1、专题38 二次函数中的宽高模型 【模型展示】特点面积处理之“宽高模型”如图，试探究ABC面积.如图1，过点C（定点）作CDx轴交AB于点D，则SABC=SACD+SBCD 图1 图2如图2，过点B作BFCD于点F，过点A作AECD于点E，过点A作AGx轴于点G，则SABC=SACD+SBCD=CDAE+CDBF=CD（AE+BF）=CDOG说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为ABC的水平宽，CD可称为ABC的铅垂高，即SABC=水平宽铅垂高，可称为“宽高公式”结论SABC=水平宽铅垂高【模型证明】解决方案1、如图3，过点A作ADx轴交BC的延长线于点D，则SABC=SAB
2、D-SACD图3图4如图4，过点B作BHAD交于点H，则SABC=SABD-SACD=ADBH-ADCG=AD（BH-CG）=ADOC说明：OC是ABC的水平宽，AD是ABC的铅垂高.2、如图5，过点B作BDy轴交AC于点D，则SABC=SABD+SBCD图5图6如图6，过点C作CHBD于点H，过点A作AGx轴于点G，交BD的延长线于点E，则SABC=SABD+SBCD=BDAE+BDCH=BD（AE+CH）=BDAG说明：BD是ABC的水平宽，AG是ABC的铅垂高.3、如图7，过点A作AEy轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则SABC=SACD-SABD图7图8如图8，过点C作CFA
3、D交于点F，则SABC=SACD-SABD=ADCF-ADBE=AD（CF-BE）=ADOB说明：AD是ABC的水平宽，OB是ABC的铅垂高.反思总结无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美.【题型演练】1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若PAC面积为3，求点P的坐标；2、 在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”
4、，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m0，n0若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围3、如图所示，在平
5、面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点求ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；若tanAED=，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90至PQ，点Q是点O的对应点当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于 （直接写出答案）4（2020浙江杭州九年级专题练习）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，顶点坐标为则与的面积之比是（）ABCD5、如图，已知抛物线与轴交于A、
6、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标;（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由6、如图,在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；
7、在抛物线上是否存在一点P，使EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.7、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.8、如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于
8、点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.图-2xCOyABD119、如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
