1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题31三角形与新定义综合问题 【例1】（2022淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时canB容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30，若canB1，则B60（2）如图2，在ABC中，ABAC，canB，SABC48，求ABC的周长【分析】（1）根据定义，要求can30的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作ADBC，垂足为D，根据B30，可得：BDAB，再利用等腰三角形的
2、三线合一性质，求出BC即可解答，根据定义，canB1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得B60；（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作ADBC，垂足为D，canB，所以设BC8x，AB5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用SABC48，列出关于x的方程即可解答【解答】解：（1）如图：过点A作ADBC，垂足为D，ABAC，ADBC，BC2BD，B30，BDABcos30AB，BC2BDAB，can30，若canB1，canB1，BCAB，ABAC，ABBCAC，ABC是等边三角形，B60，故答案为：，60；（2）过点A作ADBC，垂足为D，ca
3、nB，设BC8x，AB5x，ABAC，ADBC，BDBC4x，AD3x，SABC48，BCAD48，8x3x48，x24，x2（负值舍去），x2，ABAC10，BC16，ABC的周长为36，答：ABC的周长为36【例2】（2022柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”如：在ABC，CDAB于点D，ABCD，则ABC为标准三角形【概念感知】判断：对的打“”，错的打“”（1）等腰直角三角形是标准三角形 （2）顶角为30的等腰三角形是标准三角形 【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 1：1：或：2【概念应用】（1）如图
4、，若ABC为标准三角形，CDAB于点D，ABCD1，求CA+CB的最小值（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；【概念理解】当ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC1：1：；当ABC是等腰三角形，ABAC，AEBC，AEBC，设BEx，则AE2x，求出ABx，则AB：AC：BC：2；【概念应用】（1）过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A，连接AB，当A、B、C三点共线时，AC+BCAB，此时AC+BC的值最小，求
5、出AB即可；（2）分两种情况讨论：当ACAB时，ACCD，过点B作BEAC交于E，设CDABa，则ACa，由等积法求出BEa，用勾股定理分别求出AD2a，BDa，BCa，则可求sinBCE；当BCAB时，BCDC，过点B作BEAC交于E，设CDABa，则BCa，由勾股定理分别求出BD2a，AD3a，ACa，再由等积法求出BEa，即可求sinBCE【解答】解：【概念感知】（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，ABAC，ABAC，等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：；（2）如图2，在等腰三角形ABC中，BAC30，ABAC，CDAB，A30，CDAC，CAAB，CDAB，ABC不是标准三角形；如
6、图3，在等腰三角形ABC中，BAC30，ABAC，AEBC，此时AEBC，ABC不是标准三角形；故答案为：；【概念理解】如图1，当ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC1：1：；如图4，当ABC是等腰三角形，ABAC，AEBC，AEBC，BEECBCAE，设BEx，则AE2x，在RtABE中，ABx，AB：AC：BC：2；故答案为：1：1：或：2；【概念应用】（1）如图5，过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A，连接AB，当A、B、C三点共线时，AC+BCAB，此时AC+BC的值最小，ABCD1，AA2，在RtABA中，AB，AC+BC的最小值为；（2）在ABC中，ABCD，A
7、BCD，ACCD，BCCD，ACAB，BCAB，ABC的最小角为ACB，如图6，当ACAB时，ACCD，过点B作BEAC交于E，设CDABa，则ACa，SABCABCDACBE，BEa，在RtACD中，AD2a，BDADABa，在RtBCD中，BCa，在RtBCE中，sinBCE；如图7，当BCAB时，BCDC，过点B作BEAC交于E，设CDABa，则BCa，在RtBCD中，BD2a，AD3a，在RtACD中，ACa，SABCABCDACBE，BEa，在RtBCE中，sinBCE；综上所述：最小角的正弦值为或.【例3】（2020五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，
8、发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，AMBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BCa，ACb，ABc【特例探究】（1）如图1，当PAB45，c时，a4，b4；如图2，当PAB30，c2时，a2+b220；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】（3）如图4，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD3AE，BC3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD3，AB3
9、，求AF的长【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出PA、PB，根据三角形中位线定理得到MNAB，根据相似三角形的性质分别求出PM、PN，根据勾股定理计算即可；（2）连接MN，设PNx，PMy，利用勾股定理分别用x、y表示出a、b、c，得到答案；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，证明ABF为“中垂三角形”，根据（2）中结论计算即可【解答】解：（1）在RtAPB中，PAB45，c，则PAPBc4，M、N分别为CB、CA的中点，MNAB2，MNAB，APBMPN，PMPN2，BM2，a2BM4，同理：b2AN4，如图2，连接MN，在RtAPB中，PAB30，c2，PB
