1、3.4生活中的优化问题举例导数在实际问题中的应用生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题【问题导思】优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大、最小值解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程(对应学生用书第64页)面积体积的最值问题用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90，再焊接而成则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【思路探究
2、】【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)x(902x)(482x)4x3276x24 320x(0x24)所以V(x)12x2552x4 32012(x246x360)12(x10)(x36)令V(x)0，得x10或x36(舍去)当0x10时，V(x)0，即V(x)是增加的；当10x24时，V(x)0，即V(x)是减少的因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x10时取得最大值，其最大值为V(10)19 600(cm3)因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.1求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特
3、征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值2实际问题中函数定义域确定的方法：(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长宽、高都大于零(2)根据问题的实际意义确定定义域如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】设弯成圆的一段铁丝长为x cm，则另一段长为(100x) cm，正方形的边长为acm，圆的半径r cm.记正方形与圆的面积之和为S，S()2()2x2x625(0x100)又Sx，令S0，则x.S是关于x的二次函数，由其性质可知当xcm时，面积之和
4、最小用料最省、费用最低问题图341某单位用木料制作如图341所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)【思路探究】(1)根据题意，你能找出x、y之间的关系式吗？能把框架的周长表示成x的函数吗？(2)你能确定上函数的定义域并用导数求出最小值吗？【自主解答】依题意，有xyx8，所以y(0x4)，于是框架用料长度为l2x2y2()()x.l.令l0，即0，解得x184，x248(舍去)当0x84时，l0；当84x4时，l0，所以当x84时，l取得最小值此时，x842.343
5、m，y2.828 m.即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省1本题是用料最省问题，此种类型也可以用不等式解决，但有时运算量较大，用导数解决较为合理2用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应
6、建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)【解】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)(56048x)56048x(x10，xN*)，f(x)48，令f(x)0得x15，当x15时，f(x)0；当0x15时，f(x)0，因此当x15时，f(x)取最小值f(15)2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层利润最大问题某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q(x0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元若每件售价为“年平
7、均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和(1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数如果年广告费收入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【思路探究】(1)在本例中如何求企业的年利润？怎样判断企业是亏损还是盈利？(2)如何用导数法求最大利润？【自主解答】(1)由题意，每年产销Q万件，共计成本为(32Q3)万元销售收入是(32Q3)150%x50%，年利润y年收入年成本年广告费(32Q3x)(323x)(x0)，所求的函数关系式为y(x0)当x100时，y0；x(7，)时，f(x)0，f(x)极大值f(7)42.又在(0，)
8、上只有一个极值点，f(x)maxf(x)极大值f(7)42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大1利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再用导数求最大值商品的价格要高于生产商品的成本，否则会亏本2解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C1004q，价格p与产量q的函数关系式为p25q，求产量q为何值时，利润L最大？【解】收入Rqpq(25q)25qq2.利润LRC(25qq2)(1004q)q221q100(0q200)，所以Lq21.令L0
9、，即q210，解得q84.因为当0q84时，L0；当84q200时，L0，所以当q84时，L取得最大值，最大值为782.答：当产量为84时，利润取得最大值782.分类讨论的思想在优化问题中的应用(12分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p(c为常数，且0c6)已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率100%)【思路点拨】【规范解答】(1)当xc时，p，y(1)x3x0；2分当0xc时，p，y(1)x3x.4分日盈利额y(万元)与日产量x(万件)
10、的函数关系为y(c为常数，且0c6).5分(2)由(1)知，当xc时，日盈利额为0.6分当0xc时，y，y，8分令y0，得x3或x9(舍去)当0c3时，y0，y在区间(0，c上单调递增，y最大值f(c).9分当3c6时，在(0,3)上，y0，在(3，c)上，y0，y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减y最大值f(3).11分综上，若0c3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3c6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.12分解答本题时，要注意分类讨论思想的运用，同时对导数公式及运算法则要熟练、活用求最值的方法解决问题1解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”
11、译为数学语言要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解2用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式yf(x)(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.(对应学生用书第67页)1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234
