1、专题33 与导数相关的极值、最值【方法点拨】1.极值问题转化为(二次)方程根的问题,为求某个表达式的范围,其难点在于消元、新元的范围.2.利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.【典型题示例】例1 (2022全国乙卷17)已知和分别是函数（且）的极小值点和极
2、大值点若，则a的取值范围是_【答案】【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，时，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，且满足时，时，求出函数与函数相切时a的值，结合图象即可得出答案.【解析】，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，当时，若时，当时，则此时，与前面矛盾，故不符合题意（如下图左立知）若时，设函数与函数的图象的切点为，则，得即，代入得，解得（不合题意，舍去），或此时，当增大时，函数与函数的图象有两个不同的交点（如上图右），又，所以，综上所述，的范围为.例2 已知在上恰有两个极值点，且，则的取值范围为（
3、）A. B. C. D.【答案】D【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数性质可得，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【解析】由题意得，令，得，由题意知在上有两个根，得由根与系数的关系得，由求根公式得，则，令，则设，则，易知在上单调递增，当时，函数为减函数，且，故选：D.点评：1.根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；2.将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.例3 已知，是函数，的两个极值点，若， 则的取值范围为 【答案】【分析】先由题得所以，化简
4、得=，再构造函数，利用导数求函数的值域即得解.【解析】（），是函数的两个极值点是两个根，由韦达定理得，且故，所以 令，则由，所以在单调递减，又当时， ，所以函数g(x)的值域为.即的取值范围为.点评：解决以极值为背景的范围问题，关键点有二，一是减元，二是构造函数，最终转化为区间上的最值问题.例4 已知函数(aR)的最小值为2，则实数的值是_. 【答案】或【解析】， 当a0时，是(0，)上的减函数， 函数无最小值，舍去； 当a0时，由得， 在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增， 函数的最小值为， 由，得， 解得或.【巩固训练】1. 设函数有两个极值，实数的取值范围是_. 2.若函数在和两处取
5、得极值，且，则实数a的取值范围是 3.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 4.已知函数（其中a为常数），设函数有两个极值点，若恒成立，求实数的取值范围5.已知函数f(x)ln xax2bx(其中a，b为常数且a0)在x1处取得极值，若f(x)在(0，e上的最大值为1，则a的值为 6.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是AB，CD，7. (2022全国乙卷17改编)已知和分别是函数（且）的极大值点和极小值点若，则a的取值范围是_【答案或提示】1.【答案】(，0)【解析】 ， 若函数有两个极值，则，解得， 故a的取值范围是(，0).2.【答案】 ，)【解析】函数在和
6、两处取得极值，且方程有两个根和，且考虑函数和的图象，利用导数，不难得到时，方程 有两个根进一步的，由构造函数，可知在区间上减，在区间上增，且，即，解之得，故综上得：实数a的取值范围是3.【答案】【解析】不难得出：，（下略）.4.【答案】 【解析】 ，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，易知则，故，要使恒成立，只需恒成立因为 令，则，当时，为减函数，所以由题意，要使恒成立，只需满足所以实数的取值范围5.【答案】a或a2【解析】因为f(x)ln xax2bx，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)2axb，因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值，所以f(1)12ab0，b2a1
7、f(x)(x0)，令f(x)0，得x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11.当a0，即0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)在区间(0，e上的最大值为f(1)，令f(1)1，解得a2.当a0，即x20时，若1，f(x)在，1，e上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在x或xe处取得，而flna2(2a1)ln10，令f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a.若1e，f(x)在区间(0,1)，上单调递增，在上单调递减，所以最大值可能在x1或xe处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，令f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，与1x2e矛盾若x2e，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以最大值可能在x1处取得，而f(1)ln 1a(2a1)0，矛盾综上所述，a或a2.6.【答案】【解析】求导得有两个零点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，在递减，在递增，显然在取得最小值，作的图象，并作的图象，注意到，（原定义域，这里为方便讨论，考虑，当时，直线与只有一个交点即只有一个零点（该零点值大于；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数有两个不同零点（其中一个零点等于，但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合故选：7.【答案】【提示】方法同例1.