10、c1，PA，PN，PM，BM，AN，a，b，a2+b220，故答案为：4；4；20；（2）a2+b25c2，理由如下：如图3，连接MN，设PNx，PMy，则PB2PN2x，PA2PM2y，BM，AN，a2，b2，a2+b220（x2+y2），c2PA2+PB24（x2+y2），a2+b25c2；（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，ADBC，AHPBHF，1，APBF，AD3AE，BC3BF，AD3，AEBF，PEFC，四边形PFCE为平行四边形，BECE，BGFH，AEBF，AEBF，AGGF，ABF为“中垂三角形”，AB2+AF25
11、BF2，即32+AF25（）2，解得：AF4【例4】（2020岳麓区校级二模）定义：在ABC中，若有两条中线互相垂直，则称ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做ABC的方周长，记作L，即LAB2+BC2+CA2（1）如图1，已知ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若ACBC，求证：AOB是等腰直角三角形；（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AEBD于点O，试探究ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，已知抛物线y与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的直线与该抛物线相交于点C，与x
12、轴负半轴相交于点D，且BDCD，连接AC交y轴于点E求证：ABC是中垂三角形；若ABC为直角三角形，求ABC的方周长L的值【分析】（1）先利用“SAS“证明BADABE，然后根据ABC是中垂三角形即可证明；（2）先判断出AC2AD，BC2BE，再利用勾股定理，即可得出结论；（3）利用二次函数先求出点B、点A和点C的坐标，然后根据点A和点C的坐标确定E是AC的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；先由点A（4，0），B（0，2a），C（4，2a）的坐标得到kABa，kACa，kBCa，然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可【解答】（1）证明：ACBC，BD，AE分别是AC
13、，BC边上的中线，ADBE，BADABE，BADABE（SAS），ABDBAE，OAOBABC是中垂三角形，且ACBC，AOB90，AOB是等腰直角三角形（2）L6AB2证明：如图，连接DEAE，BD分别是边BC，AC上的中线，AC2AD，BC2BE，DEAB，AC24AD2，BC24BE2，DE2AB2在RtAOD中，AD2OA2+OD2，在RtBOE中，BE2OB2+OE2，AC2+BC24（AD2+BE2）4（OA2+OD2+OB2+OE2）4（AB2+DE2）4（AB2+AB2）5AB2，LAB2+AC2+BC2AB2+5AB26AB2（3）证明：在y中，当x0时，y2a，点B（0，2
14、a）y0时，0，整理得3x24x320，解得x1（舍），x24，点A（4，0）BDCD，yCyB2a，将y2a代人y，解得x1（舍），x24，C（4，2a）由点A（4，0），C（4，2a）可知，E是AC的中点又BDCD，AD，BE都是ABC的中线又AOB90，ADBE，ABC是中垂三角形解法一：由点A（4，0），B（0，2a），C（4，2a）可得kABa，kACa，kBCa，CAOB，C90当ABC90时，kABkBC1，解得a（负值舍去），点B（0，2），L6AB2624144当BAC90时，kABkCA1，解得a2（负值舍去），点B（0，4），L6AB2648288综上所述，ABC的方周长
15、L的值为144或288解法二：由点A（4，0），B（0，2a），C（4，2a），点D是BC的中点，点E是AC的中点，点D（2，0），E（0，a）CAOB，C90当ABC90时，在ABD 中，由射影定理得OB2OAOD，4a28，解得（负值舍去），点B（0，2），L6AB2624144当BAC90时，在ABE中，由射影定理得OA2OBOE，162a2，解得a2（负值舍去），点B（0，4），L6AB2648288综上所述，ABC的方周长L的值为144或288【例5】（2020安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角
16、的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图（1）在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时canB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30；（2）如图（2），已知在ABC中，ABAC，canB，SABC24，求ABC的周长【分析】（1）过点A作ADBC于点D，根据B30，可得出BDAB，结合等腰三角形的性质可得出BCAB，继而得出canB；（2）过点A作AEBC于点E，根据canB，设BC8x，AB5x，再由SABC24，可得出x的值
17、，继而求出周长【解答】解：（1）过点A作ADBC于点D，B30，cosB，BDAB，ABC是等腰三角形，BC2BDAB，故can30；（2）过点A作AEBC于点E，canB，则可设BC8x，AB5x，AE3x，SABC24，BCAE12x224，解得：x，故ABAC5，BC8，从而可得ABC的周长为18一解答题（共20题）1（2022秋如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 （只填写序号）顶角是30的等腰三角形；等腰直角三角形；有一个角是30的直角三角形（2）如图1，在ABC中，ABAC，BAC90，将ABC沿边AB所在
