1、第4讲圆周运动中的临界问题1.有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,通常表明题述的过程中存在着临界点。2.若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,通常表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。3.若题目有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,通常表明题述的过程中存在着极值,这些极值点也往往是临界点。1.(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处()A.路面外侧高内侧低B.车速只要低于vc,车辆便会向内侧滑动C.车速虽然高于vc,但只要不超出某一最
2、高限度,车辆便不会向外侧滑动D.当路面结冰时,与未结冰时相比,vc的值变小答案AC汽车在公路转弯处做圆周运动,需要外力提供向心力,当汽车行驶的速率为vc时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,即没有指向公路两侧的摩擦力,此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提供,故路面外侧高内侧低,选项A正确;当车速低于vc时,车所需向心力mv2r减小,车可能只是具有向内侧滑动的趋势,不一定能够滑动,选项B错误;同理,当车速高于vc,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,vc值不变,D错误
3、。2.如图所示,已知mA=2mB=3mC,它们距转轴距离的关系是rA=rC=12rB,三物体与转盘表面的动摩擦因数相同,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当转盘的转速逐渐增大时()A.物体A先滑动B.物体B先滑动C.物体C先滑动D.B与C同时开始滑动答案B当静摩擦力达到最大静摩擦力时,角速度达到最大值,由mg=mr2得=gr,B的半径最大,则B的临界角速度最小,所以B先滑动。3.(多选)如图所示,用轻质细绳拴着质量为m的小球,在竖直面内做圆周运动,圆周半径为R,重力加速度为g,则下列说法正确的是()A.小球过最高点时,绳子张力可以为零B.小球过最高点时的最小速度为零C.小球刚好过最高点时的速度是R
4、gD.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反答案AC小球过最高点时的临界速度满足mg=mv2r,得v=gR,此时绳中张力为零,小球过最高点时绳子对小球的作用力不可能与球所受重力方向相反,故答案为A、C。考点一水平圆周运动中的临界问题1.做圆周运动的物体,当合外力消失时,它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出去;2.当合外力突然减小为某一个值时,物体将会在切线方向与圆周之间做离心运动。1-1(多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。若圆
5、盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是()A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.=kg2l是b开始滑动的临界角速度D.当=2kg3l时,a所受摩擦力的大小为kmg答案AC设木块滑动的临界角速度为,则有kmg=m2r,所以 =kgr,又ra=l,rb=2l,所以ab,A、C项正确;摩擦力充当向心力,在角速度相等时,b受的摩擦力大,B项错误;=2kg3l时,a受的摩擦力fa=m2r=m2kg3l2l=23kmg,D项错误。1-2如图所示,轻质细绳一端系着质量m=0.6 kg的物体A,静止在水平面上,另一端通过光滑的小孔吊着质量m=0.3 kg
6、 的物体B,A的重心与圆孔的距离为0.2 m,并知A和水平面间的最大静摩擦力为2 N。现使此平面绕中心轴线转动,问角速度在什么范围,B会处于静止状态。(取g=10 m/s2,结果保留小数点后一位)答案2.9 rad/s6.5 rad/s解析要使B静止,A也应与平面相对静止,而A与平面相对静止时有两个临界状态当为所求范围最小值时,A有向着圆心运动的趋势,水平面对A的静摩擦力的方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2 N此时,对A运用牛顿第二定律有T-fmax=m12r,且T=mg解得12.9 rad/s当为所求范围最大值时,A有背离圆心运动的趋势,水平面对A的静摩擦力的方向指向圆心,大小还等于最大静
