1、专题3.7 轴对称与坐标变化（知识讲解）特别说明：教学中经常把平面坐标系中点的平移放在平面直角坐标系中进行讲解，因此本专题融入了平移的知识，为了便于使用，专题练习中提供有一个点的平移专题，供师生参考使用。【学习目标】1.在同一直角坐标系中，掌握点和图形的平移规律，并用于解决问题；2.在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系；3.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识；4.通过“坐标与轴对称”的探究，让学生掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力.【要点梳理】【知识点一】平面直角坐标系中点和图形的平移（1）点在平
2、面直角坐标系中的平移在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b).特别说明：(1)、在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减；(2)、在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减；(3)、在坐标系内,平移点的坐标规律:沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变。（2）图形在平面直角坐标系中的平移在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度:如果把它各个
3、点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。特别说明：(1) 平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平 移问题可以转化为点的平移问题来解决；(2) 平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化。【知识点二】轴对称定理定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。(全等形不一定关于某条直线对称)定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂
4、直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。【知识点三】平面直角坐标系中对称点坐标P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b);P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (b,a);P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (-b,-a)【典型例题】类型一、平面直角坐标系点的平移1已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（）A(11，-17)B(8，31)C(15，-21)D(15，-31)【答案】C【分析】利用算术平方根与绝对值非负性
5、的含义先求解的值，再利用点的平移坐标变化规律：左减2加，上加下减，从而可得答案解： 和互为相反数， 点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是 故选C【点拨】本题考查的是算术平方根与绝对值非负性的含义，点的平移，掌握“点的平移坐标变化规律”是解本题的关键举一反三：【变式1】在平面直角坐标系中，将点A（m1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点若点位于第四象限，则m、n的取值范围分别是（）Am0，n0Bm1，n2Cm1，n0Dm2，n4【答案】D【分析】先根据平移得到点的坐标，再根据点在第四象限构建不等式解决问题解：由题意，点的坐标为（，），即：（，），点位于第四
6、象限，故选：D【点拨】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是构建不等式解决问题，属于中考常考题型【变式2】的顶点A的坐标为(-2，4)，先将沿x轴对折，再向左平移两个单位，此时A点的坐标为()A(2，-4)B(0，-4)C(-4，-4)D(0，4)【答案】C【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特点求出将ABC沿x轴对折后顶点A的坐标，再根据平移中点的变化规律即可求出向左平移两个单位后A点的坐标解：ABC的顶点A的坐标为（2，4），将ABC沿x轴对折后顶点A的坐标是（2，4），再向左平移两个单位，此时A点的坐标为（22，4），即（4，4），故选：C【点拨】本题考查了坐标与图形变化平移，关于x
7、轴对称的点的坐标特点用到的知识点：平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即点P（x，y）关于x轴的对称点P的坐标是（x，y）2线段是由线段经过平移得到，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为_【答案】（-6，2）【分析】先根据点A、C的坐标判断平移方式，再根据点D的坐标计算出点B的坐标即可解：点C（-1，3）的对应点为A（-4，7），4-1=3，7-3=4，线段AB向左平移3个单位，向上平移4个单位，D（-3，-2）的对应点B的坐标（-3-3，-2+4），即B（-6，2），故答案为：（-6，2）【点拨】本题主要考查了坐
8、标与图形变化平移，掌握坐标的平移变化规律是解题的关键举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段若点的对应点为，则点的对应点的坐标是_【答案】【分析】根据点A和其对应点M的坐标即可知道其平移的方式，则点B也应该发生一样的变化解：、，2-（-1）=3，5-3=2，线段向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到线段，N（-3+3，-1+2），即N（0，1）故答案为（0，1）【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系内的平移变化，熟练地掌握向左（右）平移横坐标减（加），向上（下）平移纵坐标加（减）是解题的关键【变式2】将点先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到点，则点的坐标是
9、_【答案】【分析】根据坐标的平移变换规律，把得到的点倒推即可求解解：由题意得：点，先向由平移2个单位，得到，再向下平移3个单位，得到，故答案为：【点拨】本题考查了坐标的平移变换，熟练掌握坐标的平移变换的规律是解题的关键类型二、坐标与图形的变换轴对称3.如图，A、B两点的坐标分别是（2，3）、（4，3）（1）请你确定P（4，3）的位置；（2）请你写出点Q的坐标 【答案】（1）详见分析；（2）（2，2）试题分析：（1）根据点A、B两点的坐标先确定坐标原点，再求得P（4，3）的位置；（2）根据平面直角坐标系得出Q的坐标解：（1）根据A、B两点的坐标可知：x轴平行于A、B两点所在的直线，且距离是3；y
10、轴在距A点2（距B点4）位置处，如图建立直角坐标系，则点P（4，3）的位置，即如图所示的点P；（2）点Q 的坐标是（2，2） 举一反三：【变式1】如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点（1）求A、C两点之间的距离（2）确定目的地C在营地A的什么方向 【答案】（1）1000m；（2）北偏东30方向上【分析】（1）根据BEAD，得出DAB=ABE=60，再根据平角的定义得出30+CBA+ABE=180，求出CBA的度数，判断出ABC是直角三角形，最后根据勾股定理求出AC的值即可；（2）根据AC=1000，BC