18、的直线翻折180得到ABD，延长DA到点E，连接BE若BCBE，求证：ABE是“倍角三角形”；点P在线段AE上，连接BP若C30，BP分ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出E的度数【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断可求解；（2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求BAE2ADB，由等腰三角形的性质可得BDEE，可得结论；分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解【解答】（1）解：若顶角是30的等腰三角形，两个底角分别为75，75，顶角是30的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，三个角分别为45，45，90，9024
19、5，等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一个是30的直角三角形，另两个角分别为60，90，60230，有一个30的直角三角形是“倍角三角形”，故答案为：；（2）证明：ABAC，ABCACB，将ABC沿边AB所在的直线翻折180得到ABD，ABCABD，ACBADB，BCBD，BAE2ADB，BEBC，BDBE，EADB，BAE2E，ABE是“倍角三角形”；解：由可得BAE2BDA2C60，如图，若ABP是等腰三角形，则BPE是“倍角三角形”，ABP是等边三角形，APB60，BPE120，BPE是“倍角三角形”，BEP2EBP或PBE2BEP，BEP20或40；若BPE是等腰三角形，则ABP是“
20、倍角三角形”，ABPBAP30或APBBAE30或ABP2APB或APB2ABP，APB90或30或40或80，BPE90或150或140或100，BPE是等腰三角形，BEP45或15或20或40，综上所述：BPE的度数为45或15或20或402（2022秋义乌市校级月考）【概念认识】如图所示，在ABC中，若ABDDBEEBC，则BD，BE叫做ABC的“三分线”，其中，BD是“邻AB三分线“，BE是“邻BC三分线”【问题解决】（1）如图所示在ABC中A80，ABC45若ABC的三分线BD交AC于点D求BDC的度数（2）如图所示，在ABC中BP，CP分别是ABC的邻BC三分线和ACB的邻BC三分
21、线，且BPC140求A的度数【延伸推广】（3）在ABC中，ACD是ABC的外角，ABC的三分线所在的直线与ACD的三分线所在的直线交于点P，若Am（m54），ABC54求出BPC的度数（用含m的式子表示）【分析】（1）分BD是邻AB的三分线和BD是邻BC的三分线两种情况解答即可；（2）由BPC140，得PBC+PCB40，故ABC+ACB40，可得ABC+ACB120，从而A60；（3）分四种情况分别解答即可【解答】解：（1）当BD是“邻AB三分线”时，ABDABC15，则BDCABD+A15+8095，当BD是“邻BC三分线”时，ABDABC30，则BDCABD+A30+80110，综上所述
22、，BDC的度数为95或110；（2）BPC140，PBC+PCB40，BP，CP分别是ABC的邻BC三分线和ACB的邻BC三分线，PBCABC，PCBACB，ABC+ACB40，ABC+ACB120，A60；（3）如图：Am，ABC54，ACD（m+54），当BP是邻AB的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，PBCABC36，PCDACD（m+36），BPCPCDPBCm；当BP是邻AB的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，PBCABC36，PCDACD（m+18），BPCPCDPBC（m18）；当BP是邻BC的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，PBCABC18，PCDACD（m+36），B
23、PCPCDPBC（m+18）；当BP是邻BC的三等分线，AP是邻CD的三等分线时，PBCABC18，PCDACD（m+18），BPCPCDPBCm；综上所述，BPC度数为m或m18或m+18或m3（2022春石嘴山校级期末）问题情境我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1x2，则ABy轴，且线段AB的长度为|y1y2|；若y1y2，则ABx轴，且线段AB的长度为|x1x2|拓展现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M（x1，y1）、N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）|x1x2|+|y1y2|例如：图中，点M（1，1）与点N（1，2
24、）之间的折线距离d（M，N）|11|+|1（2）|2+35，应用解决下列问题：（1）已知点E（3，2），点F（12），求d（E，F）的值；（2）已知点E（3，1），H（1，n），若d（E，H）6，求n的值；（3）已知点P（3，4），点Q在y轴上，O为坐标系原点，且OPQ的面积是4.5，求d（P，Q）的值【分析】（1）根据折线距离为d（M，N）|x1x2|+|y1y2|计算即可；（2）根据折线距离为d（M，N）|x1x2|+|y1y2|，构建方程求解即可；（3）设Q（0，m），利用三角形的面积公式求出m的值，再根据折线距离为d（M，N）|x1x2|+|y1y2|计算即可求解【解答】解：（1）点E
25、（3，2），点F（1，2），d（E，F）|31|+|2（2）|6；（2）E（3，1），H（1，n），d（E，H）6，d（E，H）|3（1）|+|1n|6，解得：n1 或3；（3）如图，设Q（0，m）由题意，|m|24.5，解得m3，Q（0，3）或（0，3），当Q（0，3）时，d（P，Q）|30|+|43|4，当Q（0，3）时，d（P，Q）|30|+|4（3）|10，d（P，Q）4或104（2022春镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”例如：在ABC中，A70，B35，则A与B互为“开心角”，ABC为“开心三角形
26、”【理解】（1）若ABC为开心三角形，A144，则这个三角形中最小的内角为 12；（2）若ABC为开心三角形，A70，则这个三角形中最小的内角为 35或；（3）已知A是开心ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AD平分ABC的内角BAC，交BC于点E，CD平分ABC的外角BCF，延长BA和DC交于点P，已知P30，若BAE是开心ABE中的一个开心角，设BAE，求的度数【分析】（1）设最小角为，由题意可得+236，求出即为所求；（2）当A是“开心角”，则最小角为35；当A不是“开心角”，设最小角为，+2110，（）；（3）三角形另一个开心角是2