7、摩擦力2 N再对A运用牛顿第二定律,有T+fmax=m22r,且T=mg解得26.5 rad/s所以,题中所求的范围是2.9 rad/s6.5 rad/s。1-3如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为l的轻绳悬挂一质量为m的小球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为30。小球以速率v绕圆锥体轴线做水平匀速圆周运动。(1)当v1=gl6 时,求绳对小球的拉力;(2)当v2=3gl2 时,求绳对小球的拉力。答案(1)1+336mg(2)2mg解析如图所示,小球在锥面上运动,若支持力FN=0,小球只受重力mg和绳的拉力FT作用,合力沿水平面指向轴线。根据牛顿第二定律有mg
8、tan =mv02r=mv02lsin解得v0=3gl6(1)因为v1v0,所以小球与锥面脱离,设绳与竖直方向的夹角为,此时小球受力如图乙所示。根据牛顿第二定律有:FT sin =mv22lsinFT cos -mg=0解得FT=2mg考点二竖直面圆周运动中的临界问题竖直圆周运动中的“绳”“杆”模型轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由mg=mv临2r得v临=gr由小球恰能做圆周运动即可得v临=0讨论分析(1)过最高点时,vgr,FN+mg=mv2r,绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点,vgr,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v=0时,
9、FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心(2)当0vgr时,FN+mg=mv2r,FN指向圆心并随v的增大而增大2-1如图所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动。圆环半径为R,小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环,重力加速度为g,则其通过最高点时()A.小球对圆环的压力大小等于mgB.小球受到的向心力等于0C.小球的线速度大小等于gRD.小球的向心加速度大小等于2g答案C小球在最高点时刚好不脱离圆环,则圆环刚好对小球没有作用力,小球只受重力,重力(竖直向下)提供向心力,根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为a=mgm=g,再根据圆周运动规律知a=v2R,解得v=gR。2-2
10、如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,则下列说法正确的是()A.小球通过最高点时的最小速度vmin=g(R+r)B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球可能有作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力答案B小球沿管道上升到最高点时的速度可以为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球的重力在背离圆心方向的分力F的合力提供向心力,即FN-F=mv2R+r,因此,外侧管壁一定对球有作用力,而内侧管壁无作用
11、力,C错误;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,当经过最高点的速度大于gR,外侧管壁对球有作用力,当经过最高点的速度小于等于gR时,外侧管壁对球无作用力,D错误。A组基础巩固 1.如图所示,杂技演员在表演“水流星”,用长为1.6 m轻绳的一端,系一个总质量为0.5 kg的盛水容器,以绳的另一端为圆心,在竖直平面内做圆周运动,若“水流星”通过最高点时的速度为4 m/s,g取10 m/s2 ,则下列说法正确的是()A.“水流星”通过最高点时,有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时,绳的拉力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时,处于完全失重状
12、态,不受力的作用D.“水流星”通过最高点时,绳子的拉力大小为5 N答案B在最高点,当水对容器底部压力为零时有mg=mv2r,解得v=gr=4 m/s,即当“水流星”通过最高点的速度为4 m/s时,水对容器底部压力为零,不会从容器中流出,故A错误;对水和容器分析,有T+Mg=Mv2r,解得T=0,知此时绳子的拉力为零,故D错误,B正确;“水流星”通过最高点时,仅受重力,处于完全失重状态,故C错误。2.一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动,如图所示,重力加速度为g,则下列说法正确的是()A.小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零B.小球过最高点的最
