1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题02半角模型 解题策略模型1：正方形中的半角模型 模型2：等腰直角三角形中的半角模型 经典例题【例1】（2020山西晋中八年级阶段练习）如图所示：已知ABC中，BAC=90,AB=AC，在BAC内部作MAN=45,AM、AN分别交BC于点M，N.操作（1）将ABM绕点A逆时针旋转90，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图中画出ACQ;(不写出画法)探究（2）在1作图的基础上，连接NQ， 求证： MN=NQ;拓展（3）写出线段BM,MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由【例2】（2022全国九年级专
2、题练习）折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1(1)EAF ，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；(2)转一转：将图1中的EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；(3)连接正方形对角线BD，若图2中的PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则CQBM= ；(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4求证：BM2DN2MN2【例3】（2022江苏八年级专题练习）问题情境在等边ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N
3、，点D为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDDC特例探究如图1，当DMDN时，（1）MDB 度；（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；归纳证明（3）如图2，当DMDN时，在NC的延长线上取点E，使CEBM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明拓展应用（4）AMN的周长与ABC的周长的比为 【例4】（2020全国九年级专题练习）请阅读下列材料：已知：如图（1）在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（
4、2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且DCE30，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数培优训练一、解答题1（2022陕西西安七年级期末）问题背景：如图1，在四边形ABCD中AB=AD，BAD=120，B=ADC=90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证
5、明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且ABAD，BD180，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得EAF=12BAD，BE10米，DF15米，试求两凉亭之间的距离EF2（2022河北邢台九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD中，EAF45，求证：EFBEDF”小明同学的思路：四边形ABCD是正方形，ABAD，BADC90把ABE绕点A逆时针旋转到ADE的位置，然后证明AFEAFE，从而可得EF=EFEF=
6、ED+DF=BE+DF，从而使问题得证(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，EAF=12BAD，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，EAF=12BAD，求证：EFBEDF(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是O的内接四边形，BC是直径，ABAC，请直接写出PBPC与AP的关系3（2021重庆九年级专题练习）将锐角为45的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，MPN的两边分别与正方形的边BC、D
7、C或其所在直线相交于点E、F，连接EF（1）在三角板旋转过程中，当MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（2）在三角板旋转过程中，当MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系；（3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长4（2022全国八年级课时练习）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若MBN45，则MN，AM，CN的数量关系为 （2）如图2，在四边形ABCD中，BCA
8、D，ABBC，A+C180，点M、N分别在AD、CD上，若MBN12ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明（3）如图3，在四边形ABCD中，ABBC，ABC+ADC180，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若MBN12ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 5（2022江苏八年级课时练习）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF=12BAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：_；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF=1
9、2BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且EAF=12BAD请画出图形（除图外），并直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系6（2021辽宁沈阳市南昌中学（含：西校区、光荣中学）九年级阶段练习）如图，菱形ABCD与菱形EBGF的顶点B重合，顶点F在射线AC上运动，且BCD=BGF=120，对角线AC、BD相交于点O（1）如图1当点F与点O重合时，直接写出AEFD的值为 ；（2）当顶点F运动到如图2的位置时，连接CG，CGBG，且CG=BC，试探究CG与DF的数量关系，说明理由，并直接写
10、出直线CG与DF所夹锐角的度数；（3）如图3，取点P为AD的中点，若B、E、P三点共线，且当CF2时，请直接写出BP的长7（2022江苏八年级课时练习）如图，CA=CB，CACB，ECF=45，CD=CF，ACD=BCF（1）求ACE+BCF的度数；（2）以E为圆心，以AE长为半径作弧；以F为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G，试探索EFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由8（2021河南平顶山九年级期中）（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，EAF45，则我们常常会想到：把ADE绕点A顺时针旋转90，得到ABG易证AEF ，得出
11、线段BF，DE，EF之间的关系为 ；（2）类比探究如图2，在等边ABC中，D，E为BC边上的点，DAE30，BD1，EC2求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在ABC中，ABAC6+2，BAC150，点D，E在BC边上，DAE75，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长9（2022全国八年级专题练习）已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC，ABC120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F（1）当MBN绕B点旋转到AECF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：（不需证明）（2
