1、兰州一中2018-2019-2学期高二年级期中考试试题数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（ ）A. 1B. 0C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直线的方程，即可求解【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，则，解得，故选C【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.若函数，则（ ）A. 0B. 2C. 1D. 【答案】A
2、【解析】求函数f（x）=x3f（1）x2x的导数，得，f（x）=x22f（1）x1， 把x=1代入，得，f（1）=12f（1）1f（1）=0故答案为：A.3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点以上推理中（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】【分析】使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.【详解】对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时才是函数的极值点，所以大前提错误故选A【点睛】本题主要
3、考查了三段论以及命题的真假，属于基础题.4.已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数，则，因为函数在上是单调函数，所以，即，解得，即实数的取值范围是，故选C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题5.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 ( ）A. 36个B. 48
4、个C. 52个D. 54个【答案】B【解析】试题分析：第一类，当从，中取一个数字，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；第二类，当从，中取一个数字不是，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个，综上所有不同的三位数的个数是，故选B.考点：排列与组合6.函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性判断出导函数函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论【详解】由图象可知，函数在时是增函数，因此其导函数在时，有（即函数的图象在轴上方），因此排除A、C从原函数图象上可以看出在区间上
5、原函数增函数，所以，在区间上原函数是减函数，所以；在区间上原函数是增函数，所以所以可排除C故选D【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状7.用数学归纳法证明“”，验证n=1时，左边计算所得式子为（ ）A. 1B. 1+2C. D. 【答案】D【解析】当时,左边计算的式子为，故选D.8.已知函数= xlnx，则下列说法正确的是（ ）A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 在上单调递减D. 在上单调递增【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数，求得函数的单调区间，即可求解
6、，得到答案【详解】由题意，函数，则，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故选C【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9.设函数，则是（ ）A. 仅有最小值的奇函数B. 仅有最大值的偶函数C. 既有最大值又有最小值的偶函数D. 非奇非偶函数【答案】C【解析】试题分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可解：函数f（x）=，f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx1=，当cosx=时，f（x）取得最小值；当
7、cosx=1时，f（x）取得最大值2且f（x）=f（x）即f（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数故选C点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键10.已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（ ）A. 极大值为，极小值为0B. 极大值为0，极小值为C. 极小值为，极大值为0D. 极小值为0，极大值为【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得，得到，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案【详解】由题意，函数，则，因为函数的图像与轴切于点，则，且，联立方程组，解得，即，则，当时，函数单调递增，当时，函数
8、单调递减，当时，函数单调递增，所以函数的极大值为，极小值为，故选A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题11.定义在R上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：令，则，即，恒成立，g(x)在R上单调递增，又，不等式，不等式的解集为，故选B考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用点评：解决本题的关键是根据导函数确定原函数12.已知函数，且是偶函数，若函数有且只有
9、4个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的图象对称性，解得的值，化简函数的解析式为，令，把函数有且只有4个零点，转化为在区间上有两个零点，即可求解【详解】由题意，函数 ，且是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，所以，解得，此时函数 ，令，则，因为函数有且只有4个零点，且的图象关于对称，即函数的图象在有两个零点，所以在区间上有两个零点，即与的图象在有两个交点，当时，如图所示，则，解得，即实数的取值范围是，故选A【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的性质，求得函数的解析式，合理利用换元法和二次
10、函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题二、填空题.13.计算=_【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义求得，由定积分的计算公式，求得，再根据定积分的性质，即可求解【详解】由定积分的性质可得，根据定积分的几何意义，可知表示的面积，即半径为的一个个圆的面积，所以，又由，所以，【点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题14.若，则=_（用数字作答）【答案】2017【解析】【分析】由题意，根据二项式的展开式，令和可得，进而得，即可求解，