13、小速度是gRC.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而增大D.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而减小答案A因轻杆可对小球产生向上的支持力,则知小球经过最高点的速度可以为零;当小球过最高点的速度v满足mg=mv2R时,杆所受到的弹力等于零,此时v=gR,A正确,B错误;若vgR,则在最高点杆对小球的作用力F2的方向竖直向下,mg+F2=mv2R,随v增大,F2增大,选项C、D错误。3.(多选)(2019海淀期中)如图所示,水平放置的转盘以角速度匀速转动,放在转盘上的质量为m的小物体跟着转盘一起做匀速圆周运动。已知物体距圆心O的距离为R。物体与转盘间的动摩擦因数为,重力加速度为
14、g。关于物体受到的摩擦力,下列说法正确的是()A.方向指向圆心B.方向与物体的瞬时速度方向相反C.大小一定为m2RD.大小一定为mg答案AC物体做匀速圆周运动,所受合外力提供向心力,方向指向圆心。物体受到的静摩擦力提供向心力,大小为m2R。4.如图所示,乘坐游乐园的翻滚过山车时,质量为m的人随车在竖直平面内旋转,重力加速度为g,下列说法正确的是()A.车在最高点时人处于倒坐状态,全靠保险带拉住,没有保险带,人就会掉下来B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力C.人在最低点时对座位的压力等于mgD.人在最低点时对座位的压力大于mg答案D人在最低点,受力分析,由向心力公式可得:F-mg=m
15、v2R,即F=mg+mv2Rmg,结合牛顿第三定律知,选项C错误,选项D正确;人在最高点,由向心力公式可得F+mg=mv2R,可知当v大于等于某一值时,满足F0,没有保险带,人也不会掉下来,选项A错误;若F0,人对座位能产生压力,压力随速度的增大而增大,大小可能等于mg,选项B错误。5.水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆光滑轨道bc相切,一小球以初速度v0沿直轨道向右运动,如图所示,小球进入半圆轨道后刚好能通过c点,然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点,则下列说法错误的是()A.小球到达c点的速度为gRB.小球到达b点时对轨道的压力为5mgC.小球在直轨道上的落点d与b点距离为2RD.小球
16、从c点落到d点所需时间为2Rg答案B小球在c点时由牛顿第二定律得mg=mvc2R,得vc=gR,A项正确;小球由b点运动到c点的过程中,由机械能守恒定律得12mvb2=2mgR+12mvc2,小球在b点,由牛顿第二定律得FN-mg=mvb2R,解得FN=6mg,再由牛顿第三定律可知B项错误;小球由c点开始做平抛运动,由平抛运动规律有x=vct,2R=12gt2,解得t=2Rg,x=2R,C、D项均正确。6.如图所示,置于圆形水平转台上的小物块随转台转动。若转台以某一角速度转动时,物块恰好与转台发生相对滑动。现测得小物块与转轴间的距离 l=0.50 m,小物块与转台间的动摩擦因数=0.20,设物
17、块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。(1)画出小物块随转台匀速转动过程中的受力示意图,并指出提供向心力的力;(2)求此时小物块的角速度。答案(1)见解析(2)2.0 rad/s解析(1)小物块随转台匀速转动过程中的受力情况如图所示,重力与支持力沿竖直方向,静摩擦力f指向轴心提供向心力。(2)小物块恰好与转台发生相对滑动,它所受的静摩擦力达到最大,即f=mg根据牛顿第二定律有f=m2l得=gl=2.0 rad/s7.某同学在模仿杂技演员表演“水流星”节目时,用不可伸长的轻绳系着盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动,当杯子运动到最高点时杯里的水恰好不流出来。已知绳长为L,杯子与水的
18、总质量为m,杯子可视为质点,忽略空气阻力的影响。重力加速度为g,求:(1)在最高点时杯子与水的速度大小v1;(2)在最低点时杯子与水的动能Ek2;(3)在最低点时轻绳所受的拉力大小。答案(1)gL(2)52mgL(3)6mg解析(1)在最高点时杯子与水运动的向心力由重力提供所以mg=mv12L 解得v1=gL(2)从最高点运动到最低点,仅重力做功由mg2L=Ek2-Ek1又Ek1=12mv12解得Ek2=52mgL(3)杯子与水在最低点时,向心力由绳的拉力和自身重力的合力提供由T-mg=mv22L又Ek2=12mv22解得T=6mg则轻绳所受的拉力T=T=6mgB组综合提能 1.如图所示,两个