12、）当MBN绕B点旋转到AECF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由（3）当MBN绕B点旋转到AECF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明10（2022江苏八年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BEAP于点E，交AQ于点F，连接DF（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明11（2022全国八年级课时练习）（1）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD
13、上的点，且EAF=45直接写出BE、DF、EF之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF=12BAD，求证：EF=BE+DF；（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF=12BAD，则结论EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明12（2021辽宁沈阳一模）（1）思维探究：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且EAF45，连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是 ；小明的思路是：将ADF绕点A
14、顺时针方向旋转90至ABG的位置，并说明点G，B，E在同一条直线上，然后证明AEF 即可得证结论；（只需填空，无需证明）（2）思维延伸：如图2，在ABC中，BAC90，ABAC，点D，E均在边BC上，点D在点E的左侧，且DAE45，猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；（3）思维拓广：如图3，在ABC中，BAC60，ABAC5，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，且DAE30，当BD1时，请直接写出线段CE的长13（2021河南安阳八年级期中）已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于
15、点H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：_；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）14（2020四川成都八年级期末）已知，POQ=90，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OA=OB，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，CF，EF（1）求证：OA=OB=AC=BC；（2）如图1，当点E，F分别在线段
16、AO，BO上，且ECF=45时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；（3）如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且ECF=135时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF于点N请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论15（2020江西育华学校八年级阶段练习）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，BAD=90，BCD=90，BA=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明BCGBAE，再证明BGFBEF，可得出
17、结论，他的结论就是_；探究延伸：如图2，在四边形ABCD中，BA=BC，BAD+BCD=180，ABC=2MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离16（2022全国八年
18、级课时练习）如图，ABC是边长为2的等边三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以点D为顶点作MDN=60，点M、N分别在AB、AC上（1）如图，当MN/BC时，则AMN的周长为_；（2）如图，求证：BM+NC=MN17（2022全国八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，B=D=90，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF（1）如图，AB=AD，BAD=120，EAF=60求证：EF=BE+DF；（2）如图，BAD=120，当AEF周长最小时，求AEF+AFE的度数；（3）如图，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且EAF=45，若BE=3，DF=2，请求
19、出线段EF的长度18（2022江苏八年级课时练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，BAD100，BADC90E，F分别是BC，CD上的点且EAF50探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DGBE，连接AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E，F分别是BC，CD上的点，且2EAFBAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，EBF45，直接写出DEF的周长
20、19（2022全国八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且EAF45，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路例如图中ADF与ABG可以看作绕点A旋转90的关系这可以证明结论“EFBEDF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程（1）延长CB到点G，使BG ，连接AG；（2）证明：EFBEDF20（2021全国九年级专题练习）如图1，在菱形ABCD中，AC2，BD23，AC，BD相交于点O(1)求边AB的长；(2)求BAC的度数；(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A
21、左右旋转，其中三角板60角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF判断AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由21（2020重庆江津八年级期中）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，ECG=45，求证EG=BE+GD（2）请用（1）的经验和知识完成此题：如图2，在四边形ABCD中，AG/BC(BCAG)，B=90，AB=BC=12，E是AB上一点，且ECG=45，BE=4，求EG的长？22（2022江苏八年级专题练习）（2020锦州模拟）问题情境：已知，在等边ABC中，BAC与ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且MON60，猜想CM、MN
22、、AN三者之间的数量关系方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明23（2022河南开封八年级期末）（2019秋东台市期末）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDDC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动
23、时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时QL=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明24（2022全国八年级课时练习）如图，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且EDF=45，易证：AE+CF=EF（不用证明）（1）如图，在四边形ABCD中，ADC=120，DA=DC，DAB=BCD=90，点E，F分别在AB与BC上，且EDF=60猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图，在四边形ABCD中，ADC=2，DA=DC，DAB与BCD互补，点E，F分别在AB与BC上，且EDF=，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明
