1、专题27.29 相似三角形几何模型-X型图（知识讲解） 图一 图二 图三类型一、平行X字型（也称为8字型）1如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，求证： 【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可解：， ，【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键举一反三【变式1】如图，1=2=3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么? 【答案】AFDEFB，ABCADE；理由见分析.【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可解：AFDEFB，ABCADE理由如下：23，AFDEFBAFDEFB，BD12， ，BACDAE，ABCAD
2、E【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形【变式2】如图，直线ab，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，170，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设NPE（1）证明MPDNPE（2）当MPD与NPE全等时，直接写出点P的位置（3）当NPE是等腰三角形时，求的值【答案】（1）见分析；（2）点P是MN的中点；（3）40 或70 或55【分析】(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等得到MPNP，即点P是MN的中点；(3)需要分类讨论：PNPE、PENE
3、、PNNE，再根据三角形内角和计算即可(1)证明：ab，MPDNPE(2)ab，MDPNEP，当MPD与NPE全等时， MPNP，即点P是MN的中点；(3)ab，1PNE70，若PNPE时，PNEPEN70a180PNEPEN180707040a40；若EPEN时，则aPNE70；若NPNE 时，则PEN，此时2180PNE110，PEN55；综上所述，的值是40 或70 或55 【点拨】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论类型二、非平行X字型（也称为反8字型）2在，这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问
4、题中，使命题正确，并证明问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号）求证： 【答案】，证明见分析或，证明见分析【分析】若选择条件，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；若选择条件，可利用两角相等的两个三角形相似解：选择条件的证明为：，又，；选择条件的证明为：，【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键举一反三【变式1】如图，在中，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，连接，(1)求证：(2)当，时，求线段的长【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三
5、角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长至，使，连接，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得(1)证明：垂直平分，在和中， ，在和中，(2)解：如图，延长至，使，连接，则垂直平分，是边上的中线，在和中，【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键【变式2】如图，AC，BD相交于的点O，且ABOC求证：AOBDOC 【分析】利
6、用对顶角相等得到AOB=COD，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解证明：AC，BD相交于的点O，AOBDOC，又ABOC，AOBDOC【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解类型三、A、X字型综合3如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON1(1) 求证：DMNBCN；(2) 求BD的长；(3) 若DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积【答案】(1)见分析 (2) 6 (3) 5【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ADBC，从而证明8字模型相似三角形DMNBCN；（2）由
7、DMNBCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（3）根据MNDCNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN已知DCN的面积，则由线段之比，得到MND与CNB的面积，从而得到SABD=SBCD=SBCN+SCND，最后由S四边形ABNM=SABD-SMND求解（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DMN=BCN，MDN=NBC，DMNBCN；（2） 解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，OB=ODBD，DMNBCN，M为AD中点，AD=2DM，BC=2DM，BN=2DN，设OB=OD=x，BD=2x，BN=
8、OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，x+1=2（x-1），解得：x=3，BD=2x=6，BD的长为6；（3） 解：MNDCNB，DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，DCN的面积为2，SMND=SCND=1，SBNC=2SCND=4，SABD=SBCD=SBCN+SCND=4+2=6，S四边形ABNM=SABD-SMND=6-1=5，四边形ABNM的面积为5【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键举一反三【变式1】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于
9、F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（ABAE） (1)求证：AEFDCE；(2)AEF与ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得AEF与BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)见分析 (2)相似，证明见分析 (3)存在，【分析】(1)由题意可得AEFDEC90，又由AEFAFE90，可得DECAFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得RtAEFRtDEG(ASA)，可得EFEG，AFEEGC，可得CE垂直平分FG，CGF是等腰三角形，据此即可证得AEF与ECF相似；(3)假设AEF与BFC相
10、似，存在两种情况：当AFEBCF，可得EFC90，根据题意可知此种情况不成立；当AFEBFC，使得AEF与BFC相似，设BCa，则ABka，可得AF，BF，再由AEFDCE，即可求得k值（1）证明：EFEC，FEC90，AEFDEC90，AEFAFE90，DECAFE，又AEDC90，AEFDCE；（2） 解：AEFECF理由：E为AD的中点，AEDE，AEFDEG，AEDG，AEFDEG(ASA)，EFEG，AFEEGC又EFCE，CE垂直平分FG，CGF是等腰三角形AFEEGCEFC 又AFEC90，AEFECF；（3） 解：存在使得AEF与BFC相似理由：假设AEF与BFC相似，存在两种
11、情况：当AFEBCF，则有AFE与BFC互余，于是EFC90，因此此种情况不成立；当AFEBFC，使得AEF与BFC相似，设BCa，则ABka，AEFBCF，AF，BF，AEFDCE，即， 解得，存在使得AEF与BFC相似【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键【变式2】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BFDE于F点，交AC于H点，交CD于G点(1)求证：BGCDGF；(2)求证：；(3)若点G是DC中点，求的值【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3) 【分析
12、】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到BGCDCF（2）由第一问的结论可得到相似比，既有，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论（3）通过ASA判定出BGCDEC，进而根据第一问结论可得BGCDGF，然后通过相似比设未知数，赋值，即可求出的值（1）证明：四边形ABCD是正方形，又，BGCDCF（2） 证明：由（1）知BGCDGF，四边形ABCD是正方形，（3） 解：由（1）知BCCDGF，在BGC与DEC中，BGCDEC（ASA）G是CD中点BGCDGF在RtBGC中，设，则，【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键【变式3】已知：如图，两个和中，且点、在一条直线上联结、，与交于点(1) 求证：；(2) 如果，求证： 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证，从而证得，再利用平行线分线段成比例即可得出结论（2）证明，得，继而利用，即可得出结论(1)证明：， ，(2)证明：，又，【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键