19、可视为质点的相同的木块A和B放在转盘上,且木块A、B与转盘中心在同一条直线上,两木块用长为L的细绳连接,木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍,A放在距离转轴L处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。开始时,绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止转动,角速度缓慢增大,重力加速度为g,以下说法不正确的是()A.当2kg3L时,A、B会相对于转盘滑动B.当kg2L时,绳子一定有弹力C.在kg2L2kg3L范围内增大时,B所受摩擦力变大D.在02kg3L范围内增大时,A所受摩擦力一直变大答案C若木块A、B间没有细绳相连,随着的逐渐增大,由Ff=m2r可知木块B先出现相对滑动。木块A、B间
20、有细绳相连时,当木块B刚好要出现相对滑动,此时细绳的弹力为零,以木块B为研究对象可知kmg=m22L,则=kg2L。若木块A刚好要出现相对滑动,对于木块B有FT+kmg=m22L,对于木块A有kmg-FT=m2L,则= 2kg3L。综上所述可知,当0kg2L时,绳子没有弹力,木块A、B各自的摩擦力均随的增大而增大;当kg2L2kg3L时,木块A、B会相对于转盘滑动。故A、B、D正确,C错误。2.用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥顶上,如图甲所示。设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为,线的张力为FT,则FT随2的变化的图像是图乙中的()甲乙答案C小球角速度较小,未离开
21、锥面时,设线的张力为FT,线的长度为L,锥面对小球的支持力为FN,则有FT cos +FN sin =mg,FT sin -FN cos =m2L sin ,可得出:FT=mg cos +m2L sin2,可见随由0开始增加,FT由mg cos 开始随2的增大线性增大,当小球飘离锥面时,FT sin =m2L sin (其中为细线与竖直方向的夹角),得FT=m2L,可见FT随2的增大仍线性增大,但图线斜率增大了,综上所述,只有C正确。3.如图所示,一小物块被夹子夹紧,夹子通过轻绳悬挂在小环上,小环套在水平光滑细杆上。物块质量为M,到小环的距离为L,其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物
22、块以速度v向右匀速运动,小环碰到杆上的钉子P后立刻停止,物块向上摆动。整个过程中,物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计,重力加速度为g。下列说法正确的是()A.物块向右匀速运动时,绳中的张力等于2FB.小环碰到钉子P时,绳中的张力大于2FC.物块上升的最大高度为2v2gD.速度v不能超过(2F-Mg)LM答案D设夹子与物块间静摩擦力为f,匀速运动时,绳中张力T=Mg=2f,摆动时,物块没有在夹子中滑动,说明匀速运动过程中,夹子与物块间的静摩擦力没有达到最大值,A错;碰到钉子后,物块开始在竖直面内做圆周运动,在最低点,对整体T-Mg=Mv2L,对物块2f-Mg=Mv2L,所以T=2f,由
23、于fF,所以选项B错;由机械能守恒得,MgHmax=12Mv2,所以Hmax=v22g,选项C错;若保证物块不从夹子中滑落,应保证速度为最大值vm时,在最低点满足关系式2F-Mg=Mvm2L,所以vm=(2F-Mg)LM,选项D正确。4.小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所示。已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为34d,重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2;(2)问绳能承受的最大拉力
24、多大?(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?最大水平距离为多少?答案(1)2gd52gd(2)113mg(3)见解析解析(1)设绳断后球飞行时间为t,由平抛运动规律有,竖直方向d-34d=12gt2水平方向d=v1t联立解得v1=2gd由机械能守恒定律,有12mv22=12mv12+mgd-34d解得v2=52gd(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT,这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为R=34d由圆周运动向心力公式,有FT-mg=mv12R联立解得FT=113mg(3)设绳长为l,绳断时球的速度大小为v3,绳承受的最大拉力不变,有FT-mg=mv32l得v3=83gl绳断后球做平抛运动,竖直位移为d-l,水平位移为x,时间为t1有d-l=12gt12,x=v3t1解得x=4l(d-l)3当l=d2时,x有极大值xmax=233d
