1、专题3.13 勾股定理（全章复习与巩固）（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：）2. 勾股定理的应用 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边的平方.（即：）勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；【知识点2】勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验
2、证与是否具有相等关系，若，则ABC是以C为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形. 【知识点3】勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如中存在2425、4041等）【考点一】已知任意两边，求直角三角形的第
3、三边长【例1】在中，、的边分别为a、b、c（1）若，求a，b的值（2）若，求a的值【答案】(1)，；(2)30【分析】（1）设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论（2）根据勾股定理可得，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值（1）解：中，、的对边分别为、，且，设，则，即，解得（负值舍去），；（2）中，的对边分别为，解得：【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键【举一反三】【变式】在中， （1）求的长； （2）求的长 【答案】(1)； (2)【分析】（1）直接利用勾股定理求得的长；（2）根据三角形的面积公式求得
4、即可（1）解：在中，；（2），【点拨】此题考查了勾股定理及直角三角形面积的不同表示方法，关键是得到斜边的长【考点二】已知三角形三边长，判断三角形的形状【例2】如图，已知等腰ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm（1）判断BCD的形状，并说明理由； （2）求ABC的周长 【答案】(1)BDC为直角三角形，理由见分析；(2)ABC的周长为=cm【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以BDC为直角三角形；（2）由此可求出AC的长，周长即可求出（1）解：BDC为直角三角形，理由如下，BC=10cm，CD=8cm，B
5、D=6cm，而102=62+82，BC2=BD2+CD2BDC为直角三角形；（2）解：设AB=xcm，等腰ABC，AB=AC=x，则AD=x-6，AB2=AD2+BD2，即x2=（x-6）2+82，x=，ABC的周长=2AB+BC=（cm）【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答【举一反三】【变式】如图，在 44 的正方形网格中（每个小正方形边长均为 1），点A，B，C 在格点上，连接 AB，AC，BC，则ABC 的形状是（） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定【答案】B【分析】根据勾股定理求出AB、BC、AC，再根据勾股定
6、理的逆定理计算可得出结论解：由题意得：， ，BAC90，为直角三角形故选：B【点拨】本题考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理掌握勾股定理和逆定理是解决问题的关键【考点三】勾股（树）数【例3】以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等(1) 根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2) 用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明【答案】(1) ； (2) ，证明见分析【分析】（1）根据前三组勾股数分析得出第四组勾股数组即可；（2）根据前三组勾股数总结出第n组勾股
7、数的规律，再根据勾股定理进行验证即可（1）解：第一组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，第二组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，第三组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，所以第四组勾股数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为，第四组勾股数组为；（2）解：由（1）可知：第n组勾股数为，证明：，【点拨】本题考查了勾股数的规律探索以及整式乘法，关键在于找出每个数的变化规律【举一反三】【变式】若m、n为整数，且，请你证明a、b、c为勾股数【答案】见分析【分析】先证明a、b、c均为正整数，再证明，可得结论解：、n为整数，且，、b、c均为正整数，又，a、b、c为勾股数【点拨】本题
8、考查了利用勾股定理求三角形三边的关系，完全平方公式的应用，熟练掌握和运用利用勾股定理求三角形三边的关系是解决本题的关键【考点四】勾股定理的应用直接运用勾股定理求三角形的边长【例4】如图，一机器人在处看见一个小球从点出发，沿着的方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？ 【答案】【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，则，设，则，由勾股定理可知，解方程即可求解解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，则，设，则，由勾股定理可知，又，解得：答：如果小球滚