11、=500，求出CAB=30即可解：（1）BEAD，DAB=ABE=60，30+CBA+ABE=180，CBA=90，ABC为直角三角形，BC=500，AB=，AC2=BC2+AB2，AC=1000m（2）BC=500，AC=1000，ABC=90，AC=2BC，CAB=30，DAC=DAB-CAB=60-30=30，即目的地C在营地A的北偏东30方向上【点拨】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上【变式2】在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，0），线段BC的位置如图所示，其中B点的坐标为（1
12、，3），点C的坐标为（3，2）（1）已知线段CD/y轴，且C，D两点到x轴的距离相等，则点D的坐标为 ；（2）在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积；（3）求AB与y轴交点E的坐标 【答案】（1）（3，）；（2）；（3）E（0，）【分析】（1）由题意易知C，D两点关于x轴对称，可求解D点坐标；（2）设CD交x轴于点F，作BHx轴于点H，由S四边形ABCD=SABH+S梯形BHFC+SAFD可计算求解；（3）连接OB，由SAOB=SAOE+SEOB=OABH，计算可求解OE的长，进而可求解E点坐标解：（1）CDy轴，且C，D两点到x轴的距离相等，C，D两点关于x轴对称，C（3，2），D（3，2
13、）；故答案为；（3，）；（2）如图，设CD交x轴于点F，作BHx轴于点H，则S四边形ABCD=SABH+S梯形BHFC+SAFD=53+(3+2)2+72=；（3）连接OB，则SAOB=SAOE+SEOB=OABH，即43OE4+OE1，解得OE=，点E在y轴上，E（0，）【点拨】本题主要考查三角形的面积，图形与坐标的性质，利用割补法求解图形的面积是解题的关键类型三、轴对称综合题（几何变换）4如图，在平面直角坐标系中，ABC的各顶点坐标分别为A(4，0)、B(-1，4)、C(-3，1)，在图中画出ABC关于x轴对称的图形，并写出点A、B、C的对应点的坐标【答案】作图见分析，【分析】根据题意画出
14、关键点的轴对称点，再连接成轴对称图形，写出对应点的坐标即可解：根据题意画出关键点的轴对称点，连接即可得到，如图所示，【点拨】本题考查了轴对称作图，和写出轴对称变化的点的坐标，数形结合思想是本题的关键所在举一反三：【变式1】如图，ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，6），B（-4，2），C（-1，3）(1) 画出ABC与y轴对称的，并写出点的坐标；(2) 在x轴上找出点P(不用求点P的坐标)，使PC+P的值最小，保留必要的作图痕迹 【答案】(1)画图见分析，B1（4，2）(2)见分析【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）作点C关于x轴的对称点C，连接B1C交x轴于点P，则
15、点P即为所求点（1）解：如图，AB1C1即为所求，B1（4，2）；（2）如图，点P即为所求由图可知：PC=PC，PC+PB1=PB1+PC=B1C，此时PC+PB1最小【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换、最短路径问题，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键【变式2】如图，ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，3），B（1，1），C（4，1）(1) 直接写出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的坐标；(2) 在图中作出ABC关于y轴对称的图形A2B2C2；(3) 求ABC的面积【答案】(1)A1（3，-3），B1（1，-1），C1（4，1）(2)见分析(3)ABC的面积为5【分析
16、】(1 )根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数求解即可；(3) 分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；(4) 利用割补法求解可得（1）根据关于x轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可得：，（2）如图所示，即为所求（3）的面积为：【点拨】本题主要考查作图一轴对称变换，关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并得出变换后的对应点，同时考查了割补法求三角形的面积类型四、坐标系表示实际问题中点的位置5如图，已知的顶点分别为，(1) 作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标；(2) 若点是内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是_(3) 在x轴上找一点P，使得最小（画出图形，找
17、到点P的位置） 【答案】(1)图见分析，点的坐标为；(2)；(3)见分析【分析】（1）分别找出A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接点即可；（2）利用“关于谁对称谁不变，不关谁对称谁全变”可求出P的对称点坐标；（3）过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小(1)解：先找出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1如图所示，即为所求：的坐标为(2)解：P关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成原来的相反数，点P关于y轴对称的点的坐标是(3)解：过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小点P如图所示：
18、【点拨】本题考查作轴对称图形，找关于坐标轴对称的点的坐标，以及动点问题关键是掌握画轴对称图形的方法：先找对称点，再连线；熟记关于坐标轴对称的点的坐标变化特征；利用对称性解决动点问题举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点分别为A（4，1），B（2，4），C（1，2）（1）请画出ABC向右平移5个单位后得到的A1B1C1；（2）请画出ABC关于直线yx对称的A2B2C2；（3）线段B1B2的长是 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）根据平移的性质即可画出ABC向右平移5个单位后得到的A1B1C1；（2）根据对称性即可画出ABC关于直线yx对称的A2B2C
19、2；（3）根据勾股定理即可得线段B1B2的长解：（1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求；（3）线段B1B2的长是故答案为：【点拨】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知平移与对称的性质、勾股定理的运用【变式2】已知点、，在轴上是否存在点使的值最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】存在，【分析】作出A点关于x轴的对称点A，连接AB交x轴于P即为所求，利用两点之间距离公式求出即为的最小值.解：存在，如图，作关于轴对称点，联结交轴于点， 则有最小值，因为两点之间线段最短【点拨】本题考查的是利用轴对称性质求最短路径问题，坐标与图形.熟练掌握轴对称的性质，找出P点是解题的关键.