11、得到答案.【详解】由题意，可知，令，可得，令，可得，所以 ，故答案为.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n1）行第二个数是_. 【答案】【解析】【分析】从数表中的第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列，得到数列满足，则数表中第n行的第2个数字为数列的第项，利用等差数列的知识，即可求解【详解】由题意，从第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列满足 ，则数列满足，且，所以数表中第
12、n行的第2个数字为数列的第项，所以，即数表中第n行的第2个数字为【点睛】本题主要考查了数列递推公式和等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中从第二行开始，取出每行的第二个数字，构成一个数列，利用等差数列的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题16.设有通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成个部分，则个平面将空间分成_个部分【答案】2k【解析】【分析】由个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，所以，即可得到答案【详解】由题意，可知一个平面能把空间分成2
13、个部分，即，两个相交平面可以把空间分成四4个部分，即，若第三个平面和前两个平面经过同一个单，且三个平面不经过同一直线，则这三个平面可以把空间分成8部分，即， 则个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于中档试题三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（1）若，且，用反证法证明：中至少有一个小于2（2）设非等腰三角形的内角A，B，
14、C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，证明：.【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）利用反证法，即可作出证明；（2）利用分析法，即可作出证明【详解】（1）证明：假设，即，这与矛盾假设不成立中至少有一个小于2 （2）证明：要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证，只要证A，B，C成等差数列，故结论成立.【点睛】本题主要考查了反证法和分析法的应用，其中解答中合理选择反证法和分析法进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18.已知复数满足（1）求w在复平面上对应点P的轨迹C（2）在复平面上点Q（0，4）向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，
15、求直线AB的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，求得，再根据，化简求得，即可得到答案（2）求得过点切线方程分别为，根据点在两条切线上，利用同一法，即可求解【详解】（1）设，则由得复数z满足，即，即w在复平面上对应点P的轨迹C为（2）设切点，则对应的切线方程分别为，Q（0，4）在两条切线上，因此A，B两点都在直线，即AB为：【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记复数的运算与几何性质，以及合理利用直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题19.（设，是否存在使等式：对任意都成立，并证明你的结
16、论【答案】（1）【解析】试题分析：由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜想，下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立（1）当时，由上面计算可知，等式成立；（2）假设且时，等式成立，即成立，那么当时，当时，等式也成立由知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立考点：归纳猜想及数学归纳法的应用【方法点晴】本题主要考查了归纳猜想、数学归纳法的应用，属于中档试题，本题中根据的值，归纳猜想，再用数学归纳法的一般步骤：（1）验证时，命题成立；（2）假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立；（3）由上述（1）（2）得命题成立，其中假设时成立，利用假设和
17、已知条件证明也成立过程中，忽视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜想也是本题的一个难点20.已知函数.（1）设实数使得恒成立，求取值范围；（2）设，若函数在区间上有两个零点，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由恒成立，即恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解（2）令，得，由（1）知，求得函数的单调性与极值，列出相应的不等式，即可求解【详解】（1）由题意，可知恒成立，即恒成立，设，则，令，解得，当单调递增；当单调递减，所以时，取得最大值,所以实数的取值范围为. （2）令，得由（1）知，单调递增；单调递减，且.当时，函数在上有两个零
18、点.所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题21.已知函数（m为常数）.（1）当m=4时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，求实数m的取值范围.【答案】依题意，函数的定义域为（1，）.（） 当m4时，.=.2分令， 解得或.令， 解得.可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，），单调递减区间为6分（）x(m
19、2). 8分若函数yf (x)有两个极值点,则 ，10分解得 m3.【解析】(I)利用导数的正负确定其增减区间.（II）因为x(m2)，说明函数有两个不同交点，然后借助二次函数零点的分布借助图像求解.22.设函数.（1）若对定义域内任意，都有成立，求实数的值；（2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意的正整数，.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，得的定义域为，因为对，都有成立，所以是函数的最小值，所以，即可求解的值；（2）由，函数在定义域上单调函数，知或在上恒成立，由此能求出实数的取值范围；（3）当时，函数，令，则，由此入手能
20、够证明.试题解析：（1）由,得的定义域为因为对x,都有，是函数的最小值，故有解得经检验，时，在上单调减，在上单调增为最小值故得证（2）又函数在定义域上是单调函数，或在上恒成立若，则在上恒成立,即=恒成立,由此得；若,则在上恒成立,即=恒成立因在上没有最小值，不存在实数使恒成立综上所述，实数的取值范围是（3）当时，函数令，则当时，所以函数在上单调递减又，当时，恒有，即恒成立故当时，有而，取，则有所以结论成立考点：利用导数求曲线上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明.【方法点晴】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的极值、最值的应用，利用导数研究函数的饿单调性及不等关系的证明，综合性强，难度大，计算繁琐，是高考的重点内容之一，解答时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化，同时着重考查了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，平时要注意总结.