27、A，第三个内角是1803A，再由A1803A，可得A45；【应用】由题意可得PAC1802，设PCAx，则x230，AEB2403，ABE260，分两种情况讨论：当BAE与ABE互为开心角时，BAEABE或BAE2ABE，求得40；当BAE与AEB互为开心角，BAEAEB或BAE2AEB（舍），求得48【解答】解：（1）设最小角为，ABC为开心三角形，A144，+218014436，12，故答案为：12；（2）当A是“开心角”，则最小角为35；当A不是“开心角”，设最小角为，+218070110，（），故答案为：35或；（3）A是开心ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，另一个开心角是2
28、A，第三个内角是1803A，A是最小内角，A1803A，A45；【应用】AD平分ABC的内角BAC，CAEBAE，PAC1802，设PCAx，CD平分ABC的外角DCF，BCDCDFx，ACB1802x，P30，1802+x150，x230，AEB+1802x2403，ABE180（2403）260，当BAE与ABE互为开心角时，BAEABE或BAE2ABE，（260）或2（260），解得40；当BAE与AEB互为开心角，BAEAEB或BAE2AEB，AEBEAC+ACE，EACBAE，BAE2AEB舍去，（2403），解得48，综上所述：40或485（2022春崇川区期末）定义：如果三角形的
29、两个内角与满足+2100，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”（1）如图1，ABC中，ACB80，BD平分ABC求证：ABD为“奇妙三角形”（2）若ABC为“奇妙三角形”，且C80求证：ABC是直角三角形；（3）如图2，ABC中，BD平分ABC，若ABD为“奇妙三角形”，且A40，直接写出C的度数【分析】（1）根据“奇妙三角形”的定义，在ABD中，A+2ABD100，即证明ABD为“奇妙三角形”（2）由三角形的内角和知，A+B100，由ABC为“奇妙三角形”得出C+2B100或C+2A100两种情况，计算得B90或A90，从而证明ABC是直角三角形（3）由三角形的内角和知，ADB+ABD14
30、0，由ABC为“奇妙三角形得出A+2ABD100或2A+ABD100两种情况，求得C80或100【解答】（1）证明：BD平分ABC，ABC2ABD在ABC中，ACB80，A+ABC180ACB18080100，即A+2ABD100，ABD为“奇妙三角形”（2）证明：在ABC中，C80，A+B100，ABC为“奇妙三角形”，C+2B100或C+2A100，B10或A10，当B10时，A90，ABC是直角三角形当A10时，B90，ABC是直角三角形由此证得，ABC是直角三角形（3）解：BD平分ABC，ABC2ABD，ABD为“奇妙三角形”，A+2ABD100或2A+ABD100，当A+2ABD10
31、0时，ABD（10040）230，ABC2ABD60，C80；当2A+ABD100时，ABD1002A20，ABC2ABD40，C100；综上得出：C的度数为80或1006（2022春亭湖区校级月考）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”如图1，ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2BDCD，则称点D是ABC中BC边上的“好点”（1）如图2，ABC的顶点是43网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所有“好点”点D；（2）ABC中，BC7，tanC1，点D是BC边上的“好点”，求
32、线段BD的长；（3）如图3，ABC是O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交O于点D若点H是BCD中CD边上的“好点”求证：OHAB；若OHBD，O的半径为r，且r3OH，求的值【分析】（1）直角三角形的“好点”是斜边的中点，作斜边上的高，垂足也为“好点”，即可得答案；（2）作AEBC，解斜ABC，设BDa，根据AD2DE2+AE2BDCD列方程求得；（3）由ACHDBH得，CHHDAHBH，结合BH2CHHD，得证；先确定AD是直径，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，从而求出比值【解答】解：（1）如图1，斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD的垂足D均为AB边长的“好点”（2）如图2
33、，作AEBC于E，在RtABE中，tanB，设AE3a，BE4a，tanC，CEAE3a，3a+4a7，a1，AECE3，BE4，AB5，设BDx，DE|4x|，在RtADE中，由勾股定理得，AD2DE2+AE2（4x）2+32，点D是BC边上的“好点”，AD2BDCDx（7x），x（7x）（4x）2+32，x15，x2，即BD5或（3）如图3，证明：点H是BCD中CD边上的“好点”，BH2CHHD，CABCBD，ACDABD，ACHDBH，CHHDAHBH，BH2AHBH，AHBH，OHAB；连接AD，设OHa，则OA3a，由知，OHAB，又OHBD，BDAB，ABD90，AD是O的直径，O
34、AOD3a，在RtAOH 中，由勾股定理得，AH，AHBH，OAOD，BD2a，在RtBDH中，由勾股定理得，DH，由BH2CHDH得：，CH，7（2021秋如皋市期末）【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线【理解运用】（1）如图1，在ABC中，ABAC，BAC120，试判断ABC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在ABC中，ABAC，D为BC的中点，M为ABC外一点，连接MB，MC，若ABC和MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求AMC的度数；（3）在（2
35、）的条件下，若MD，AM1，直接写出BM的长【分析】（1）根据半线三角形的定义进行判断即可；（2）过点A作ANAM交MC于点N，可证明MABNAC，则AMAN，所以三角形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；（3）在（2）的基础上可知，MBNC，AMAN1，在RtMBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2BC2，由此可得MB的长【解答】解：（1）ABC是半线三角形，理由如下：取BC得中点D，连接AD，ABAC，点D为BC的中点，ADBC，ABAC，BAC120，BC30，在RtABD中，B30，ADAB，ABC是半线三角形（2）过点A作ANAM交MC于点N，如图，MD为MBC的BC边的半线，MDB
