1、专题3 有理数的简便计算一、倒序相加法【典例】阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程解：设s1+2+3+100，则s100+99+98+1，+，得2s101+101+101+101（两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）所以2s100101，s=121001015050所以1+2+3+1005050后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”请解答下面的问题：（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+
2、3+200（2）请你认真观察上面解答过程中的式及你运算过程中出现类似的式，猜想：1+2+3+n （3）计算：101+102+103+2018【解答】解：（1）s1+2+3+200，则s200+199+198+1，+，得2s201+201+201+201，所以2s200201，s=1220020120100，所以1+2+3+20020100；（2）猜想：1+2+3+n=12n（n+1）；故答案为：12n（n+1）；（3）s101+102+103+2018，则s2018+2017+2016+101，+，得2s2119+2119+2119+2119，所以2s（2018100）2119，s=12191
3、821192032121，所以101+102+103+20182032121【巩固】计算：二、裂项相消【学霸笔记】形如可写成的形式，在分式的简便计算中常常有以下变形：；.【典例】观察下面的变形规律：112=1-12，123=12-13，134=13-14，解答下面问题：（1）若n为正整数请你猜想1n(n+1)= ；（2）证明你猜想的结论；（3）利用这一规律化简：1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+2009)(x+2010)（4）尝试完成（直接写答案）1x(x+2)+1(x+2)(x+4)+1(x+4)(x+6)+1(x+6)(x+8)+1(x+201
4、4)(x+2016)= 【解答】解：（1）猜想：1n(n+1)=1n-1n+1；故答案为：1n-1n+1；（2）等式右边=n+1n(n+1)-nn(n+1)=n+1-nn(n+1)=1n(n+1)=左边，得证；（3）原式=1x+1-1x+2+1x+2-1x+3+1x+2009-1x+2010=1x+1-1x+2010=2009(x+1)(x+2010)；（4）原式=12（1x-1x+2+1x+2-1x+4+1x+2014-1x+2016）=12（1x-1x+2016）=1008x(x+2016)故答案为：1008x(x+2016)【巩固】计算下面各题（1）计算：112+123+134+1989
5、9+199100（2）计算：1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+11+2+3+2015三、利用图形进行简便计算【典例】数学问题：计算1m+1m2+1m3+1mn（其中m，n都是正整数，且m2，n1）探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究探究一：计算12+122+123+12n第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+122；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面
6、积继续二等分，；第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分；所有阴影部分的面积之和为12+122+123+12n，最后空白部分的面积是12n根据第n次分割图可得等式：12+122+123+12n=1-12n探究二：计算13+132+133+13n第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+23n，最后空白部分的面积是13n根据第n次分割图
7、可得等式23+232+233+23n=1-13n两边同除以2，得13+132+133+13n=12-123n探究三：计算14+142+143+14n（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果）第n次分割所有阴影部分的面积之和为 ；最后的空白部分的面积是 ；根据第n次分割图可得等式 ；两边同除以 ，得 ；解决问题：计算1m+1m2+1m3+1mn根据第n次分割图可得等式 ，所以1m+1m2+1m3+1mn= 拓广应用：直接写出运算结果：5-15+52-152+53-153+5n-15n【解答】解：探究三：第n次分割图如图所示：所有阴影部分的面积之和为1；最后
8、的空白部分的面积是14n；根据第n次分割图可得等式34+342+34n=1-14n；两边同除以3，得14+142+143+14n=13-134n；故答案为：1，14n，式34+342+34n=1-14n，3，14+142+143+14n=13-134n；解决问题：计算1m+1m2+1m3+1mn根据第n次分割图可得等式，m-1m+m-1m2+m-1m2+m-1mn=1-1mn，所以1m+1m2+1m3+1mn=1m-1-1(m-1)mn故答案为：m-1m+m-1m2+m-1m2+m-1mn=1-1mn，1m-1-1(m-1)mn拓广应用：直接写出运算结果：5-15+52-152+53-153+
9、5n-15n1-15+1-152+1-153+1-15nn（14-145n）n-14+145n巩固练习1任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：233+5，337+9+11，4313+15+17+19，按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是2019，则m的值是（）A46B45C44D43210个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数（分子与分母无公约数的真分数）”，则这10个有理数的和为（）A12B1118C76D593211（455）+365455211545+545365 437.90.0038+1.210.379+6.210.159 5计算：1
10、111315+1131517+1293133= 6计算：191919767676-76761919= 7在1到100这100个数中，任找10个数，使其倒数之和等于18自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：14，12，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值9规定：正整数n的“H运算”是当n为奇数时，H3n+13；当n为偶数时，Hn1212（其中H为奇数）如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果是11，经过3次“H运算”的结果是46请解答：（1）数257经过257次“H运算”得到的结果（2）若“H运算”的结果总是常数a，求a的值
