1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题26平面几何B辑历年联赛真题汇编1【2000高中数学联赛(第02试)】如图，在锐角ABC的BC边上有两点E，F，满足BAE=CAF，作FMAB，FNAC(M，N为垂足)，延长AE交三角形ABC的外接圆于点D.证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等.2【1999高中数学联赛(第02试)】如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD.在c上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G.求证：GAC=EAC.3【1998高中数学联赛(第02试)】如图，已知：，1分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高.I在线段OD上.
2、求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.4【1997高中数学联赛(第02试)】1.如图，已知两个半径不相等的圆O1与圆O2相交于M，N两点，且圆O1，圆O2分别与圆O内切于S，T两点.求证：OMMN的充分必要条件是S，N，T三点共线.5【1996高中数学联赛(第02试)】如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E，F，G，H为切点，并且EG，FH的延长线交于点P.求证直线PA与BC垂直.6【1995高中数学联赛(第02试)】如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：M
3、QNP.7【1995高中数学联赛(第02试)】菱形ABCD的内切圆O与各边的切点依次为E，F，G，H，在弧EF和弧GH上分别作圆O的切线交AB于点M，交BC于点N，交CD于点P，交DA于点Q，求证：MQNP.8【1995高中数学联赛(第02试)】如图，圆O1和圆O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E，F，G，H为切点，并且EG，FH的延长线交于点P，求证直线PA与BC垂直.9【1994高中数学联赛(第02试)】如图，设ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，B=60，AC，A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE；(2)2RIO+IA+IC(1+2)R.10【1993高中数学联赛(第
4、02试)】设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A，B，C，D外，在该凸四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点，试证n应满足的充分必要条件是n4.11【1993高中数学联赛(第02试)】水平直线m通过圆O的中心，直线lm，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，点A离点M最远，点C离点M最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点，试证：(1)l与圆O相切时ABCR+BCAP=ACBQ；(2)l与圆O相交时ABCR+BGAPACBQ.12【1992高中数学联赛(第02试)
5、】设A1A2A3A4为圆O的内接四边形，H1,H2,H3,H4依次为A2A3A4,A3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心.求证：H1,H2,H3,H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置.13【1991高中数学联赛(第02试)】设凸四边形ABCD的面积为1，求证在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积均大于14.14【1990高中数学联赛(第02试)】四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设ABP，BCP，CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1,O2,O3,O4.求证：OP,O1O3,O2O4三条直线共点.15【1989
6、高中数学联赛(第02试)】在ABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB，垂足为F，求证：2AF=AB-AC.16【1988高中数学联赛(第02试)】如图，在ABC中，P，Q，R将其周长三等分，且P，Q在AB边上，求证：SPORSABC29.17【1986高中数学联赛(第02试)】已知锐角ABC的外接圆半径是R，点D，E，F分别在边BC，CA，AB上.求证：AD，BE，CF是ABC的三条高的充要条件是S=R2(EF+FD+DE).式中S是ABC的面积18【1984高中数学联赛(第02试)】如图，在ABC中，P为BC边上任意一点，PEBA，PFCA.若SABC=
7、1，证明SBPF，SPCE和SPEAF中至少有一个不小于49.19【1983高中数学联赛(第02试)】如图，在四边形ABCD中，ABD，BCD，ABC的面积比是3：4：1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM：AC=CN：CD，并且B，M，N三点共线.求证：M与N分别是AC与CD的中点.20【1982高中数学联赛(第02试)】已知边长为4的正ABC，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1.联结AD，BE，CF，交成RQS.点P在RQS内及其边上移动，点P到ABC三边的距离分别记作x，y，z(1)求证：当点P在RQS的顶点位置时，乘积xyz有极小值；(2)求上
8、述乘积xyz的极小值.21【1981高中数学联赛(第02试)】在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径长为1.求证PCQE+PDQFAC，内切圆I分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F、M是边BC的中点，直线EF分别与BI、CI的延长线交于点P、Q，且与ABC的外接圆O交于点R、S，证明：QMR=PDS11如图，五边形ABCDE各对角线交得凸五边形A1B1C1D1E1，且SABD1=SBCE1=SCDA1=SDEB1=SEAC1.证明：SD1BE1=SA1CE1=SA1DB1=SB1EC1=SD1AC1.12如图，在ABC中，已知
9、AD为边BC上的高，以AD为直径的O分别与AC、AB交于点E、F设M、M1、M2分别为BC、BD、DC的中点，BE与CF交于点P，EM1与FM2交于点Q证明：P、Q、M三点共线13已知ABC及一点O，分别以ABC边BC、CA、AB的中点A1、B1、C1为圆心作过点O的圆，记这三个圆两两的异于O的交点分别为A2、B2、C2证明：(1)若ABC为锐角三角形，则当且仅当O为ABC的外心时，O为A2B2C2的内心；(2)若A为钝角，则当且仅当O为ABC的外心时，O为A2B2C2的A2内的旁心14如图，已知圆是ABC的外接圆，D为CB延长线上一点，圆与切于点S，与AD、BD分别切于点N、M，MS的延长线
10、与圆交于点T，MN的延长线与TA的延长线交于点Ia.证明：(1)N、S、A、Ia四点共圆；(2)TIa=TB.15如图，H为锐角ABC的垂心，AH与BC交于点D，CDBDAC)的内切圆l分别与边BC、CA、AB切于点D、E、F.过BC延长线上一点P作l的另一条切线，与l切于点G，并与AB、AC分别交于点M、N.记MD与BG交于点Q，ND与CG交于点R.证明：P、R、Q三点共线的充分必要条件是A、G、D三点共线.19如图，设M、N分别是ABC外接圆劣弧BC、CA的中点，过点C作PCNM与外接圆交于点P，I为ABC的内心，直线PI与外接圆交于点T，分别过C、T作圆的切线交于点Q.证明：N、M、Q三点共线.20如图，设AD、BE、CF是ABC的三条高，且交于点H，M是边BC的中点，BME的外接圆圆a2与CMF的外接圆圆2交于M、N两点，直线AN与圆a2、2分别交于另一点P、Q证明：AD平分PDQ
