1、专题3.4 幂的乘方与积的乘方（知识讲解）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点二、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.特别说明：（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简
2、化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点三、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、幂的乘法与积的乘方幂的乘方运算1计算：(1) ； (2) 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）先运用积的乘方将括号内的幂的乘方进
3、行化简，再进行同底数幂的乘除法运算即可；（2）先将括号内的算式看做一个整体，运用同底数幂的乘除法运算法则进行化简即可（1）解：；（2）解：；【点拨】本题考查幂的运算，能够运用整体思想简化运算过程是解决本题的关键举一反三：【变式1】化简：【答案】【分析】先根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行化简，再合并同类项即可；解：原式=【点拨】本题主要考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法以及合并同类项，掌握相关运算法则是解题的关键【变式2】计算：(1) ； (2) 【答案】(1) 0； (2) 【分析】(1)利用同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则即可求解；(2)利用积的乘方法则、同底数幂的乘法法则即可
4、求解解：（1）原式=；（2）原式= 【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，合并同类项，熟练掌握相应的计算法则是解题的关键类型二、幂的乘法与积的乘方幂的乘方运算逆运算2已知，求：(1) ； (2) （结果用含a，b的代数式表示）【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；（2）利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可【点拨】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握举一反三：【变式】（1）； （2）【答案】（1）0
5、；（2）【分析】（1）首先把化成，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可；（2）可化成，1.5可以化作，再根据，负数的偶次幂为正计算即可解：（1）原式（2）原式【点拨】本题考查了同底数幂，乘方的运算，仔细观察题目，化简底数是解题的关键类型三、幂的乘法与积的乘方积的乘方运算3（1）若，求的值（2）若，求、的值【答案】（1）8（2）n3，m4【分析】（1）根据同底数幂乘法的计算法则可以得到，则4n335，由此求解即可；（2）根据积的乘方和同底数幂乘法的计算法则可得，则3 n9且3m315，由此求解即可 解：（1），4n335，n8；（2）， ，3 n9，3m315，n3，m4【点拨】本
6、题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，解一元一次方程，熟知同底数幂乘法和积的乘方计算法则是解题的关键举一反三：【变式1】计算(1) ； (2) ；(2) ； (4) ；(5)；【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5).【分析】（1）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可；（2）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可；（3）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可；（4）由题意直接利用同底数幂的乘法进行计算即可；（5）由题意利用幂的乘方和积的乘方以及合并同类项原则进行计算即可. 解：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.【点拨】本题考查整式的
7、乘法运算，熟练掌握幂的四则运算法则是解题的关键.类型四、幂的乘法与积的乘方积的乘方逆运算4计算：（-1）-1+（-5）2022（-）2021【答案】-6【分析】先凑出积的乘方逆用的条件，再逆用积的乘方运算法则，然后再按有理数混合运算法则计算即可 解：（-1）-1+（-5）2022（-）2021=-1+（-5）（-5）2021（-）2021=-1+（-5）（-5）（-） 2021=-1+（-5）12021=-1+（-5）1=-1-5=-6【点拨】本题主要考查了逆用积的乘方运算法则、含乘方的有理数四则混合运算等知识点，凑出积的乘方逆用的条件是解答本题的关键举一反三：【变式1】用简便方法计算下列各题
8、：（1）； （2）【答案】（1）； （2）【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则将原式变形进而求出答案 解：（1） ；（2）【点拨】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键【变式2】已知：2m+23m+2=63m-2，求（1-3m)2-4m2+6【答案】15【分析】先根据同底数幂的乘法法则得到6m+2=63m-2，从而求出m，代入代数式求值 解：2m+23m+2=（23）m+2=6m+2=63m-2，m+2=3m-2，解得：m=2，（1-3m)2-4m2+6=（1-32）2-422+6=15【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和代数
9、式求值以及一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则类型五、幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法幂的乘法积的乘方4计算：(1) ； (2) ； (3) 【答案】 (1)； (2) ； (3) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可（2）计算各项的幂的乘方即可（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可解：（1）（2）（3）【点拨】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解决问题的关键【变式1】计算：(1)已知，求 n 的值；(2)已知 n 是正整数，且，求的值【答案】(1)3； (2)4【分析】（1）由，得到一元一次方程 ，即可求解；（2）把变形为，再把代入计算即可解：（1），解得
10、.（2），当时，原式【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键【变式2】阅读下列材料：若，且，比较m，n的大小解：因为，2716，所以，所以依照上述方法解答下列问题：(1)若，则x_y（填写“”，“”或“=”）(2)若，且满足，试比较a与b的大小【答案】(1)b【分析】（1）根据材料的方法以及幂的乘方即可判断；（2）根据材料的方法以及幂的乘方即可判断解：（1），故答案为： ；（2）解：，【点拨】本题主要考查幂的乘方，掌握幂的乘方是解题的关键中考真题专练1（2022黑龙江哈尔滨中考真题）下列运算一定正确的是（）ABCD【答案】A【分析】根据积的乘方运算、幂的乘
11、方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算逐项验证即可得到结论 解：A、根据积的乘方运算、幂的乘方运算法则可知，该选项符合题意；B、根据合并同类项运算可知，该选项不符合题意；C、根据幂的乘方运算可知，该选项不符合题意；D、根据同底数幂的乘法运算可知，该选项不符合题意；故选：A【点拨】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项运算和同底数幂的乘法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键2（2021内蒙古通辽中考真题）下列计算正确的是（）ABCD【答案】C【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案解：A.，故该选项计算错误，不符合题意，B.，故该选项计算错误，不符合题意，C.，故该选项计算正确，符合题意，D.，故该选项计算错误，不符合题意，故选：C【点拨】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键3（2020浙江衢州中考真题）计算（a2）3，正确结果是（）Aa5Ba6Ca8Da9【答案】B解：由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a23=a6故选B