12、，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件【解析】yx281，令y0，得x9或x9(舍)当0x9时y0；当x9时，y0.故当x9时函数有极大值，也是最大值【答案】C2某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x0，b0，求ab的最大值【思路点拨】结合导数的几何意义求公共点处的导数即为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知a、b的关系式【规范解答】(1)依题意y2x2，y2xa，设它们的公共点为P(x0，y0)，因为在P点切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10，则4(a2)240.又y0x2x02，且y0xax0b，相减得：
13、2x(a2)x02b0，由有消去x0得：2b2a5，即ab.(2)由(1)得ab22，当且仅当ab时上式取等号，ab的最大值为.已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标【解】(1)点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0,0)，0(3x
14、1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113，直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)利用导数研究函数的性质把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间a，b的最大(小)值是本章的重点利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法1利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0或f(x)0；(4)不等式的解集与定义域取交集；(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间2应用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(
15、x)的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号若左正右负，则f(x)的此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点已知a、b为常数且a0，f(x)x3(1a)x23axb.(1)函数f(x)的极大值为2，求a、b间的关系式；(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间0,3上的最小值为，求a、b的值【思路点拨】利用导数求极值与最值的方法解参数的值【规范解答】(1)f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)，令f(x)0，解得x11，x2a，因为a0，所以x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化状态见下
16、表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x1时，f(x)有极大值2，即3a2b3.(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在0，a)上为减函数，在(a,3上为增函数，所以f(a)为最小值，f(a)a3a2b.即a3a2b，又由b.于是有a33a23a260，即(a1)327，a2，b.设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11)(1)求a，b的值；(2)讨论函数的单调性【解】(1)f(x)3x26ax3b，f(x)的图象与直线12xy10相切于点(1，11)f(1)11，f(1)12，即解之得a1，b3.(2)由(1)得，f(x)
17、3(x22x3)3(x1)(x3)令f(x)0，解得x3或x1.令f(x)0，解得1x3.当x(，1)或x(3，)时，f(x)是增函数；当x(1,3)时，f(x)是减函数利用导数求参数的取值范围导数作为工具为研究函数的单调性、极值和最值提供了通性通法，某些求参数范围问题，常借助导数求最值转化为恒成立问题解决恒成立问题时，一般先分离参数，再利用f(x)a恒成立，即f(x)mina，或f(x)a恒成立，即f(x)maxa恒成立的思想解决参数的范围问题(2011北京高考)已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围【思路点拨】先
18、对函数求导，用f(x)的正负来判断f(x)的增减，用恒成立的思想解决k的取值范围，但要注意对k值的分类讨论【规范解答】(1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk，由题意可知k0.当k0时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x( ，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)，单调递减区间是(k，k)当k0时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)，单调递增区间是(k，k)(2)当k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，
19、)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)等价于f(k)，解得k0.故当x(0，)，f(x)时，k的取值范围是，0)设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围【解】(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1.即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1
20、,2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m，h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0，所以m的取值范围是m1.数形结合思想数形结合思想不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想，是高考解题常用的一种思想一般来说，“形”具有形象、直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“数形对照”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨、准确的特点，能够严格论证和定量求解“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端，恰当地应用数形结合是提高解题速度、优化解题过程的一种重要方法，本章应用数形结合思想比较广泛，例如应用导函数的图象
21、求极值点的个数，应用函数图象求函数的最值或值域，根据函数式研究图象的性质等求下列函数的单调区间并根据单调区间大致描绘出函数图象(1)f(x)x33x；(2)f(x)2x33x212x1.【思路点拨】应用导函数的正负，求出单调区间，描绘函数的图象时，除应用单调性外，还应注意函数的某些特殊点【规范解答】(1)因为f(x)x33x，所以f(x)3x233(x21)0，所以函数f(x)x33x在xR上单调递增，函数的大致图象如图(1)所示(1) (2)(2)因为f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x2x2)6(x1)(x2)，当f(x)0，即x1或x2时，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即2x1时，函数f(x)单调递减函数f(x)2x33x212x1的大致图象如图(2)所示设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图31所示，则导函数yf(x)的图象可能为()31【解析】由f(x)的图象可看出，y轴的左侧，f(x)单调递减，所以导函数f(x)恒小于0，y轴的右侧，f(x)先增再减，最后再增，所以导函数f(x)先大于0，再小于0，最后再大于0.故选D.【答案】D
