11+b4+11+c4+11+x4+11+y4+11+z4=310对于实数a，只有一个实数值x满足等式x+1x-1+x-1x+1+2x+a+2x2-1=0试求所有这样的实数a的值【解答】解：x+1x-1+x-1x+1+2x+a+2x2-1=0，去分母得：（x+1）2+（x1）2+2x+a+20，化简得：2x2+2x+a+40，对于实数a，只有一个实数值x满足方程，当442（a+4）0，且方程的解x1时，能满足题目要求，a3.5，此时方程的解为x=-12，当a3.5时，只有一个实数值x满足等式x+1x-1+x-1x+1+2x+a+2x2-1=0；当442（a+4）0时，方程有两个不相等的实数根，但有一个使分母为0，当x1时，2x2+2x+a+40变为2+2+a+40，a8，当x1时，2x2+2x+a+40变为22+a+40，a4，当a4或8时，只有一个实数值x满足等式x+1x-1+x-1x+1+2x+a+2x2-1=0；