36、CBDCD，DBMDMB，DMCDCM，BMC90，同理BAC90，又MOBAOC，MBAMCA，MANBAC90，MABNACABAC，MABNAC（ASA），AMAN，又MAN90，AMCANM45（3）由题意可知，BC2MD3，由（2）知MABNAC（ASA），MBNC，AMAN1，MN，在RtMBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2BC2，MB2+（+MB）232，解得，MB2（负值舍去）故MB的值为28（2021秋顺义区期末）我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度如图1，在ABC中，ABAC，的值为ABC的正度已知：在ABC中，ABAC，若D是ABC边上的动点（D
37、与A，B，C不重合）（1）若A90，则ABC的正度为 ；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰ACD，保留作图痕迹；若ACD的正度是，求A的度数（3）若A是钝角，如图2，ABC的正度为，ABC的周长为22，是否存在点D，使ACD具有正度？若存在，求出ACD的正度；若不存在，说明理由【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出答案；（2）作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E设ADx，AEx，求出ADx，则可得出ADE是等腰直角三角形，则可得出答案；（3）设AB3x，BC5x，则AC3x由三角形的周长求出x2，得出AB6，AC6，BC10，作AHBC于H，则BHC
38、H5，由勾股定理求出AH，分两种情况：当ADDC时，当ACDC6时，可求出答案【解答】解：（1）若A90，则ABC的正度为，故答案为：；（2）用尺规作出等腰ACD，如图1，作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点EADCD，DEAC，AC2AEACD的正度是，在RtADE中，设ADx，AEx，DEAEADE是等腰直角三角形A45（3）存在点D，使ACD具有正度ABC的正度为，ABC的周长为22，设AB3x，BC5x，则AC3xABC的周长为22，3x+5x+3x22x2AB6，AC6，BC10，作AHBC于H，则BHCH5，AH当ADDC时，如图2所示，设ADDCy，则HD5y，由AH2+HD2
39、AD2，得11+（5y）2y2解得y，即ADACD的正度为当ACDC6时，如图3所示，DHDCCH651，DAACD的正度为综上所述，ACD的正度为或9（2021秋丹阳市期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有1下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AGBC，交DF的延长线于点G，则有，1请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）如图（3），ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明
40、：1请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图（4），等边ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF2AF，CF与AD交于点E，则AE的长为 （3）如图（5），ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使CDBC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为 【分析】（1）过点C作CNXZ交AY于点N，根据平行线截线段成比例的知识解答即可；（2）根据梅涅劳斯定理进行推理；（3）根据梅涅劳斯定理得，1，则，由面积公式得SBCEFSBCF+SCEF，即可得出答案【解答】（1）证明：如答图1，过点C作CNXZ交AY于点N，则，故：1（2）解：如答图2，根据梅涅劳斯定理得：
41、1又BF2AF，2，DEAE在等边ABC中，AB2，点D为BC的中点，ADBC，BDCD1由勾股定理知：ADAE故答案是：；（3）解：DEF是ABC的梅氏线，由梅涅劳斯定理得，1，即1，则如答图3，连接FC，SBCFSABC，SCEFSABC，于是S四边形BCEFSBCF+SCEFSABC2故答案是：10（2021秋洪江市期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，A44，CD是ABC的完美分割
42、线，且ADCD，求ACB的度数；（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60，求证：CD为ABC的完美分割线；（3）如图3，ABC中，AC2，BC，CD是ABC的完美分割线，且ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出ACD44，再根据相似三角形的性质得到BCDA，计算即可；（2）根据三角形内角和定理得到ACB80，进而判断出ABC不是等腰三角形，根据角平分线的性质得到ACDBCD44，得到ACD为等腰三角形和BCDBAC，根据三角形的完美分割线证明结论；（3）根据题意求出AD，再根据BCDBAC，求出BD，再根据BCDBAC，求出
43、CD【解答】（1）解：ADCD，A44，ACDA44，CD是ABC的完美分割线，且ADCD，BCDBAC，BCDA44，ACBACD+BCD88；（2）证明：在ABC中，A40，B60，ACB180（A+B）80，ABC不是等腰三角形，CD平分ACB，ACDBCDACB40，ACDA40，ACD为等腰三角形，DCBA40，CBDABC，BCDBAC，CD是ABC的完美分割线；（3）解：ACD是以CD为底边的等腰三角形，ACAD，AC2，AD2，CD是ABC的完美分割线，BCDBAC，BC2BABD，设BDx，则ABAD+BD2+x，（）2x（x+2），x1，x0，x1，BD1，BCDBAC，即
44、，CD11（2021秋石景山区期末）在RtACB中，ACB90，CACB6，点P是线段CB上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线lCB交AB于点Q给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在ACB的边上，则称点M是ACB的关于直线l的“反称点”例如，图1中的点M是ACB的关于直线l的“反称点”（1）如图2，若CP1，点M1，M2，M3，M4在AC边上且AM11，AM22，AM34，AM46在点M1，M2，M3，M4中，是ACB的关于直线l的“反称点”为 M2、M4；（2）若点M是ACB的关于直线l的“反称点”，恰好使得ACN是等腰三角形，求AM的长；（3）存
