1、专题3.7 正多边形和圆（知识解读）【学习目标】1. 了解正多边形和圆的有关概念；2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形【知识点梳理】考点1 圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.考点2 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心
2、距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点3 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【典例分析】【考点1 正多边形】【例1】（2021江油市模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（1，）【变式1-1】（2018武汉模拟）如图，正五
3、边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CDx轴，若点E坐标为（3，2），则点B的坐标为（）A（3，2）B（3，2）C（3，2）D（2，3）【变式1-2】（2021秋宜春期末）如图，正六边形ABCDEF的半径OA2，则点B的坐标为（）A（，1）B（1，）C（2，）D（，2）【变式1-3】（2021秋沂源县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AFx轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60，当n100时，顶点A的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（2，2）【例2】（2021秋大连期末）正六边形的边心距是，则它的面积是（）A2B6C9
4、D12【变式2-1】（2021秋南沙区期末）如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（）A2，2B4，4C4，2D4，【变式2-2】（2021秋西城区期末）如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A4B8CD【变式2-3】（2022灞桥区校级模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 【考点2 正多边形和圆】【典例3】（2021秋中山区期末）如图，正五边形ABCDE内接于O，则正五边形中心角COD的度数是（）A76B72C60D36【变式3-1】（202
5、2东坡区校级模拟）如图，正五边形ABCDE内接于O，连接AC，则BAC的度数是（）【变式3-2】（2021秋长沙县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（）A15B30C45D60【典例4】（2021西昌市模拟）如图，O的周长等于4cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）ABCD【变式4-1】（2020秋陕州区期末）如图是半径为2的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（）A2B1CD【变式4-2】（2021岳池县模拟）若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为【典例5】（2021盘州市模拟）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则
6、阴影部分的面积为（）ABCD【变式5-1】（2021秋新昌县期末）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（）ABC24D【变式5-2】（2021秋阜阳月考）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，连接OA，OC，若正六边形ABCDEF的边长为6，则图中阴影部分的面积是（）A36B18C12D6【变式5-3】（2021海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（）AS变化，l不
7、变BS不变，l变化CS变化，l变化DS与l均不变专题3.7 正多边形和圆（知识解读）【学习目标】3. 了解正多边形和圆的有关概念；4. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形【知识点梳理】考点1 圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.考点2 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距正多边形
8、的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点3 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。【典例分析】【考点1 正多边形】【例1】（2021江油市模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（1
9、，）【答案】C【解答】解：连接OFAOF60，OAOF，AOF是等边三角形，OAOF4设EF交y轴于G，则GOF30在RtGOF中，GOF30，OF4，GF2，OG2F（2，2）故选：C【变式1-1】（2018武汉模拟）如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CDx轴，若点E坐标为（3，2），则点B的坐标为（）A（3，2）B（3，2）C（3，2）D（2，3）【答案】B【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称，所以点E和点B关于y轴对称，点E的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，2），故选：B【变式1-2】（2021秋宜春期末）如图，正六边形ABCDEF的半径OA2，则点B的坐
