1、专题37 反比例函数有关面积问题【模型展示】特点过双曲线上任意一点作 x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值；设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形 PMON 的面积为。结论矩形 PMON 的面积为【模型证明】解决方案1、在直角三角形ABO中，面积2、在直角三角形ACB中，面积为； 推论：如果两个函数的图像都关于原点对称，且它们有交点，那么它们的交点坐标也关于原点对称。如图，正比例函数与反比例函数的图像都关于原点对称，那么它们的交点A、B也关于原点对称，即设，则3、在三角形AMB中，面积为。4、三角形的两个顶点在同一
2、象限的双曲线上，面积为两点与x轴的垂线围成的梯形的面积。【题型演练】一、单选题1（2022山东济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，点A是函数y=图象上一点，AB垂直x轴于点B，若=4，则k的值为（）A4B8C4D82（2022河北邢台三中九年级期中）如图，点是反比例函数（，）的图像上任意一点，过点作轴，垂足为若的面积等于3，则的值等于（）AB6CD33（2022辽宁大连市第九中学九年级阶段练习）如图，矩形的顶点A在反比例函数的图象上，则矩形的面积等于（）A8B6C4D24（2022吉林长春博硕学校九年级阶段练习）如图，正方形和正方形的顶点B、E在双曲线上，连接，则的值为（）A2B2.
3、5C3D3.55（2022山东烟台九年级期中）如图，已知双曲线经过斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为，则的面积为（）AB6C9D106（2022河南省实验中学九年级期中）如图，、是函数的图象上关于原点对称的任意两点，轴，轴，的面积记为，则（）ABCD7（2022新疆乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，A，B是函数y=（m0）的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积记为S，则（）ABCD8（2022山东临淄区淄江中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y（x0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OBAC40，则k的
4、值为（）A12B12C24D249（2022山东临淄区淄江中学九年级阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积差为（）A32B16C8D410（2022安徽利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，过反比例函数y（x0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，AOE与梯形ECDB的面积分别为、，比较它们的大小，可得（）ABCD大小关系不能确定11（2022河北保定师范附属学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一点，且点在第一象限，过点作轴于点，作轴于点 若四边形的面积为6
5、，则的值为（）A3BC6D12（2022辽宁沈阳市第七中学九年级阶段练习）如图，点P为反比例函数上的一个动点，PDx轴于点D如果POD的面积为1，则一次函数的图象为（）ABCD13（2022江苏江阴市长泾第二中学九年级阶段练习）如图，双曲线经过斜边上的点，与直角边相交于点，已知，的面积为5，则的值是（）A12B24C5D10二、填空题14（2022湖南邵阳九年级期中）如图，点M是反比例函数图象上的一点，轴于点N，若，那么k的值是_15（2022安徽合肥市第四十五中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图象于B，C两点，若的面积是3，则k的值为_；16（20
6、22山西临县第四中学校九年级阶段练习）如图，为反比例函数上一点，延长至，使得，过作轴垂线交反比例函数图象于点，若，则_；17（2022山东济南九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为_18（2022浙江诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图所示，点是x轴正半轴上一动点，以为斜边作等腰，直角顶点A在第一象限反比例函数图象交于点C，交于D，若，求_19（2022江苏淮安市淮安区教师发展中心学科研训处一模）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为_三、
7、解答题20（2022湖南新田县云梯学校九年级阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：(3)求的面积21（2022江苏苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，ACx轴，垂足为C，直线与x轴交于点D若的面积为1，(1)求k的值；(2)若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式；(3)在（2）条件下，直接写出当x为何值时？22（2022湖南新田县教研室九年级期中）如图，一次函数与反比例函数，的图象交于，两点，轴于点，轴于点C(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出时的
8、的取值范围；(3)求的面积23（2022湖南湘潭县景泉中学九年级阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，过点A作轴，垂足为C，且(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若，是函数图象上的两点，且，写出实数p的取值范围24（2022江西寻乌县教育局教学研究室三模）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标是轴于点A，点B在反比例函数的图象上，将向右平移，得到交双曲线于点(1)求的值；(2)求出向右平移到的距离；(3)连接，求的面积25（2022新疆乌鲁木齐市第70中九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过的中点C交于点D，连结CD若的面积是，则k的值是_26（2022安徽淮北市第二中学九年级阶段练习）如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于A（1，m），B（3，n）两点，过点A作AC垂直于x轴于点C， (1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)当时，求x的取值范围27（2021河南开封九年级期中）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为5cm和2cm，直尺的宽度为2cm，=2cm，经过A，C两点的直线解析式为（注：平面直角坐标系内一个单位长度为1cm）(1)求双曲线的解析式和点C的坐标；(2)求的面积；(3)请直接写出关于x的不等式的解集