9、动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键【举一反三】【变式】如图1是游戏（超级玛丽的截图，玛丽到达一个高为10米的高台A利用旗杆上方的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B图2是简化示意图过点A作于E，过点B作于F (1) 求证：； （2）求绳索的长【答案】(1)见分析；(2)绳索的长为13米【分析】（1）利用证明即可；（2）由，推出，得到，求得，再利用勾股定理即可求解解：（1）证明：，在和中，（2）解：由（1）知：，又， ， ，根据勾股定理：绳索的长为13米【点拨】本题考查了勾股定理，全等三角形的判
10、定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键【考点五】勾股定理的应用通过作辅助线构造直角三角形求边长【例5】已知四边形中，为中点，且， (1) 求的值；（2）求直线与直线的距离 【答案】(1)； (2)【分析】（1）延长交的延长线于点，由平行线的性质可得，再由中点可得，可判定，则有，再由垂直可得，利用勾股定理即可求，从而可求解；（2）利用三角形的面积可求得点到的距离，即可求与的距离（1）解：延长交的延长线于点，如图， ，为中点，在与中，；（2）过点作，如图， ，【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键【举一反三】【变式】如图，在等腰三角
11、形中，点D是中点，点E是的中点，连接 （1）求证：； （2）求的面积【答案】(1)见分析；(2)48【分析】（1）连接，证明是直角三角形，即可求出答案；（2）用勾股定理求出的长，即可求解解：（1）证明：连接，如图所示， 在中，E是的中点，是直角三角形，又D是的中点；（2）解：E是的中点，在中，；【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键【考点六】勾股定理中的数学思想方程思想【例6】如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），求攀岩墙的高度 【答案】攀岩墙的高为米【分
12、析】根据题意设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长即可解：设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，在中，米，由勾股定理得：，解得，攀岩墙的高为米【点拨】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键【举一反三】【变式】如图，铁路上，两点相距，为两村庄，于点，于点，已知，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，两村到站的距离相等，则站应建在离站多少处？ 【答案】距A点10km处【分析】根据土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，在和中，设，可将和的长表示出来，列出等式进行求解即可解：使得，两村到站的距离相等，于，于， ，设，则，解得：，答：站应建在离站处
13、【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键【考点七】勾股定理中的数学思想分类讨论思想【例7】中，上的高为12，求的长【答案】或11【分析】由于三角形的高的位置随三角形的形状改变而变化，分别根据题意画出当点D在线段上、点D在线段的延长线上时的图形，分别利用勾股定理得出答案即可解：设边上的高为，当点D在线段上时，如图1所示： 在中，根据勾股定理：；在中，根据勾股定理：；当D在线段的延长线上时，如图2所示： 同理可知：，；综上所述：或11.【点拨】此题主要考查了三角形高的性质和勾股定理，根据题意利用分类讨论正确画出图形是解题关键【举一反三】【变式】如图，在中，过点作射线点从点出
14、发，以的速度沿向终点运动：点从点出发，以的速度沿射线运动点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止运动连结、，设运动时间为 (1) 线段_（用含的代数式表示）(2) 求的长(3) 当与全等时，若点、的移动速度相同，求的值若点、的移动速度不同，求的值【答案】(1)； (2)； (3)；【分析】（1）根据路程速度时间求出的长，用即可求出最后结果；（2）在中，用勾股定理求解即可；（3）与全等分与两种情况， 分别在这两种情况下在速度相同和速度不同时，根据三角形全等性质求出和的值，根据实际情况取舍（1）解：由以的速度沿向终点运动可知，故答案为：；（2），；（3），则与全等分成两种情况，即与当点、的移动速度
15、相同时，若，若，两方程不同解，舍去，点、的移动速度相同，； 当点、的移动速度不同时，若，这时，速度相同，（舍去）若，点、的移动速度不同，【点拨】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题【考点八】勾股定理中的折叠问题【例8】如图，在中， (1) 如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；(2) 如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长【答案】(1)；(2)【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解
16、即可（1）解：直线是对称轴，设，则在中，解得，（2）解：直线是对称轴，设，则，在中，在中，解得，【点拨】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键【举一反三】【变式】已知长方形中，将纸片折叠，使得点A和点C重合，折痕为，如图，则的长为多少？ 【答案】【分析】连接，根据折叠的性质，得垂直平分，则设，则，根据勾股定理求得x的值，再根据勾股定理求得的长，即可求得的长，再根据勾股定理求得的长，进而求得解：连接 将纸片折叠，使得点A和点C重合，设，则在中，即，解得在中，则在中，是折痕，【点拨】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键
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