45、在直线l及点M，使得点M是ACB的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围【分析】（1）由轴对称的性质得MNl，MNAC，得MN直线截ABC得到的含A的三角形是等腰直角三角形，则点N1在ABC的外部，同理点M2关于直线l对称N2，再证M1、M3不是ACB的关于直线l的“反称点”，M2、M4是ACB的关于直线l的“反称点”即可；（2）分三种情况，若AC为底边，ACN是等腰直角三角形；若AC为腰且A为顶角；若AC为腰且ACN为顶角，分别求出AM的长即可；（3）由（1）知，0AM6时，AM等于2倍的M到l的距离时，N点在AB边上，AM6时，M到l的距离小于等于3时，N点在BC边上，当M到l
46、的距离大于3时，N点在ABC的外部，即可得出结论【解答】解：（1）RtACB中，ACB90，CACB6，A45，点N与点M关于直线l对称，直线lCB，ACB90，MNl，MNAC，MN直线截ABC得到的含A的三角形是等腰直角三角形，MN直线与AB边的交点到点M的距离等于AM，AM11，AM22，AM34，AM46，CP1，点M1关于直线l对称N1，M1N12AM1，点N1在ABC的外部，同理，点M2关于直线l对称N2，M2N22AM2，点N2在ABC的AB边上，点M3关于直线l对称N3，M3N32AM3，点N3在ABC的内部，AM46，则点M4与点C重合，M4N42BC，点N4在ABC的BC边
47、上，M1、M3不是ACB的关于直线l的“反称点”，M2、M4是ACB的关于直线l的“反称点”，故答案为：M2、M4；（2）RtACB中，ACB90，CACB6，AB45，点N与点M关于直线l对称，直线lCB，ACB90，MNl，MNAC，MNBC，若ACN是等腰三角形，若AC为底边，ACN是等腰直角三角形，如图1所示：则CNAN，ANCA45，NCB904545，NCBB，CNBN，ANBN，N是AB的中点，MN是ABC的中位线，M是AC的中点，AM3；若AC为腰且A为顶角，如图2所示：则ANAC6，在RtAMN中，AMN90，A45，AMAN3；若AC为腰且ACN为顶角，则点N与点B重合，点
48、M与点C重合，如图3所示：AM6；综上所述，AM的长为3或或6；（3）由（1）知，0AM6时，AM等于2倍的M到l的距离时，N点在AB边上，AM6时，M到l的距离小于等于3时，N点在BC边上，当M到l的距离大于3时，N点在ABC的外部，CP等于M到l的距离，0CP312（2021秋鄞州区期末）【问题提出】如图1，ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即ADAEBDCE，则称DE是ABC的“友好分割”线段（1）如图1，若DE是ABC的“友好分割”线段，AD2CE，AB8，求AC的长；【发现证明】（2）如图2
49、，ABC中，点F在BC边上，FDAC交AB于D，FEAB交AC于E，连结DE，求证：DE是ABC的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，DE是ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画AGDE交ADE的外接圆于点G，连结GE，设x，y求y关于x的函数表达式；连结BG，CG，当y时，求的值【分析】（1）设AEx，利用“友好分割”线段的定义得到等积式，将已知条件代入等积式中化简求得AE，则ACAE+EC，结论可得；（2）利用平行线分线段成比例定理，通过等量代换即可得出结论；（3）过点C作CHBD交DF于点H，利用平行线分线段成比例定理，得到比例式，将两个等式左右分别
50、相乘，整理后将x，y代入即可得出结论；利用的结论可以得到；通过证明BDGGEC，利用相似三角形的性质得出结论【解答】（1）解：设AEx，DE是ABC的“友好分割”线段，ADAEBDECAD2CE，AB8，2ECAE（8AD）EC2x82ECx4EC，AE4ECACAE+EC4（2）证明：FDAC，FEAB，ADAEBDECDE是ABC的“友好分割”线段；（3）解：DE是ABC的“友好分割”线段，ADAEBDECx，x过点C作CHBD交DF于点H，如图，CHBD，x，y，yxyx2y关于x的函数表达式为：yx2；连接DG，如图，y，yx2，x0，x即AGDE，ADEGAEDG，ADEGEDBDF
51、GEF，GDEAEDAEDCEF，GDECEFBDF+GDEGEF+CEF即BDGGECDE是ABC的“友好分割”线段，ADAEBDECBDGGECEGAD，13（2021秋鼓楼区校级期末）定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足12，则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；定义2：如图2，在ABC中，PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，则称PQR为ABC的光线三角形阅读以上定义，并探究问题：在ABC中，A30，ABAC，DE
52、F三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上（1）如图3，若FEBC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求EDC的度数；（2）如图4，在ABC中，作CFAB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D证明：DEF为ABC的光线三角形；证明：ABC的光线三角形是唯一的【分析】（1）证明AEFDEC75，可得结论；（2）连接AD，证明ADCB，利用等腰三角形的三线合一的性质证明BDDC，BADCAD，推出BDDEDF，再分别证明FDBEDC30，AEFDEC75，AFEDFB75，可得结论；证明DFE是顶角为120，腰长为BC的一半的等腰三角形，即可解决问题【解答】（1）解：如图3中，ABA
53、C，A30，BC75，EFCB，AEF75，DE和FE关于AC满足“光学性质”，AEFDEC75，EDC180DECDCE180757530；（2）证明：如图4中，ABAC，A30，BACB75，AB是直径，ADB90，ADBC，BDCD，BADCAD，BDDE，CFAB，CFB90，DBDC，DFDBDC，DFDBDEDC，BDFB75，DCEDEC75，FDBEDC30，DF，DE关于BC满足光学性质，DEF1803030120，DEDF，DEFDFE30，DEFEDC，EFBC，AEFACB75，AFEB75，AFEDFB75，AEFDEC75，FE，DE关于AC满足光学性质，EF，DF