10、标为（）A（，1）B（1，）C（2，）D（，2）【答案】A【解答】解：连接OB，正六边形ABCDEF的半径OAOD2，OBOAAB2，ABO60，OBH60，BHOB1，OHOBcosOBH2，B（，1），故选：A【变式1-3】（2021秋沂源县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AFx轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60，当n100时，顶点A的坐标为（）A（2，2）B（2，2）C（2，2）D（2，2）【答案】B【解答】解：连接OA，AOH30，AH2，OH2，六边形ABCDEF是正六边形，正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原
11、位置，1006164，当n100时，顶点A的坐标为（2，2），故选：B【例2】（2021秋大连期末）正六边形的边心距是，则它的面积是（）A2B6C9D12【答案】B【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OGAB于点G在RtAOG中，OG，AOG30，OGOAcos 30，OA2，这个正六边形的面积6SOAB626故选：B【变式2-1】（2021秋南沙区期末）如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（）A2，2B4，4C4，2D4，【答案】B【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OC，OB，AB，AB与OC交于G，则AOC60，OAOC，AOC是
12、等边三角形，OAAC4cm，即这个正六边形半径R为4cm；AOC是等边三角形，同理BOC是等边三角形，ACOAOBBC，四边形ACBO是菱形，ABOC，CAGCAO30，AC4cm，CG2cm，AG2（cm），aAB4（cm），即a的值是4cm，故选：B【变式2-2】（2021秋西城区期末）如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A4B8CD【答案】D【解答】解：如图，连接BD由题意，BCD是等腰直角三角形，BD8，CBD45，BCD90，BCBD4故选：D【变式2-3】（2022灞桥区校级模拟）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形
13、的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 【答案】1【解答】解：连接OA、OC、OD，如图所示：点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，BBCD（62）1806120，OCOD，COD60，ABBCCD2，BCABAC30，OCD是等边三角形，OCCD2，OCD60，OCG120306030，OGAC，OGOC1，即点O到AC的距离OG的长为1，故答案为：1【考点2 正多边形和圆】【典例3】（2021秋中山区期末）如图，正五边形ABCDE内接于O，则正五边形中心角COD的度数是（）A76B72C60D36【答案】B【解答】解：五边形ABCDE是O的内接正五边形，五边形ABCDE的中心角CO
14、D的度数为72，故选：B【变式3-1】（2022东坡区校级模拟）如图，正五边形ABCDE内接于O，连接AC，则BAC的度数是（）A30B36C38D45【答案】B【解答】解：在正五边形ABCDE中，B（52）180108，ABBC，BACBCA（180108）36，故选：B【变式3-2】（2021秋长沙县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于O，则ADB的度数是（）A15B30C45D60【答案】B【解答】解：连接OB，多边形ABCDEF是正多边形，AOB60，ADBAOB6030故选：B【典例4】（2021西昌市模拟）如图，O的周长等于4cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）ABC
15、D【答案】C【解答】解：如图，连接OA、OB，作OGAB于点G，O的周长等于4cm，O的半径为：2，ABCDEF是O的内接正六边形，OAOBAB2，OGAB，AGBGAB1，OG，SAOBABOG2它的内接正六边形ABCDEF的面积是6SAOB6（cm2）故选：C【变式4-1】（2020秋陕州区期末）如图是半径为2的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（）A2B1CD【答案】C【解答】解：过O作OHAB于H，在正六边形ABCDEF中，AOB60，OAOB，AOH30，AHAB1，OHAH，故选：C【变式4-2】（2021岳池县模拟）若正六边形的边心距为，则这个正六边形的半径为
16、【答案】2【解答】解：如图所示，连接OB、OC；此六边形是正六边形，BOC60，OBOC，BOC是等边三角形，OBC60，OH，在RtOBH中，OB2，OBOCBC2，即这个正六边形的半径为2故答案为：2【典例5】（2021盘州市模拟）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则阴影部分的面积为（）ABCD【答案】A【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，AOB60，ABC120，OAOB，AOB是等边三角形，SAOB22，阴影部分的面积为S正六边形ABCDEFS扇形AOCS扇形DOF66，故选：A【变式5-1】（2021秋新昌县期末
17、）如图，圆的半径为4，则图中阴影部分的周长是（）ABC24D【答案】D【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OCAB于C，根据图形可知：OCB90，OBA30，圆的半径OB4，OC2，BC2，AB2BC4，图中阴影部分的周长6424故选：D【变式5-2】（2021秋阜阳月考）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，连接OA，OC，若正六边形ABCDEF的边长为6，则图中阴影部分的面积是（）A36B18C12D6【答案】B【解答】解：过E作EMFD于M，连接AC，FED120，FEED，EFD30，EMEF3，FM3，DF2FM6，BAF120，BAC30，CAF90，同理ACD9
18、0，AFCD，AFCD，四边形ACDF是矩形，图中阴影部分的面积S矩形ACDF18，故选：B【变式5-3】（2021海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（）AS变化，l不变BS不变，l变化CS变化，l变化DS与l均不变【答案】D【解答】解：如图，连接OA，OCHOGAOC120，OCHOAG60，HOCGOA，在OHC和OGA中，HOCGOA（ASA），AGCH，S阴S四边形OABC定值，lGB+BC+CHAG+BG+BC2BC定值，故选：D
