1、专题33 三角形的四心一、三角形的外心【学霸笔记】1.三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心。如图，设O是ABC的外心，则：（1）OA=OB=OC.（2）BOC=2BAC；AOC=2ABC；AOB=2ACB.【典例】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且CAD60，DCDE求证：（1）ABAF；（2）A为BEF的外心（即BEF外接圆的圆心）【解答】证明：（1）ABFADC120ACD120DEC120（60+ADE）60ADE，而F60ACF，因为ACFADE，所以ABFF，所以ABAF（2）四边形ABCD内接于圆，所以ABDACD，又DED
2、C，所以DCEDECAEB，所以ABDAEB，所以ABAEABAF，ABAFAE，即A是三角形BEF的外心【巩固】已知，如图，ABC内接于O，AB是直径，弦CEAB于点F，C是AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q，求证：点P是ACQ的外心二、三角形的内心【学霸笔记】三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心，如图，设I是ABC的内心，则：（1）I到三角形各边距离相等；（2）【典例】已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证：F为CDE的内心【解答】证明：如图，连DF，则由已知，CDFCAB45=12
3、CDE，DF为CDE的平分线，连BD、CF，由CDCB，知FBDCBD45CDB45FDB，得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线F是CDE上两条角平分线的交点，就是CDE的内心【巩固】已知M是ABC内一点，且BMC90+12BAC，又直线经过BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是ABC内切圆的圆心三、三角形的垂心【学霸笔记】三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心，如图，设H是ABC的垂心，则：（）AHBC,BHAC,CHAB.（2）A,F,H,E；B,D,H,F；C,E,H,D；B，C,E,F；C,A,F
4、,D；A,B,D,E共六组四点共圆。【典例】如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的O1和BCH的外接圆O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点【解答】证明：如图，延长AP交O2于点Q，连接AH，BD，QB，QC，QH因为AB为O1的直径，所以ADBBDQ90（5分）故BQ为O2的直径于是CQBC，BHHQ（10分）又因为点H为ABC的垂心，所以AHBC，BHAC所以AHCQ，ACHQ，四边形ACQH为平行四边形（15分）所以点P为CH的中点（20分）【巩固】如图，已知AB为O的弦，点M为AB的中点，P为O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆交O于C，D两点，AC，B
5、D交于点Q（1）求证：点Q是PAB的垂心；（2）判断点Q是否在P上，并证明你的结论四、三角形的重心【学霸笔记】三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图，设G是ABC的重心，则：（1）；（2）.【典例】如图，在ABC中，ACB90，AC6cm、BC8cm，点I为ABC的重心，HIBC于点H，求HI的长【解答】解：点I为ABC的重心，BI=23BD，CD=12AC3cmACB90，HIBC，ACBC，HIAC，BIHBDC，HICD=BIBD，HI3=23，HI2cm【巩固】证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍把条件改写一下：已知AD、BE为ABC的两高线，其交点为H，
6、OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O须证：AH2OM，BH2ON巩固练习1如图，是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心？（）AABDBBCDCACDDADE2如图，在RtABC中，ACB90，内切圆I切AC、BC于E、F，射线BI、AI交直线EF于点M、N，设SAIBS1，SMINS2，则S1S2的值为（）A32B2C52D33如图，O是ABC的外接圆的圆心，ABC60，BF，CE分别是AC，AB边上的高且交于点H，CE交O于M，D，G分别在边BC，AB上，且BDBH，BGBO，下列结论：ABOHBC；ABBC2BFBH；BM
7、BD；GBD为等边三角形，其中正确结论的序号是（）ABCD4三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心如图，H是ABC的垂心，AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于D、E、F，则H是DEF的（）A内心B外心C重心D垂心5已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1
8、、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在A1B1C1的外接圆上，则ABC等于 6如图，在ABC中，C90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于点E，若BC2，AC3，则AEEB 7如图，已知RtABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是ABC，ACD、BCD的角平分线的交点，求证：（1）O1OCO2；（2）OCO1O28锐角三角形ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：1AD+1BE+1CF=2R9我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比，面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是ABC的重心（如图），连结AO并延长交BC于点D，求证：AOAD=23；（2）若AD是ABC的一条中线（如图），O是AD上一点，且满足AOAD=23，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由10如图，ABC中，ABAC，A100，I是内心，BI的延长线交AC于点D，过A、B、D三点作O交BC于E点求证：BCBD+AD
