1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题31不等式历年联赛真题汇编1【2019高中数学联赛B卷(第02试)】设正实数a1,a2,a100满足aia101-i(i=1,2,50).记xk=kak+1a1+a2+ak(k=1,2,99).证明:x1x22x99991.2【2018高中数学联赛B卷(第02试)】设a、b是实数，函数f(x)=ax+b+9x，证明:存在x01,9，使得fx02.3【2017高中数学联赛B卷(第02试)】设实数a、b、c满足a+b+c=0.令d=maxa,b,c，证明:|(1+a)(1+b)(1+c)|1-d2.4【2014高中数学联赛(第02试
2、)】设实数a，b，c满足a+b+c=1，abc0.求证ab+bc+ca0).求证P0P1P0P2P0Pnd3n(n+1)!.7【2009高中数学联赛(第02试)】求证不等式：-1k=1nkk2+1-lnn12，n=1,2,.8【2005高中数学联赛(第02试)】设正数a，b，c，x，y，z满足cy+bz=a，az+cx=b，bx+ay=c.求函数f(x,y,z)=x21+x+y21+y+z21+z的最小值.9【2001高中数学联赛(第02试)】设xi0(i=1,2,3,n)且i=1nxi2+21k0，且abc=1.证明：2a2(1+a+ab)2+2b2(1+b+bc)2+2c2(1+c+ca)
3、2+9(1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ca)1.3设a1,a2,an为非负数，求证：a1+a2+an+a2+a3+an+a3+an+ana1+4a2+9a3+n2an.4已知正整数集合S=a1,a2,an满足对任意S1、S2S，且S1S2，有iS1iiS2j.试求a1+a2+an的最小值.5设正数x、y满足x3+y3x-y.求使x2y21恒成立的实数的最大值.6已知，x、y、z0.求f(x,y,z)=x2+y2+y2+4z2+z2+16x29x+3y+5z的最小值.7已知x、y、z1,2.证明1x+1y+1z+18x+y+z6(1y+z+1z+x+1x+y)，并指出等号成立的条件.8
4、设正整数n2,求f(n)的最大值，使得对所有满足xi(0,1)(i=1,2,n)，且(1-xi)(1-xj)14(1ijn)的实数x1,x2,xn均有i=1nxif(n)1ijn(2xixj+xixj).9在锐角ABC中，证明:(sinA+sinB+sinC)(1sinA+1sinB+1sinC)(1A+1B+1C).10求所有的正实数k，使得对于任意正实数a、b、c，均有ab+c+bc+a+kca+b2.11设x、y、z为非负实数，且x+y+z=1，证明：(x2+z2)yx+z+(y2+z2)xy+z+(x2+y2)zx+y1212若a、b、cR+，且满足a+b+c=2，证明：a+b2-ab
5、2，其中“”表示轮换对称和13已知函数f(x)满足f(0)=0，且对任意xR，f(2x)=sinx+f(x)证明：f(1)114已知a、b、c为非负实数，证明：a2+ab+b25a2+4ab，其中，“”表示轮换对称和15设a、b、c为互不相等的正数，证明：a2b+b2c+c2aa+b+c+4(a-b)2a+b+c16已知ABC三个内角分别为A、B、C.求22sinA+22sinB+sinC的最大值.17设f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-xn)，其中，x1,x2,xn-1,1.证明：对任意a(-1,0)，b(0,1)，有min|f(a)|,|f(b)|1.18已知实数a、b、c-1,1，且满足1+2abca2+b2+c2，证明：对任意的正整数n均有1+2(abc)na2n+b2n+c2n19设A=a1,a2,anZ+.对所有不同的子集B、CA，有xBxxCx.证明：1a1+1a2+1an12.