54、关于AB满足光学性质，DEF是为ABC的光线三角形；证明：由可知，DEDFDBDC，EDF120，DFE是顶角为120，腰长为BC的一半的等腰三角形，DEF是唯一确定的，ABC的光线三角形是唯一的14（2021秋丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PAPB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0APB60时，称P为线段AB的“远轴点”；当60APB180时，称P为线段AB的“近轴点”（1）如图1，点A，B的坐标分别为（2，0），（2，0），则在P1（1，3），P2（0，2），P3（0，1），P4（0，4）中，线段AB的“轴点”是 P2，P3，P4；线
55、段AB的“近轴点”是 P3，P2（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，OAB30若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 t0或t3【分析】（1）由题意可知A、B关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；（2）分两种情况：当P点在线段AB上方时，当P点在线段AB下方时，分别求PAB为等边三角形时t的值，即可确定t的取值范围【解答】解：（1）A（2，0），B（2，0），A、B关于y轴对称，PAPB，P点在y轴上，线段AB的“轴点”是P2，P4，P3，当P2（0，2）时，APBP2，APO45，APB90，P2是线段AB的“近轴点”，当P3（0，1）时，AP
56、BP，APB60，P3是线段AB的“近轴点”，故答案为：P2，P3，P4；P3，P2；（2）如图1，BAO30，ABO60，APBP，A（3，0），OB，当P点在y轴上时，P（0，），当t0时，P为线段AB的“远轴点”；如图2，当APx轴时，BAO30，PAB60，PAPB，APB60，此时P点是线段AB的“远轴点”，A（3，0），OA3，AB2，AP2，t3时P为线段AB的“远轴点”；综上所述：t0或t3时P为线段AB的“远轴点”，故答案为：t0或t315（2022秋长沙期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是
57、等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念：（1）如图1，在RtABC中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用：（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60求证：CD为ABC的等角分割线动手操作：（3）在ABC中，若A50，CD是ABC的等角分割线，请求出所有可能的ACB的度数【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答；（2）根据三角形内角和定理求出ACB，根据角平分线的定义得到
58、ACDDCBACB40，根据“等角三角形”的定义证明；（3）分ACD是等腰三角形，DADC、DAAC和BCD是等腰三角形，DBBC、DCBD四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算【解答】解：（1）ABC与ACD，ABC与BCD，ACD与BCD是“等角三角形”；（2）在ABC中，A40，B60ACB180AB80CD为角平分线，ACDDCBACB40，ACDA，DCBA，CDDA，在DBC中，DCB40，B60，BDC180DCBB80，BDCACB，CDDA，BDCACB，DCBA，BB，CD为ABC的等角分割线；（3）当ACD是等腰三角形，如图2，DADC时，ACDA50，AC
59、BBDC50+50100，当ACD是等腰三角形，如图3，DAAC时，ACDADC65，BCDA50，ACB50+65115，当ACD是等腰三角形，CDAC的情况不存在，当BCD是等腰三角形，如图4，DCBD时，ACDBCDB，ACB，当BCD是等腰三角形，如图5，DBBC时，BDCBCD，设BDCBCDx，则B1802x，则ACDB1802x，由题意得，1802x+50x，解得，x，ACD1802x，ACB，综上所述：ACB的度数为100或115或或16（2022春华州区期末）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形（1）理解并
60、填空：根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？是（填“是”或“不是”）若某三角形的三边长分别为1、2，则该三角形 是（填“是”或“不是”）奇异三角形（2）探究：在RtABC，两边长分别是a、c，且a250，c2100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由【分析】（1）根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断；根据奇异三角形的定义判断；（2）分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a，则a2+a22a2，等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；12+（）28，2228，12+（）2222，该三角形是奇
61、异三角形，故答案为：是；（2）当c为斜边时，则b2c2a21005050，则a2+b22c2，a2+c22b2，RtABC不是奇异三角形；当b为斜边时，b2a2+c2150，则有a2+b250+1502002c2，RtABC是奇异三角形，答：当c为斜边时，RtABC不是奇异三角形；当b为斜边时，RtABC是奇异三角形17（2022任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）如图在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad601（2）sad90（3）如图，
62、已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值【分析】（1）顶角为60的等腰三角形是等边三角形，从而可得sad60；（2）顶角为90的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得sad90；（3）在AB上取ADAC4a，作DEAC于点E，分别表示出DE、AE，CE、CD，继而可求出sadA的值【解答】解：（1）sad601；（2）sad90；（3）设AB5a，BC3a，则AC4a，在AB上取ADAC4a，作DEAC于点E，如图所示：则DEADsinA4a，AEADcosA4a，CE4a，sadA18（2021柯城区模拟）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“等底高三角形”，这条边
63、叫做等底线，这条边上的高叫做等高线如图：在ABC，CDAB于点D，且ABCD，则ABC为等底高三角形，AB叫等底线，CD叫等高线【概念感知】判断：对的打“”，错的打“”（1）等边三角形不可能是等底高三角形 （2）等底高三角形不可能是钝角三角形 【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则此三角形的三边长之比为 【概念应用】（1）若ABC为等底高三角形，等底线长为2，求三角形的周长的最小值（2）若一个等底高三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值【分析】拿到这种阅读理解题，一定要先理解给出的新定义的含义，这是做题的根本根据题意，多画图，才能找到题目的本意【解答】解：【概念感知】（1），边
64、与高构成直角三角形，斜边不可能等于直角边；（2），如图1，高在一边的延长线上即可【概念理解】分两种情况：第一种情况如图21，底边上的高等于底边时，设BDa，则BDCDa，BCAD2a，在RtABD中，ABAC，AB：AC：BC第二种情况，如图22，等腰直角三角形中，两个腰分别为底和高时，设BCa，则ACa，在RtRtABC中，ABa，AC：BC：AB1：1：【概念应用】（1）如图3，BCAD2，设BDx（0x2），则CD2x，在RtABD中，AB，在RtACD中，AC，lABC+2是点（2，0）到（0，x）的距离，是点（2，2）到（0，x）的距离，如图4，作（2，2）关于y轴的对称点（2，2）
65、，则（2，2）到（2，0）距离即为所求（lABC）min2+2（2）如图1，设ABBCAD，AB，设BCADa，CDa，又A、B均为锐角，C为钝角，且sinBsingAB最小，故答案为19（2021宁波模拟）在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k（0k1）（1）求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形（2）如图，四边形ABCD中，ADBC，BD平分ABC，ACDABC，求证：ABC是有趣三角形（3）如图，菱形ABCD中，点E，F是对角线BD的三等分点，DEDC延长BD到P，使DPBE求证：BCE，FCP，BCP是具有
66、相同正度的有趣三角形【分析】（1）不妨假设BC2ABAC证明ABBCAC，可得结论；（2）证明DACACB，推出，可得AC2ABCB，可得结论；（3）利用相似三角形的性质证明EC2BECB，推出ECB是有趣三角形，证明PF2CPCF，推出PCF是有趣三角形，证明PC2PBCB，推出PCB是有趣三角形，再证明它们的正度都是可得结论【解答】证明：（1）不妨假设BC2ABAC正度为1，1，ABAC，BC2ABACAB2，BCABAC，ABC是等边三角形；（2）如图中，ADBC，ADBCBD，DACACB，BD平分ABC，ABDCBD，ABDADB，ABAD，ACDABC，DACACB，AC2ABCB
67、，ABC是有趣三角形；（3）如图中，点E，F是对角线BD的三等分点，DPBE，BEEFFDDP，BFDEFP，四边形ABCD是菱形，CBCD，CDDE，CBCDBFDEFP，CDCB，CBDCDB，CBECDF（SAS），CECF，BCEDCF，DCDE，DCEDEC，DCF+ECFCBE+ECB，ECFCBE，CFECFB，FCEFBC，CF2EFFB，EC2BECB，ECB是有趣三角形，CF2FDFP，CFDCFP，CFDPFC，PF2CPCF，PCF是有趣三角形，CFDPFC，CDFPCFPBC，PP，PCFPBC，PC2PBCB，PCB是有趣三角形，ECB的正度，PCF的正度，PCB的
68、正度，BCE，FCP，BCP是具有相同正度的有趣三角形20（2021临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 两直角边的平方和与斜边的平方的差；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 4；（2）性质探究：如图1，CD是ABC的中线，ACb，BCa，AB2c，CDd，记ACD中ADC的勾股差为m，BCD中BDC的勾股差为n；求m，n的值（用含a，b，c，d的代数式表示）；试说明m与n互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接BD，DE，DF，若，且C
69、DBD，CDAD，求的值【分析】（1）依据勾股差的定义即可得到直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边的平方的差；依据定义即可得出结论；（2）依据勾股差的定义可得：mc2+d2b2，nc2+d2a2；证明m+n0即可；（3）依据勾股差的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及（2）中得出的结论计算即可【解答】解：（1）一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差，直角的勾股差为两直角边的平方和与斜边的平方的差等腰三角形的底角的勾股差为腰的平方+底边的平方+另一腰的平方等腰三角形的两个腰相等，等腰三角形的底角的勾股差为底边的平方224故答案为：两直角边的平方和与斜边的平方
70、的差；4；（2）CD是ABC的中线，AB2c，ADBDc依据勾股差的定义可得：mc2+d2b2，nc2+d2a2；过点C作CMAB于点M，如图，在RtACM中，由勾股定理得：b2CM2+AM2，同理可得：a2CM2+BM2，CM2d2MD2a2+b22CM2+AM2+BM2ADBDc，AMADMDcMD，BMBD+MDc+MDa2+b22（d2MD2）+（cMD）2+（c+MD）22d22MD2+c22cMD+MD2+c2+2cMD+MD22d2+2c2由（1）知：mc2+d2b2，nc2+d2a2，m+nc2+d2b2+c2+d2a22c2+2d2（a2+b2）0m与n互为相反数（3），设DF3m，AB4mF是BC的中点，CDBD，DFBCBC2DF6m点E与F分别是AB与BC的中点，CFDFBF3m，BEAE2m点E与F分别是AB与BC的中点，利用（2）中的结论可得：BF2+DF2BD2+CF2+DF2CD20，BE2+DE2BD2+AE2+DE2AD204DF2BD2+CD2，2AE2+2DE2BD2+AD2CDAD，BD2+CD2BD2+AD24DF22AE2+2DE22（3m）2（2m）2+DE2解得：DEm
